2019秋高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.2 椭圆的简单几何性质 第2课时 椭圆方程及性质

第二章圆锥曲线与方程第2课时椭圆方程及性质的应用[学习目标]1.进一步熟练掌握椭圆的标准方程和几何性质．2.掌握直线和椭圆的位置关系的判断方法，能利用直线和椭圆的位置关系解决相关的弦长、中点弦等问题(重点、难点)．[知识提炼·梳理]1．点P(x0，y0)与椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的位置关系(1)点P在椭圆上⇔x20a2＋y20b2＝1；(2)点P在椭圆内部⇔x20a2＋y20b2＜1；(3)点P在椭圆外部⇔x20a2＋y20b2＞1．2．直线与椭圆的位置关系直线y＝kx＋m与椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的位置关系判断方法：联立y＝kx＋m，x2a2＋y2b2＝1，消去y得一个一元二次方程.位置关系解的个数Δ的取值相交两解Δ＞0相切一解Δ＝0相离无解Δ＜03.弦长公式设直线方程为y＝kx＋m(k≠0)，椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)或y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)，直线与椭圆的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝（x1－x2）2＋（y1－y2）2＝1＋k2·（x1－x2）2＝1＋k2·（x1＋x2）2－4x1x2，或|AB|＝1＋1k2·（y1－y2）2＝1＋1k2·（y1＋y2）2－4y1y2.[思考尝试·夯基]1．设椭圆x212＋y29＝1的短轴为B1B2，F1为椭圆的一个焦点，则∠B1F1B2的大小为()A．30°B．60°C．90°D．120°解析：由椭圆的方程知a＝23，b＝3，所以sin∠B1F1O＝ba＝323＝32，所以∠B1F1O＝60°.由对称性知∠B1F1B2＝2∠B1F1O＝120°.答案：D2．点A(a，1)在椭圆x24＋y22＝1的内部，则a的取值范围是()A．－2a2B．a－2或a2C．－2a2D．－1a1解析：因为点A(a，1)在椭圆x24＋y22＝1的内部，所以a24＋121，所以a2412，则a22，所以－2a2.答案：A3．直线y＝x＋2与椭圆x2m＋y23＝1有两个公共点，则m的取值范围是()A．m＞1B．m＞1且m≠3C．m＞3D．m＞0且m≠3答案：B4．已知直线y＝m与椭圆x23＋y24＝1有两个不同的交点，则实数m的取值范围为________．解析：椭圆x23＋y24＝1上的点的纵坐标的范围是[－2，2]，故要使直线y＝m与椭圆x23＋y24＝1有两个不同的交点，则实数m的取值范围(－2，2)．答案：(－2，2)5．椭圆x2＋4y2＝16被直线y＝12x＋1截得的弦长为________．答案：35类型1直线与椭圆的位置关系(自主研析)[典例1]已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.(1)当直线与椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；(2)求直线被椭圆截得的最长弦的长度．解：由方程组4x2＋y2＝1，y＝x＋m，消去y并整理，得5x2＋2mx＋m2－1＝0.(1)因为直线与椭圆有公共点．所以Δ＝4m2－20(m2－1)＝20－16m2≥0.解得－52≤m≤52.故实数m的取值范围是－52，52.(2)由根与系数的关系，得x1＋x2＝－2m5，x1·x2＝m2－15，则弦长d＝1＋k2·|x1－x2|＝（1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1·x2]＝24m225－4（m2－1）5＝2510－8m2，故当m＝0时，d取得最大值为2105.所以最长弦的长度为2105.归纳升华1．直线和椭圆有公共点包含相切和相交两种情况：Δ≥0.2．弦长公式的另一种形式：d＝1＋1k2·|y1－y2|.3．若直线的斜率一定，则当直线过椭圆的中心时，直线被椭圆截得的弦长最大．[变式训练]在椭圆x24＋y27＝1上求一点P，使它到直线l：3x－2y－16＝0的距离最短，并求出最短距离．解：设与椭圆相切并与l平行的直线方程为y＝32x＋m，代入x24＋y27＝1，并整理得4x2＋3mx＋m2－7＝0，Δ＝9m2－16(m2－7)＝0⇒m2＝16⇒m＝±4，故两切线方程分别为y＝32x＋4和y＝32x－4，显然y＝32x－4距l最近，所求最小距离为d＝|16－8|32＋（－2）2＝813＝81313.由x24＋y27＝1，y＝32x－4得x＝32，y＝－74，即切点为P32，－74.类型2有关弦的中点问题[典例2]椭圆ax2＋by2＝1与直线x＋y－1＝0相交于A，B两点，C是AB的中点，若|AB|＝22，OC的斜率为22，求椭圆的方程．解：法一设A(x1，y1)B(x2，y2)，代入椭圆方程并作差得a(x1＋x2)(x1－x2)＋b(y1＋y2)(y1－y2)＝0.又y1－y2x1－x2＝－1，y1＋y2x1＋x2＝kOC＝22，代入上式可得b＝2a.|AB|＝2|x2－x1|＝22，其中x1，x2是方程(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0的两根，故2ba＋b2－4×b－1a＋b＝4.将b＝2a代入得a＝13，所以b＝23.所以所求椭圆的方程是x2＋2y2＝3.法二由ax2＋by2＝1，x＋y＝1，得(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝（k2＋1）（x1－x2）2＝2·4b2－4（a＋b）（b－1）a＋b，因为|AB|＝22，所以a＋b－aba＋b＝1.