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第二章圆锥曲线与方程2．3双曲线2．3.1双曲线及其标准方程[学习目标]1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程．2.掌握双曲线的标准方程(重点)．3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题(难点)．[知识提炼·梳理]1．双曲线的定义把平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫作双曲线，这两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作双曲线的焦距．温馨提示把定常数记为2a，当2a＜|F1F2|时，其轨迹是双曲线；当2a＝|F1F2|时，其轨迹是以F1、F2为端点的两条射线(包括端点)；当2a＞|F1F2|时，其轨迹不存在．2．双曲线的标准方程焦点位置焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)焦点坐标F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)a，b，c的关系c2＝a2＋b2温馨提示焦点F1、F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上，若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上．[思考尝试·夯基]1．已知F1(3，3)，F2(－3，3)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝4，则P点的轨迹是()A．双曲线B．双曲线的一支C．不存在D．一条射线答案：B2．满足条件a＝2，一个焦点为(4，0)的双曲线的标准方程为()A.x24－y212＝1B.x212－y24＝1C.x24－y216＝1D.x216－y24＝1解析：由a＝2，c＝4，得b2＝c2－a2＝12，又焦点(4，0)在x轴上，所以双曲线的标准方程为x24－y212＝1.答案：A3．双曲线x29－y2m＝1的焦距为10，则实数m的值为()A．－16B．4C．16D．81解析：因为2c＝10，所以c2＝25.所以9＋m＝25，所以m＝16.答案：C4．已知椭圆x2a2＋y24＝1(a0)与双曲线x29－y23＝1有相同的焦点，则a的值为()A.2B.10C．4D．10答案：C5．已知P是双曲线x264－y236＝1上一点，F1，F2是双曲线的两个焦点，若|PF1|＝17，则|PF2|的值为______．解析：由双曲线方程x264－y236＝1知，a＝8，b＝6，则c＝a2＋b2＝10.因为P是双曲线上一点，所以||PF1|－|PF2||＝2a＝16，又|PF1|＝17，所以|PF2|＝1或|PF2|＝33.又|PF2|≥c－a＝2，所以|PF2|＝33.答案：33类型1双曲线定义的应用(自主研析)[典例1]已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，求动圆圆心M的轨迹方程．解：设动圆M的半径为r.易知圆C1与圆C2半径均为2，则由题意得|MC1|＝r＋2，|MC2|＝r－2，所以|MC1|－|MC2|＝22.又点C1(－4，0)，C2(4，0)，所以|C1C2|＝8，所以22|C1C2|.根据双曲线定义知，点M的轨迹是以C1(－4，0)，C2(4，0)为焦点的双曲线的右支．因为a＝2，c＝4，所以b2＝c2－a2＝14.故动圆圆心M的轨迹方程是x22－y214＝1(x≥2)．归纳升华1．解这类题的关键是要根据双曲线的定义，判断出轨迹的类型、形状和位置，进而简化求轨迹方程过程中的化简和证明过程．2．在解答与焦点有关的问题中要注意定义的使用．[变式训练1]已知F是双曲线x24－y212＝1的左焦点，点A(1，4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．解析：利用数形结合思想，注意到点A在双曲线的两支之间，且双曲线右焦点的坐标为(4，0)．设双曲线的右焦点为E，则|PF|－|PE|＝4，|PF|＋|PA|＝4＋|PE|＋|PA|.当A，P，E三点共线时，|PE|＋|PA|取得最小值，(|PE|＋|PA|)min＝|AE|＝5，故|PF|＋|PA|的最小值为9.答案：9[变式训练2]已知F为双曲线C：x29－y216＝1的左焦点，P，Q为C上的点．若PQ的长等于16，点A(5，0)在线段PQ上，则△PQF的周长为________．解析：由左焦点为F(－5，0)，且A(5，0)恰为右焦点，知线段PQ过双曲线的右焦点，则P，Q都在双曲线的右支上(若P、Q分散在双曲线的两支上，则△PQF不存在)．由双曲线的定义可知|PF|－|PA|＝2a，|QF|－|QA|＝2a.两式相加，得|PF|＋|QF|－(|PA|＋|QA|)＝4a，则|PF|＋|QF|＝4a＋|PQ|＝4×3＋16＝28，故△PQF的周长为28＋16＝44.答案：44类型2双曲线中有关焦点三角形问题(互动探究)[典例2]已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝()A.14B.35C.34D.45解析：因为由双曲线的定义有|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝22，所以|PF1|＝2|PF2|＝42，则cos∠F1PF2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1|·|PF2|＝（42）2＋（22）2－422×42×22＝34.答案：C[迁移探究1](变换条件)典例2中将条件“|PF1|＝2|PF2|”改为“∠F1PF2＝60°”，则△F1PF2的面积是________．解析：不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a＝22.在△F1PF2中，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1|·|PF2|＝12，所以|PF1|·|PF2|＝8，所以S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|sin60°＝23.