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第二章圆锥曲线与方程2．2.2椭圆的简单几何性质第1课时椭圆的简单几何性质[学习目标]1.掌握椭圆的几何性质，了解椭圆标准方程中a，b，c的几何意义(重点)．2.会用椭圆的几何意义解决相关问题(难点)．[知识提炼·梳理]1．椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)范围－a≤x≤a，－b≤y≤b－b≤x≤b，－a≤y≤a顶点(－a，0)，(a，0)，(0，－b)，(0，b)(0，－a)，(0，a)，(－b，0)，(b，0)轴长短轴长＝2b，长轴长＝2a焦点(±a2－b2，0)(0，±a2－b2)焦距|F1F2|＝2a2－b2对称性对称轴，x轴、y轴对称中心：原点(0，0)离心率e＝ca∈(0，1)2.离心率的作用椭圆的离心率的大小决定了椭圆的形状，反映了椭圆的扁圆程度．由ba＝a2－c2a2＝1－e2(0＜e＜1)可知，当e越接近于1时，ba越接近于0，椭圆越扁；当e越接近于0时，ba越接近于1，椭圆越接近于圆．温馨提示当且仅当a＝b时，c＝0，两焦点重合，图形变为圆，方程为x2＋y2＝a2.但需要特别指出的是圆与椭圆是完全不同的两种曲线，圆不是椭圆的特殊情形．[思考尝试·夯基]1．已知点(3，2)在椭圆x2a2＋y2b2＝1上，则()A．点(－3，－2)不在椭圆上B．点(3，－2)不在椭圆上C．点(－3，2)在椭圆上D．无法判断点(－3，－2)，(3，－2)，(－3，2)是否在椭圆上答案：C2．焦点在x轴上的椭圆x2m＋y21＝1(m0)的焦距为4，则长轴长是()A．3B．6C．25D.5答案：C3．已知椭圆G的中心在坐标原点，焦点在x轴上，短轴长为2，且椭圆G上一点到其两个焦点的距离之和为6，则椭圆G的方程为()A.x29＋y2＝1B.x29＋y24＝1C.x236＋y2＝1D.x236＋y24＝1答案：A4．若椭圆的短轴长为6，焦点到长轴的一个端点的最近距离是1，则椭圆的离心率为________．解析：依题意，得b＝3，a－c＝1.又a2＝b2＋c2，解得a＝5，c＝4，所以椭圆的离心率为e＝ca＝45.答案：455．直线y＝a与椭圆x23＋y22＝1恒有两个不同的交点，则a的取值范围是________．解析：由方程可知－2≤y≤2，所以－2a2.答案：(－2，2)类型1椭圆的简单几何性质(自主研析)[典例1]求椭圆4x2＋9y2＝36的长轴长和短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率，并用描点法画出它的图形．解：把椭圆的方程化为标准方程x29＋y24＝1.可知此椭圆的焦点在x轴上，且长半轴长a＝3，短半轴长b＝2；又得半焦距c＝a2－b2＝9－4＝5.因此，椭圆的长轴长2a＝6，短轴长2b＝4；两个焦点的坐标分别是(－5，0)，(5，0)；四个顶点的坐标分别是(－3，0)，(3，0)，(0，－2)，(0，2)．为画此椭圆的图形，将椭圆方程变形为y＝±239－x2(－3≤x≤3)．由y＝239－x2(0≤x≤3)，可求出椭圆在第一象限内一些点的坐标(x，y)，列表如下：x…00.511.522.53…y…21.971.891.731.491.110…描点，再用光滑曲线顺次连接这些点，得到椭圆在第一象限的图形；然后利用椭圆的对称性画出整个椭圆，如图．归纳升华1．已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式的先化成标准形式，再确定焦点的位置．2．焦点位置不确定的要分类讨论，找准a与b，正确利用a2＝b2＋c2求出焦点坐标，再写出顶点坐标．[变式训练1]椭圆x29＋y24＝1所围成图形的面积__________24(填“大于”“小于”或“等于”)．解析：椭圆x29＋y24＝1位于直线x＝±3和y＝±2所围成的矩形框内，其面积小于矩形面积24，故填“小于”．答案：小于[变式训练2]经过点P(－3，0)，Q(0，－2)的椭圆的标准方程为________________________．解析：由题意知点P(－3，0)，Q(0，－2)分别是椭圆长轴和短轴的一个顶点，故椭圆的焦点在x轴上，且a＝3，b＝2，故椭圆的标准方程为x29＋y24＝1.答案：x29＋y24＝1类型2根据性质求椭圆的方程[典例2]写出满足下列条件的椭圆的标准方程．(1)焦点在x轴上，a＝4，e＝12；(2)焦点在y轴上，c＝6，e＝23；(3)短轴的一个端点到一个焦点的距离为5，焦点到椭圆中心的距离为3.