2019秋高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.2 双曲线的简单几何性质 第1课时 双曲线的简单

第二章圆锥曲线与方程2．3.2双曲线的简单几何性质第1课时双曲线的简单几何性质[学习目标]1.双曲线的几何性质的理解和应用(重点)．2.与双曲线离心率、渐近线相关的问题(难点)．[知识提炼·梳理]1．双曲线的几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)图形焦点F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)双曲线的几何性质焦距|F1F2|＝2c范围x≥a或x≤－a，y∈Ry≥a或y≤－a，x∈R对称性对称轴：x轴、y轴，对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)双曲线的几何性质轴实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b；半实轴长：a，半虚轴长：b离心率e＝ca∈(1，＋∞)渐近线xa±yb＝0xb±ya＝0双曲线的几何性质M在双曲线上||MF1|－|MF2||＝2a温馨提示1．已知双曲线方程求渐近线方程，只需将方程x2a2－y2b2＝1(a0，b0)右边的“1”换成“0”即可，由x2a2－y2b2＝0得出渐近线方程是xa±yb＝0，即y＝±bax.2．过焦点垂直于实轴的直线被双曲线截得的线段长为2b2a.3．双曲线的焦点到渐近线的距离恰好为b.2．等轴双曲线的定义实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线．温馨提示1．等轴双曲线的离心率e＝2为定值．2．等轴双曲线的渐近线为y＝±x.[思考尝试·夯基]1．双曲线x2－my2＝1的实轴长是虚轴长的2倍，则m等于()A.14B.12C．2D．4答案：D2．双曲线x22－y24＝－3的渐近线方程为()A．y＝±2xB．y＝±2xC．y＝±22xD．y＝±12x答案：A3．已知双曲线过点(－2，23)，且渐近线方程为y＝±2x，则双曲线的标准方程为()A.x24－y2＝1B．x2－y24＝1C．－x2＋y24＝1D．－x24＋y2＝1答案：B4．已知焦点在x轴上的双曲线的离心率为2，则双曲线两条渐近线的夹角为________．答案：π35．若双曲线x24＋y2m＝1的渐近线方程为y＝±32x，则双曲线的焦点坐标是________．解析：由双曲线方程得出其渐近线方程为y＝±－m2x，所以m＝－3，求得双曲线方程为x24－y23＝1，从而得到焦点坐标(7，0)，(－7，0)．答案：(7，0)，(－7，0)类型1双曲线几何性质的有关计算(自主研析)[典例1]求双曲线16x2－25y2＝400的实轴长、虚轴长、焦点、顶点的坐标、渐近线方程及离心率．解：把已知方程化成标准方程：x252－y242＝1，所以a＝5，b＝4，c＝52＋42＝41.所以双曲线的实轴长2a＝10，虚轴长2b＝8，两个焦点的坐标分别为(－41，0)，(41，0)，两个顶点的坐标为(－5，0)，(5，0)，渐近线方程为16x2－25y2＝0，即y＝±45x，离心率e＝ca＝415.归纳升华根据双曲线方程研究其性质的基本思路1．将双曲线的方程转化为标准形式．2．确定双曲线的焦点位置，弄清方程中的a，b所对应的值，再利用c2＝a2＋b2得到c的值．3．根据确定的a，b，c的值求双曲线的实轴长、虚轴长、焦距、焦点坐标、离心率及渐近线方程等．[变式训练]试用描点法画出双曲线16x2－25y2＝400.解：将双曲线的方程化为标准方程：x252－y242＝1.将已知方程变形为y＝±45x2－25.根据y＝45x2－25，在x≥5的范围内得出第一象限内几个点的坐标的对应值．x5678910y02.73.95.06.06.9描点、连线，画出双曲线在第一象限内的部分，利用双曲线的对称性即可画出整个双曲线，如图．类型2由双曲线的几何性质求标准方程[典例2]求满足下列条件的双曲线的标准方程．(1)一个焦点为(0，13)，且离心率为135；(2)渐近线方程为y＝±12x，且经过点A(2，－3)．解：(1)由题意知，双曲线的焦点在y轴上，且c＝13，因为ca＝135，所以a＝5，b＝c2－a2＝12.(2)法一因为双曲线的渐近线方程为y＝±12x，若焦点在x轴上，设所求双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，则ba＝12.①因为点A(2，－3)在双曲线上，所以4a2－9b2＝1.②联立①②，无解．若焦点在y轴上，设所求双曲线的标准方程为y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)，则ab＝12.③因为点A(2，－3)在双曲线上，所以9a2－4b2＝1.④联立③④，解得a2＝8，b2＝32.故所求双曲线的标准方程为y28－x232＝1.法二由双曲线的渐近线方程为y＝±12x，可设双曲线的方程为x222－y2＝λ(λ≠0)．