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第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2．2.2反证法[学习目标]1.了解反证法是间接证明的一种基本方法(重点).2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题(重点、难点)．1．反证法(1)反证法是间接证明的一种基本方法．(2)一般地，假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这种证明方法叫作反证法．温馨提示反证法不是通过证明逆否命题来证明原命题．反证法是先否定命题，然后再证明命题的否定是错误的，从而肯定原命题正确．2．反证法的一般步骤用反证法证明命题时，要从否定结论开始，经过正确的推理，导出逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程．这个过程包括下面三个步骤：(1)反设——假设命题的结论不成立，即假设原结论的反面为真；(2)归谬——由“反设”作为条件，经过一系列正确的推理，得出矛盾；(3)存真——由矛盾结果断定反设错误，从而肯定原结论成立．1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)反证法属于间接证明问题的方法．()(2)反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理．()(3)反证法的实质是否定结论导出矛盾．()解析：(1)对，反证法是间接证明问题的方法．(2)错，反证法是演绎推理，不是合情推理．(3)对，根据反证法的概念知说法正确．答案：(1)√(2)×(3)√2．应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用()①结论的否定，即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原命题的结论．A．①②B．①②④C．①②③D．②③解析：由反证法的定义，可将①②③作为条件使用，而④(原命题的结论)不能作为条件使用．答案：C3．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设正确的是()A．假设三内角都不大于60°B．假设三内角都大于60°C．假设三内角至多有一个大于60°D．假设三内角至多有两个大于60°解析：“至少有一个内角不大于60°”的否定“三个内角都大于60°”∴反设应是“假设三内角都大于60°”．答案：B4．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误；②所以一个三角形不能有两个直角；③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A＝90°，∠B＝90°.上述步骤的正确顺序为________(填序号)．解析：反证法的步骤为：反设―→归谬―→存真∴正确顺序为③①②.答案：③①②5．用反证法证明命题“如果a＞b，则3a＞3b时，假设的内容是________．”解析：3a与3b的关系有三种情况：3a＞3b，3a＝3b，3a＜3b.所以假设的内容应为3a≤3b.答案：3a≤3b类型1用反证法证明否(肯)定性命题(自主研析)[典例1]设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a，b，c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数．求证：f(x)＝0无整数根．[自主解答]假设f(x)＝0有整数根n，则an2＋bn＋c＝0又f(0)，f(1)均为奇数，所以c为奇数，a＋b为偶数，则an2＋bn＝－c为奇数，即n(an＋b)为奇数．∴n，an＋b均为奇数．又a＋b为偶数，∴an－a为奇数，即a(n－1)为奇数∴n－1为奇数，这与n为奇数矛盾．∴f(x)＝0无整数根．归纳升华1．证题的关键是根据f(0)，f(1)均为奇数，分析出a，b，c的奇偶情况，并应用．2．(1)当要证的结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题，此类问题的反面比较具体，适于应用反证法．通过反设，用转化后的命题作为条件进行推理，导出矛盾，达到证明目的．(2)反证法证题时，若结论的反面有多种情况，必须将各种情况一一驳倒，才能推断结论成立．[变式训练]已知f(x)＝ax＋x－2x＋1(a1)，求证：方程f(x)＝0没有负数根．证明：假设x0是f(x)＝0的负数根，则x00且x0≠－1且ax0＝－x0－2x0＋1＝3x0＋1－1，当－1x00时，0x0＋11，所以3x0＋13，所以3x0＋1－12，又因为ax01，矛盾．当x0－1时，x0＋10，3x0＋10，3x0＋1－1－1，而ax00，矛盾．故方程f(x)＝0没有负数根．类型2用反证法证明“唯一性”命题[典例2]若函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断开，f(a)0，f(b)0，且f(x)在[a，b]上单调递增，求证：f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．证明：由于f(x)在[a，b]上的图象连续不断开，且f(a)0，f(b)0，即f(a)·f(b)0，所以f(x)在(a，b)内至少存在一个零点，设零点为m，则f(m)＝0，假设f(x)在(a，b)内还存在另一个零点n，即f(n)＝0，则n≠m.若nm，则f(n)f(m)，即00，矛盾；若nm，则f(n)f(m)，即00，矛盾．因此假设不正确，即f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．归纳升华1．反证法证明唯一性命题的适用类型：当证明结论是“有且只有”“只有一个”“唯一”等形式的命题时，由于从假设的结论中易于导出矛盾，所以用反证法证明唯一性比较简单．2．证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个方面，即存在性问题和唯一性问题两个方面．[变式训练]用反证法证明：过已知直线a外一点A只有一条直线b与已知直线a平行．证明：假设过点A还有一条直线b′与已知直线a平行，则b∩b′＝A，b′∥a，又b∥a，由平行公理知b′∥b.这与b∩b′＝A矛盾，故假设错误，所以过已知直线a外一点A只有一条直线b与已知直线a平行.类型3用反证法证明“至多”、“至少”命题(互动探究)[典例3]已知a，b，c∈(0，1)，求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a至少有一个不大于14.证明：假设(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a都大于14.因为a，b，c∈(0，1)，所以1－a0，1－b0，1－c0.所以（1－a）＋b2≥（1－a）b14＝12.同理（1－b）＋c212，（1－c）＋a212.三式相加得（1－a）＋b2＋（1－b）＋c2＋（1－c）＋a232.则3232，矛盾，故假设不成立．所以(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能都大于14.[迁移探究1](变换条件)已知a，b，c∈(0，2)，求证：(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a不能都大于1.证明：假设(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a都大于1.因为a，b，c∈(0，2)所以2－a0，2－b0，2－c0.所以（2－a）＋b2≥（2－a）b1.同理（2－b）＋c2≥（2－b）c1.（2－c）＋a2≥（2－c）a1.三式相加得（2－a）＋b2＋（2－b）＋c2＋（2－c）＋a23，因此33矛盾，假设不成立．所以(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a不能都大于1.[迁移探究2](变换条件、改变结论)若方程x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－2]∪[－1，＋∞)B．[－2，1]C．(－∞，1]∪[2，＋∞)D．[－2，－1]解析：假设两个方程都无实根．则Δ1＝（a－1）2－4a2＜0，Δ2＝4a2＋8a＜0.解得－2＜a＜－1，则要使两方程至少有一个方程有实数，则a的取值范围应为a≤－2或a≥－1.答案：A归纳升华1．用反证法证明“至少”“至多”型命题，可减少讨论情况，目标明确．否定结论时需弄清楚结论的否定是什么，避免出现错误．2．用反证法证明“至多、至少”问题时常见的“结论词”与“反设词”如下：结论词至少有一个至多有一个对所有x成立对任意x不成立至少有n个至多有n个p或q反设词一个也没有至少有两个存在某个x0不成立存在某个x0成立至多有n－1个至少有n＋1个¬p且¬q1．反证法的两点说明：(1)反证法属逻辑方法范畴，其原理是“否定之否定等于肯定”．(2)用反证法证明的实质就是否定结论，导出矛盾，从而说明原结论正确．2．反证法常用的方法及注意点：(1)常用的反证方法：否定一个反面的反证法称为归谬法，否定两个或两个以上反面的反证法称为穷举法．(2)两点注意：“否定结论”在推理论证中作为已知使用，导出矛盾是指在假设的前提下，逻辑推理结果与已知条件、假设、公理、定理或显然成立的事实等相矛盾．反证法否定结论时，对结论的反面要一一否定，不能遗漏．