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第二章圆锥曲线与方程2．2椭圆2．2.1椭圆及其标准方程[学习目标]1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程．2.了解椭圆的标准方程的推导及简化过程．3.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形(重点、难点)．[知识提炼·梳理]1．椭圆的定义(1)前提要素：平面内，一个动点M，两个定点F1，F2，一个常数2a.(2)满足关系：|MF1|＋|MF2|为常数2a．(3)限制条件：常数2a大于|F1F2|．(4)相关概念：两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个定点之间的距离|F1F2|叫作椭圆的焦距．温馨提示1．椭圆定义的集合语言叙述为：点集P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a，2a＞|F1F2|}，其中，两定点F1、F2叫作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距．2．当2a＝|F1F2|时，轨迹是线段；当2a＜|F1F2|时，轨迹不存在．2．椭圆的标准方程焦点所在坐标轴焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程x2a2＋y2b2＝1(ab0)y2a2＋x2b2＝1(ab0)图形焦点坐标(±c，0)(0，±c)a，b，c的关系a2＝b2＋c2点M在椭圆上|MF1|＋|MF2|＝2a温馨提示椭圆的两种标准方程的相同点和不同点1．相同点：它们的大小和形状都相同，都有a＞b＞0，a2＝b2＋c2，焦距都是2c，椭圆上的点到两焦点距离的和均为2a.2．不同点：两类椭圆的焦点位置不同，即焦点所在坐标轴不同，因此焦点坐标也不相同．[思考尝试·夯基]1．已知F1，F2是定点，|F1F2|＝8，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝8，则动点M的轨迹是()A．椭圆B．直线C．圆D．线段解析：因为|MF1|＋|MF2|＝8＝|F1F2|，所以点M的轨迹是线段F1F2.答案：D2．椭圆x225＋y2＝1上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为()A．5B．6C．7D．8解析：由椭圆定义知点P到另一个焦点的距离是10－2＝8.答案：D3．已知椭圆的焦点为(－1，0)和(1，0)，点P(2，0)在椭圆上，则椭圆的方程为()A.x24＋y23＝1B.x24＋y2＝1C.y24＋x23＝1D.y24＋x2＝1解析：c＝1，a＝2，所以b2＝a2－c2＝4－1＝3，椭圆的方程为x24＋y23＝1.答案：A4．已知椭圆焦点在x轴上，且a＝4，c＝2，则椭圆方程为________．解析：依题意a2＝16，b2＝a2－c2＝16－4＝12，又焦点在x轴上，所以椭圆方程为x216＋y212＝1.答案：x216＋y212＝15．椭圆x2m＋y215＝1的焦距等于2，则m的值是________．解析：焦点在x轴上时，m－15＝1⇒m＝16；焦点在y轴上时，15－m＝1⇒m＝14.答案：16或14类型1椭圆定义的应用(自主研析)[典例1]椭圆x225＋y29＝1上一点P到一个焦点的距离为5，则点P到另一个焦点的距离为()A．5B．6C．4D．10解析：由于点P到椭圆的两个焦点的距离之和为2a＝10，故10－5＝5.答案：A归纳升华椭圆定义的应用技巧1．椭圆的定义具有双向作用，即若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)，则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a.2．椭圆的定义能够对一些距离进行相互转化，简化解题过程．因此，解题过程中遇到涉及曲线上的点到焦点的距离问题时，应先考虑是否能够利用椭圆的定义求解．[变式训练]设F1，F2是椭圆x225＋y29＝1的焦点，P为椭圆上一点，则△PF1F2的周长为()A．16B．18C．20D．不确定解析：△PF1F2的周长为|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝2a＋2c.因为2a＝10，c＝25－9＝4，所以周长为10＋8＝18.答案：B类型2利用椭圆的定义求椭圆的标准方程[典例2]动点P(x，y)的坐标满足（x－2）2＋y2＋（x＋2）2＋y2＝8.试确定点P的轨迹方程．解：设A(2，0)，B(－2，0)，则（x－2）2＋y2表示|PA|，（x＋2）2＋y2表示|PB|，又|AB|＝4，所以|PA|＋|PB|＝84，所以点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆．2a＝8，a＝4，2c＝|AB|＝4，c＝2，所以b2＝a2－c2＝42－22＝12.所以点P的轨迹方程为x216＋y212＝1.归纳升华定义法求椭圆的标准方程先根据动点具有的条件，验证是否符合椭圆的定义，即动点到两定点距离之和是否是一常数，且该常数(定值)大于两定点间的距离．若符合，则动点的轨迹为椭圆，且两定点间的距离为焦距2c，距离之和是常数2a.从而可以确定椭圆的方程．[变式训练]如图，在圆C：(x＋1)2＋y2＝25内有一点A(1，0)，Q为圆C上一点，AQ的垂直平分线与C，Q的连线交于点M，求点M的轨迹方程．解：由题意，知点M在线段CQ上，所以|CQ|＝|MQ|＋|MC|.因为点M在AQ的垂直平分线上，所以|MA|＝|MQ|，所以|MA|＋|MC|＝|CQ|＝5.因为A(1，0)，C(－1，0)，所以点M的轨迹是以(1，0)，(－1，0)为焦点的椭圆，且2a＝5.所以a＝52，c＝1，b2＝a2－c2＝254－1＝214.故点M的轨迹方程为x2254＋y2214＝1.类型3与焦点有关的三角形问题(规范解答)[典例3]如图所示，P是椭圆x24＋y23＝1上的一点，F1，F2为椭圆的左、右焦点，且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2的面积．审题指导：由余弦定理结合椭圆的定义求出|PF1|，再代入三角形的面积公式求解．[规范解答]由已知a＝2，b＝3，得c＝a2－b2＝4－3＝1，|F1F2|＝2c＝2.在△PF1F2中，由余弦定理，得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1||F1F2|·cos120°，即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|，①由椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝4，即|PF2|＝4－|PF1|.②把②代入①解得|PF1|＝65.所以S△PF1F2＝12|PF1|·|F1F2|·sin120°＝12×65×2×32＝335.即△PF1F2的面积是335.归纳升华对于椭圆上一点P与椭圆的两焦点F1，F2构成的△F1PF2，求其三角形的面积时注意整体思想的应用，如已知∠F1PF2，可利用S＝12absinC把|PF1|·|PF2|看成一个整体，运用公式|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，无需单独求出|PF1|和|PF2|，这样可以减少运算量．[变式训练]将典例3中的“∠PF1F2＝120°”改为“∠F1PF2＝60°”，求△PF1F2的面积．解：由已知a＝2，b＝3，得c＝a2－b2＝4－3＝1.所以|F1F2|＝2c＝2，在△PF1F2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos60°，即4＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|－2|PF1|·|PF2|·cos60°.所以4＝16－3|PF1||PF2|.所以|PF1||PF2|＝4.所以S△PF1F2＝12|PF1||PF2|·sin60°＝12×4×32＝3.类型4由标准方程求参数的取值范围(误区警示)[典例4]若方程x25－k＋y2k－3＝1表示椭圆，求k的取值范围．易错提示：解答本题易忽略椭圆的标准方程中a＞b这个条件，当a＝b时，方程并不表示椭圆．防范措施：椭圆标准方程中，分母都大于零且不相等，在解题时，不仅要注意分母都大于零，还要注意分母相等时该方程就变成了圆的方程．解：由题意可知5－k＞0，k－3＞0，5－k≠k－3，解得3＜k＜5且k≠4.故k的取值范围为(3，4)∪(4，5)．[类题尝试]若方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，求k的取值范围．解：原方程可化为x22＋y22k＝1.因为方程表示焦点在y轴上的椭圆，所以k＞0，2k＞2，2≠2k，解得0＜k＜1.故k的取值范围是(0，1)．1．平面内到两定点F1，F2的距离之和为常数，即|MF1|＋|MF2|＝2a.(1)当2a＞|F1F2|时，轨迹是椭圆；(2)当2a＝|F1F2|时，轨迹是一条线段F1F2；(3)当2a＜|F1F2|时，轨迹不存在．2．椭圆的标准方程可以通过待定系数法求解，也可以通过椭圆的定义进行求解．3．用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解；也可设Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B)求解，避免了分类讨论，达到了简化运算的目的．4．利用标准方程求参数范围，一要注意将方程化为标准形式，二要注意表示椭圆的条件及焦点在哪个坐标轴上.