因为点A(2，－3)在双曲线上，所以2222－(－3)2＝λ，即λ＝－8.故所求双曲线的标准方程为y28－x232＝1.归纳升华1．当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论．为了避免讨论，也可设双曲线方程为mx2－ny2＝1(mn＞0)，从而直接求得．2．若已知双曲线的渐近线方程为y＝±bax，则可以将方程设为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)，避免讨论焦点的位置，这是一种技巧性设法．3．与双曲线x2m－y2n＝1(mn0)有共同的渐近线的双曲线的方程为x2m－y2n＝λ(mn0，λ≠0)．当λ＝0时，方程x2m－y2n＝0即为双曲线的两条渐近线的方程．[变式训练]根据以下条件，分别求出双曲线的标准方程．(1)过点P(3，－2)，离心率e＝52；(2)求与双曲线x216－y29＝1有共同的渐近线且过点A(23，－3)的双曲线方程．解：(1)依题意，双曲线的实轴可能在x轴上，也可能在y轴上，分别讨论如下：若双曲线的实轴在x轴上，设x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，由e＝52，得c2a2＝54.①由点P(3，－2)在双曲线上，得9a2－2b2＝1.②又a2＋b2＝c2，③由①②③得a2＝1，b2＝14.若双曲线的实轴在y轴上，设y2a2－x2b2＝1(a0，b0)，同理有c2a2＝54，2a2－9b2＝1，a2＋b2＝c2.解之得b2＝－172(不合题意，舍去)．故双曲线的实轴只能在x轴上，所求双曲线方程为x2－4y2＝1.(2)设与双曲线x216－y29＝1共渐近线的双曲线方程为x216－y29＝λ(λ≠0)，因为点A(23，－3)在双曲线上，所以λ＝1216－99＝－14.所以所求双曲线方程为x216－y29＝－14，即y294－x24＝1.类型3与双曲线的离心率有关的问题(规范解答)[典例3](本小题满分12分)已知F1，F2是双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，如果∠PF2Q＝90°，求双曲线的离心率．审题指导：将焦点F1（c，0）的横坐标代入方程→求出P的纵坐标及|PF1|―→由∠PF2Q＝90°建立a，b，c的关系→求出离心率[规范解答]设F1(c，0)，将x＝c代入双曲线的方程得c2a2－y2b2＝1，那么y＝±b2a.(3分)由|PF2|＝|QF2|，∠PF2Q＝90°，知|PF1|＝|F1F2|，所以b2a＝2c，所以b2＝2ac.(6分)所以c2－2ac－a2＝0，所以ca2－2×ca－1＝0.(8分)即e2－2e－1＝0.所以e＝1＋2或e＝1－2(舍去)．(10分)所以所求双曲线的离心率为1＋2.(12分)失分警示：不会变形c2－2ac－a2＝0，而求不出e，导致此错误的原因是欠缺对式子进行变形的能力．归纳升华求双曲线离心率的方法1．若可求得a，c，则直接利用e＝ca得解；2．若已知a，b，可直接利用e＝1＋ba2得解；3．若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋q·ac＋r·a2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋q·e＋r＝0求解．[类题尝试](1)若双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的一条渐近线经过圆(x－1)2＋(y－22)2＝16的圆心，则此双曲线的离心率是()A．2B．3C.5D．9(2)已知双曲线E：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是________．解析：(1)由题意知圆心(1，22)在双曲线的渐近线y＝bax上，则22＝ba，所以b2＝8a2，即c2－a2＝8a2，所以e＝ca＝3.(2)设点A在第二象限，点B在第三象限，由题意可知A－c，b2a，B－c，－b2a，Cc，－b2a，Dc，b2a，由2|AB|＝3|BC|，可得2·2b2a＝3·2c，即2b2＝3ac.由b2＝c2－a2，e＝ca可得2e2－3e－2＝0，解得e＝2(负的舍去)．答案：(1)B(2)21．渐近线是双曲线特有的性质．两方程联系密切，把双曲线的标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)右边的常数1换为0，就是渐近线方程．反之由渐近线方程ax±by＝0变为a2x2－b2y2＝λ，再结合其他条件求得λ就可得双曲线方程．2．准确画出几何图形是解决解析几何问题的第一突破口．对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线特有的性质．利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便，而且较为精确，只要作出双曲线的两个顶点和两条渐近线，就能画出它的近似图形.