答案：23[迁移探究2](变换条件)典例2中将条件“|PF1|＝2|PF2|”改为“PF1→·PF2→＝0”，则△F1PF2的面积是____．解析：不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a＝22，由于PF1→·PF2→＝0，所以PF1⊥PF2.所以在△F1PF2中，有|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，即|PF1|2＋|PF2|2＝16，所以|PF1|·|PF2|＝4，所以S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|＝2.答案：2归纳升华1．双曲线上的点P与其两个焦点F1，F2连接而成的三角形PF1F2称为焦点三角形．令|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，∠F1PF2＝θ，因|F1F2|＝2c，所以有(1)定义：|r1－r2|＝2a；(2)余弦公式：4c2＝r21＋r22－2r1r2cosθ；(3)面积公式：S△PF1F2＝12r1r2sinθ.一般地，在△PF1F2中，通过以上三个等式，所求问题就会顺利解决．2．利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义条件||PF1|－|PF2||＝2a的变形使用，二是要特别注意|PF1|2＋|PF2|2与|PF1|·|PF2|的关系．类型3求双曲线的方程[典例3](1)求以椭圆x216＋y29＝1的短轴的两个端点为焦点，且过点A(4，－5)的双曲线的标准方程；(2)已知双曲线通过M(1，1)，N(－2，5)两点，求双曲线的标准方程．解：(1)法一由题意知双曲线的两焦点为F1(0，－3)，F2(0，3)．设双曲线方程为y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)，将点A(4，－5)代入双曲线方程得25a2－16b2＝1.又a2＋b2＝9，解得a2＝5，b2＝4.所以双曲线的标准方程为y25－x24＝1.法二||AF1|－|AF2||＝|20－80|＝25＝2a，所以a＝5，所以b2＝c2－a2＝9－5＝4.所以双曲线的方程为y25－x24＝1.(2)设所求双曲线的方程为Ax2＋By2＝1.将点M(1，1)，N(－2，5)代入上述方程，得A＋B＝1，4A＋25B＝1，解得A＝87，B＝－17.故所求双曲线的标准方程为x278－y27＝1.归纳升华用待定系数法求双曲线标准方程的一般步骤1．定位：确定双曲线的焦点位置，如果题目没有建立坐标系，一般把焦点放在x轴上．2．设方程：根据焦点的位置设相应的双曲线标准方程，当焦点在两个坐标轴上都有可能时，一般设为Ax2＋By2＝1(AB＜0)．3．定值：根据题目的条件建立相关系数的方程，解出系数，代入所设方程．[变式训练]根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)与双曲线x216－y24＝1有相同的焦点，且经过点(32，2)；(2)过点P3，154，Q－163，5且焦点在坐标轴上．解：(1)法一设所求标准方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，所以c2＝16＋4＝20，即a2＋b2＝20.①因为双曲线经过点(32，2)，所以18a2－4b2＝1.②由①②得a2＝12，b2＝8，所以双曲线的标准方程为x212－y28＝1.法二设所求双曲线方程为x216－λ－y24＋λ＝1(－4＜λ＜16)．因为双曲线过点(32，2)，所以1816－λ－44＋λ＝1，解得λ＝4或λ＝－14(舍去)．所以双曲线的标准方程为x212－y28＝1.(2)法一当焦点在x轴上时，设标准方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，因为点P，Q在双曲线上，所以9a2－22516b2＝1，2569a2－25b2＝1，此方程组无解．当焦点在y轴上时，设标准方程为y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)，因为点P，Q在双曲线上，所以22516a2－9b2＝1，25a2－2569b2＝1，解得a2＝9，b2＝16.所以双曲线的标准方程为y29－x216＝1.法二设双曲线方程为x2m＋y2n＝1，mn＜0.因为点P，Q在双曲线上，所以9m＋22516n＝1，2569m＋25n＝1，解得m＝－16，n＝9.所以双曲线的标准方程为y29－x216＝1.类型4由双曲线的标准方程求参数[典例4]求满足下列条件的参数的值．(1)已知双曲线方程为2x2－y2＝k，焦距为6，求k的值；(2)椭圆x24＋y2a2＝1与双曲线x2a－y22＝1有相同的焦点，求a的值．解：(1)若焦点在x轴上，则方程可化为x2k2－y2k＝1，所以k2＋k＝32，即k＝6；若焦点在y轴上，则方程可化为y2－k－x2－k2＝1，所以－k＋－k2＝32，即k＝－6.综上所述，k的值为6或－6.(2)由双曲线方程知焦点在x轴上，且c2＝a＋2(a＞0)．由椭圆方程，知c2＝4－a2，所以a＋2＝4－a2，即a2＋a－2＝0，解得a＝1或a＝－2(舍去)．因此a的值为1.归纳升华1．有时要注意对焦点在x轴、y轴上进行分类讨论，不要漏解．2．题设中k的正负未定，不能误以为x2k2－y2k＝1就是双曲线的标准方程，需分类讨论．[变式训练]已知方程kx2＋y2＝4，其中k≤1.对于不同范围的k值，分别指出方程所表示的曲线类型．解：(1)当k＝0时，y＝±2，表示两条与x轴平行的直线．(2)当k＝1时，方程为x2＋y2＝4，表示圆心在原点，半径为2的圆．(3)当k＜0时，方程为y24－x2－4k＝1，表示焦点在y轴上的双曲线．(4)当0＜k＜1时，方程为x24k＋y24＝1，表示焦点在x轴上的椭圆．1．不要漏了双曲线定义中[||PF1|－|PF2||＝2a(2a＜|F1F2|)]的绝对值符号，当2a＝|F1F2|时，方程表示两条射线．2．在双曲线的标准方程中，a＞b不一定成立．要注意与椭圆中a，b，c的区别．在椭圆中a2＝b2＋c2，在双曲线中c2＝a2＋b2.3．用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出a，b，c的方程组．如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如mx2＋ny2＝1(mn＜0)的形式求解，通过解方程组即可确定m，n，避免了讨论，实为一种好方法.