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第二章圆锥曲线与方程2．1曲线与方程2．1.1曲线与方程[学习目标]1.理解曲线的方程和方程的曲线的概念(重点)．2.曲线和方程通过曲线上的点的坐标建立起一一对应关系(难点)．[知识提炼·梳理]曲线的方程、方程的曲线一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解．(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程叫作曲线的方程，这条曲线叫作方程的曲线．温馨提示1．定义中的关系(1)说明曲线上所有点的坐标都满足方程，即曲线上所有的点都符合这个条件而无例外，这是曲线的“纯粹性”．2．定义中的关系(2)说明符合条件的所有点都在曲线上而无遗漏，这是曲线的“完备性”．[思考尝试·夯基]1．“点M在曲线y2＝4x上”是“点M的坐标满足方程y＝－2x”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件答案：B2．方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示的图形是()A．两个点B．四个点C．两条直线D．四条直线答案：B3．下列四个图形中，图形下面的方程是图形中曲线的方程的是()答案：D4．点A(1，－2)在曲线x2－2xy＋ay＋5＝0上，则a＝________．解析：由题意可知点(1，－2)是方程x2－2xy＋ay＋5＝0的一组解，即1＋4－2a＋5＝0，解得a＝5.答案：55．方程y＝3x－2(x≥1)表示的曲线为________．答案：一条射线类型1曲线与方程的概念(自主研析)[典例1]若命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是正确的，则下列命题为真命题的是()A．不是曲线C上的点的坐标，一定不满足方程f(x，y)＝0B．坐标满足方程f(x，y)＝0的点均在曲线C上C．曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线D．不是方程f(x，y)＝0的解，一定不是曲线C上的点解析：因为题设命题只说明“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”，并未指出“以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都是曲线C上的点”，所以A，B，C都是假命题，如曲线C：平面直角坐标系一、三象限角平分线上的点，与方程f(x，y)＝x2－y2＝0，满足题设条件，但却不满足选项A，B，C的结论，根据逆否命题是原命题的等价命题知，D是正确的．答案：D归纳升华1．判断方程是否是曲线的方程，要从两个方面着手：(1)检验曲线上的点的坐标是否适合方程；(2)检验以方程的解为坐标的点是否在曲线上．从而建立方程的解与曲线上点的坐标的一一对应关系．2．判定一条曲线是否为所给定方程的曲线，必须证明以上两个条件同时成立．[变式训练]分析下列曲线上的点与相应方程的关系．(1)以坐标原点为圆心，半径为r的圆的方程是y＝r2－x2；(2)到两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy＝5之间的关系．解：(1)不正确．设(x0，y0)是方程y＝r2－x2的解，则y0＝r2－x20，即x20＋y20＝r2.两边开平方取算术平方根，得x20＋y20＝r，即点(x0，y0)到原点的距离等于r，点(x0，y0)是这个圆上的点．因此满足以方程的解为坐标的点都是曲线上的点．但是，以原点为圆心、半径为r的圆上的一点如点r2，－32r在圆上，却不是y＝r2－x2的解，这就不满足曲线上的点的坐标都是方程的解．所以，以原点为圆心，半径为r的圆的方程不是y＝r2－x2，而应是y＝±r2－x2或x2＋y2＝r2.(2)到两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy＝5，但以方程xy＝5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5.因此到两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy＝5.类型2由方程判断曲线(互动探究)[典例2]方程x2＋y2＝1(xy＜0)的曲线形状是()解析：方程x2＋y2＝1表示以原点为圆心，半径为1的单位圆，而约束条件xy＜0则表明单位圆上点的横、纵坐标异号，即单位圆位于第二或第四象限的部分．答案：C[迁移探究1](变换条件)方程y＝1－x2的曲线是什么图形？解：方程可化为x2＋y2＝1(y≥0)，故原方程表示以原点为圆心，1为半径的圆的上半部分，且包括端点．如图所示．[迁移探究2](变换条件)方程y＝－1－x2的曲线是什么图形？解：方程可化为x2＋y2＝1(y≤0)，故原方程表示以原点为圆心，1为半径的圆的下半部分，且包括端点，如图所示．归纳升华判断方程表示什么曲线，需对方程进行同解变形，常用的方法有配方法、因式分解法等；或化为我们所熟悉的形式，然后根据方程的特征进行判断．类型3曲线与方程关系的应用[典例3]已知方程x2＋(y－1)2＝10.(1)判断点P(1，－2)，Q(2，3)是否在此方程表示的曲线上；(2)若点Mm2，－m在此方程表示的曲线上，求m的值；(3)求该方程的曲线与曲线x＋3＝0的交点的坐标．解：(1)因为12＋(－2－1)2＝10，(2)2＋(3－1)2＝6≠10，所以P(1，－2)在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上，Q(2，3)不在此曲线上．(2)因为Mm2，－m在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上，所以m22＋(－m－1)2＝10，解得m＝2或m＝－185.(3)联立x2＋（y－1）2＝10，x＋3＝0，将x＋3＝0化为x＝－3，代入x2＋(y－1)2＝10，解得y＝0或y＝2，即方程组的解为x＝－3，y＝0.或x＝－3，y＝2.因此两曲线的交点坐标是(－3，0)和(－3，2)．归纳升华1．判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是否是方程的解，是否适合方程．若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上．2．已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数的值或范围问题．3．求两条曲线的交点的坐标，就是联立两条曲线的方程构成方程组，求解方程组，方程组的解就是交点的坐标，方程组的解的个数就是两曲线交点的个数．[变式训练]设α∈[0，2π)，点P(cosα，sinα)在曲线(x－2)2＋y2＝3上，则α＝________．解析：因为点P(cosα，sinα)在曲线(x－2)2＋y2＝3上，所以(cosα－2)2＋(sinα)2＝3，所以cosα＝12，又因为α∈[0，2π)，所以α＝π3或5π3.答案：π3或5π31．曲线的方程和方程的曲线必须满足两个条件：曲线上点的坐标都是方程的解，以方程的解为坐标的点都在曲线上．2．点(x0，y0)在曲线C上的充要条件是点(x0，y0)适合曲线C的方程．