解：(1)由a＝4，e＝ca＝12，知c＝2，b2＝16－4＝12.又焦点在x轴上，所以椭圆的标准方程为x216＋y212＝1.(2)由c＝6，e＝23，知a＝9，b2＝81－36＝45.又焦点在y轴上，所以椭圆的标准方程为y281＋x245＝1.(3)由题意知c＝3，b2＝25－9＝16，a＝b2＋c2＝5，焦点所在坐标轴可为x轴，也可为y轴，故椭圆的标准方程为x225＋y216＝1或x216＋y225＝1.归纳升华1．利用椭圆的几何性质求标准方程时通常采用待定系数法．2．根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”，一般步骤是：(1)求出a2，b2的值；(2)确定焦点所在的坐标轴；(3)写出标准方程．[变式训练]求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)离心率为32，经过点(2，0)；(2)椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且这个焦点到长轴上较近顶点的距离是10－5.解：(1)由e＝ca＝32，设a＝2k，c＝3k，k0，则b＝k.又椭圆所过点(2，0)为椭圆的顶点，故若(2，0)为长轴顶点，则a＝2，b＝1，椭圆的标准方程为x24＋y2＝1.若(2，0)为短轴顶点，则b＝2，a＝4，椭圆的标准方程为x24＋y216＝1.(2)由一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，得b＝c，所以a＝2b.又这个焦点到长轴上较近顶点的距离是10－5，所以a－c＝a－b＝10－5，所以a＝10，b＝5.所以椭圆的标准方程是x210＋y25＝1.类型3求椭圆的离心率(规范解答)[典例3]（本小题满分12分）如图所示，椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，A，B是椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且PF1⊥x轴，PF2∥AB，求此椭圆的离心率.审题指导：求椭圆的离心率就是设法建立a，c的关系式，此题可借助△PF1F2∽△AOB以及a2＝c2＋b2来建立a，c的关系．[规范解答]设椭圆的方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)．则有F1(－c，0)，F2(c，0)，A(0，b)，B(a，0)，(3分)直线PF1的方程为x＝－c，代入方程x2a2＋y2b2＝1，得y＝±b2a，(6分)所以P－c，b2a.又PF2∥AB，所以△PF1F2∽△AOB.(8分)所以|PF1||F1F2|＝|AO||OB|，所以b22ac＝ba，所以b＝2c.所以b2＝4c2，所以a2－c2＝4c2，所以c2a2＝15.(10分)所以e2＝15，即e＝55，所以椭圆的离心率为55.(12分)失分警示：在利用相似三角形时，一定要注意对应边成比例，不能混淆．归纳升华1．求离心率e时，除用关系式a2＝b2＋c2外，还要注意e＝ca的代换，通过方程思想求离心率．2．在椭圆中涉及三角形问题时，要充分利用椭圆的定义、正弦定理及余弦定理、全等三角形、相似三角形等知识．[类题尝试]已知O为坐标原点，F是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左焦点，A，B分别为椭圆C的左、右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则椭圆C的离心率为()A.13B.12C.23D.34解析：由题意可知直线AE的斜率存在，设为k，直线AE的方程为y＝k(x＋a)，令x＝0可得点E坐标为(0，ka)，所以OE的中点H坐标为0，ka2.又右顶点B(a，0)，所以可得直线BM的斜率为－k2，可设其方程为y＝－k2x＋k2a，联立y＝k（x＋a），y＝－k2x＋k2a，可得点M横坐标为－a3，又点M的横坐标和左焦点相同，所以－a3＝－c，所以e＝13.答案：A1．已知椭圆的方程讨论性质时，若椭圆方程不是标准形式，应先化成标准形式．2．根据椭圆的几何性质，求椭圆的标准方程，其基本思路是“先定型，再定量”，常用的方法是待定系数法，在椭圆的基本量中，能确定类型的量有焦点、顶点，而不能确定类型的量有长轴长、短轴长、离心率e、焦距．3．求椭圆的离心率要注意方程思想、数形结合思想的应用.