①设C(x，y)，则x＝x1＋x22＝ba＋b，y＝1－x＝aa＋b，因为OC的斜率为22，所以ab＝22.代入①，得a＝13，b＝23.所以椭圆方程为x23＋23y2＝1.归纳升华1．有关弦的中点问题，常利用设点代入、作差、借助斜率的解题方法，这种方法称作“点差法”，是解析几何中解决直线与圆锥曲线位置关系的常用技巧．2．有关弦的中点问题，还可利用圆锥曲线弦长的基本求法，即利用两点间的距离公式并结合弦所在直线的斜率k，利用弦长＝（1＋k2）（x2－x1）2与韦达定理结合求解，这种方法较简单．[变式训练]已知椭圆x216＋y24＝1的弦AB的中点M的坐标为(2，1)，求直线AB的方程．解：法一易知直线的斜率k存在．设所求直线的方程为y－1＝k(x－2)，由y－1＝k（x－2），x216＋y24＝1，得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两根，于是x1＋x2＝8（2k2－k）4k2＋1.又M为AB的中点，所以x1＋x22＝4（2k2－k）4k2＋1＝2，解得k＝－12，且满足Δ＞0.故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.法二设A(x1，y1)，B(x2，y2)．因为M(2，1)为AB的中点，所以x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.又A，B两点在椭圆上，所以x21＋4y21＝16，x22＋4y22＝16，两式相减，得(x21－x22)＋4(y21－y22)＝0，于是(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0，所以y1－y2x1－x2＝－x1＋x24（y1＋y2）＝－44×2＝－12，即kAB＝－12.故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.类型3与椭圆有关的综合问题[典例3](1)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为()A.63B.33C.23D.13(2)如图，已知圆G：x2＋y2－2x－2y＝0经过椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的右焦点F及上顶点B，过椭圆外一点(m，0)(ma)且斜率为－33的直线l交椭圆于C，D两点．①求椭圆的方程；②若FC→·FD→＝0，求m的值．(1)答案：A(2)解：①在圆方程x2＋y2－2x－2y＝0中，令y＝0，得x＝0或x＝2；令x＝0，得y＝0或y＝2.又圆G经过椭圆的右焦点F及上顶点B，所以F(2，0)，B(0，2)，所以c＝2，b＝2，所以a2＝6，所以椭圆的方程为x26＋y22＝1.②由题意得直线l的方程为y＝－33(x－m)(m6)．由x26＋y22＝1，y＝－33（x－m），消去y得，2x2－2mx＋m2－6＝0.因为直线l交椭圆于C，D两点，所以Δ＝4m2－8(m2－6)0，解得－23m23.又m6，所以6m23，设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1＋x2＝m，x1x2＝m2－62.所以y1y2＝－33（x1－m）·－33（x2－m）＝13x1x2－m3·(x1＋x2)＋m23.因为FC→＝(x1－2，y1)，FD→＝(x2－2，y2)，所以FC→·FD→＝(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝43x1x2－m＋63(x1＋x2)＋m23＋4＝2m（m－3）3.又FC→·FD→＝0，所以2m（m－3）3＝0，解得m＝0或m＝3.又6m23，所以m＝3.归纳升华解决直线和椭圆综合问题的注意点1．根据条件设出合适的直线的方程，当不知直线是否有斜率时需要分情况讨论．2．在具体求解时，常采用设而不求、整体代换的方法，使运算变得简单．3．不要忽视判别式的作用，在解题中判别式起到了限制参数范围的作用，这一点容易被忽视．[变式训练]已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率为63，且经过点32，12.(1)求椭圆C的方程；(2)过点P(0，2)的直线交椭圆C于A，B两点，求△AOB(O为原点)面积的最大值．解：(1)由e2＝a2－b2a2＝1－b2a2＝23，得ba＝13，①由椭圆C经过点32，12，得94a2＋14b2＝1，②联立①②，解得b＝1，a＝3，所以椭圆C的方程是x23＋y2＝1.(2)易知直线AB的斜率存在，设其方程为y＝kx＋2，将直线AB的方程与椭圆C的方程联立，消去y得(1＋3k2)x2＋12kx＋9＝0，令Δ＝144k2－36(1＋3k2)0，得k21.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－12k1＋3k2，x1x2＝91＋3k2，所以S△AOB＝|S△POB－S△POA|＝12×2×|x1－x2|＝|x1－x2|.因为(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝－12k1＋3k22－361＋3k2＝36（k2－1）（1＋3k2）2，设k2－1＝t(t0)，则(x1－x2)2＝36t（3t＋4）2＝369t＋16t＋24≤3629t×16t＋24＝34，当且仅当9t＝16t，即t＝43时等号成立，此时k2＝73，△AOB面积取得最大值32.1．直线与椭圆的位置关系，可考虑由直线方程和椭圆方程得到的一元二次方程，利用“Δ”进行判定，求弦长时可利用根与系数的关系，中点弦问题考虑使用“点差法”．2．最值问题转化为函数最值问题或利用数形结合思想．3．直线和椭圆位置关系问题中设而不求、整体代换是常用的运算技巧，在解题中要注意运用，避免求解浪费时间或造成不必要的失分．4．直线和椭圆相交时切记Δ＞0是求参数范围(值)的前提条件.