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第二章推理与证明2．2直接证明与间接证明2．2.1综合法和分析法第1课时综合法[学习目标]1.了解直接证明的基本方法——综合法，理解综合法的思考过程、特点(重点).2.会用综合法证明一些数学问题(重点、难点)．1．综合法的定义一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．温馨提示运用综合法证明问题的关键是正确运用相关的定义、定理、公理和已知条件2．综合法框图表示用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Qn⇒Q1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)综合法是执果索因的逆推证法．()(2)综合法证明的依据是三段论．()(3)综合法的推理过程实际上是寻找它的必要条件．()解析：综合法是由因导果，因此①错．综合法是从“已知”看可知，逐步推出“未知”，推理过程的依据是三段论其逐步推理实际上是寻找它的必要条件，故②③正确．答案：(1)×(2)√(3)√2．已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，且a2＋b2－c2＝ab，则角C的值为()A.π3B.π6C.π4D.π2解析：因为a2＋b2－c2＝ab，所以cosC＝a2＋b2－c22ab＝12.又C∈(0，π)，知C＝π3.答案：A3．平面内有四边形ABCD和点O，OA→＋OC→＝OB→＋OD→则四边形ABCD为()A．菱形B．梯形C．矩形D．平行四边形解析：由于OA→＋OC→＝OB→＋OD→∴OA→－OB→＝OD→－OC→，即BA→＝CD→故四边形ABCD为平行四边形．答案：D4．已知关于x的方程x2＋(k－3)x＋k2＝0的一根小于1，另一根大于1，则k的取值范围是________．解析：令f(x)＝x2＋(k－3)x＋k2，则由题意知f(1)0，∴12＋(k－3)×1＋k20，解得－2k1.答案：－2k15．已知等差数列{an}，Sn表示前n项和，a3＋a90，S90，则S1，S2，S3，…中最小的是________．解析：因为{an}为等差数列∴a3＋a9＝2a60，则a60又S9＝9a50，则a50故S5最小．答案：S5类型1综合法证明三角等式问题(自主研析)[典例1]求证：sin(2α＋β)＝sinβ＋2sinαcos(α＋β)[自主解答]因sin(2α＋β)－2sinαcos(α＋β)＝sin[α＋(α＋β)]－2sinαcos(α＋β)＝sinαcos(α＋β)＋cosαsin(α＋β)－2sinαcos(α＋β)＝sin(α＋β)cosα－sinαcos(α＋β)＝sin[(α＋β)－α]＝sinβ所以sin(2α＋β)＝sinβ＋2sinαcos(α＋β)归纳升华1．从要证等式中“角”的关系入手，沟通角的联系“2α＋β＝α＋(α＋β)，β＝(α＋β)－α”正确利用三角变换公式转化．2．从已知条件出发，顺着推证，由“已知”得“推知”由“推知”得“未知”，逐步推出求证的结论，这就是顺推法的格式，它的常见书面表达是“因为，所以”或“⇒”．[变式训练]在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinAsinB＋sinBsinC＋cos2B＝1.求证：a，b，c成等差数列．证明：∵sinAsinB＋sinBsinC＋cos2B＝1∴(sinA＋sinC)sinB＝2sin2B在△ABC中，sinB≠0所以sinA＋sinC＝2sinB由正弦定理，得a＋c＝2b.故a，b，c成等差数列．类型2综合法在代数证明中的应用[典例2]在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n，设bn＝an2n－1，求证数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式．证明：因为an＋1＝2an＋2n所以an＋12n＝an2n－1＋1由于bn＝an2n－1从而bn＋1＝bn＋1，且b1＝a120＝1所以数列{bn}是首项为1，公差为1的等差数列．则bn＝1＋(n－1)·1＝n.所以an＝2n－1·bn＝n·2n－1.归纳升华综合法证明数列问题的依据有如下几类：(1)数列的概念，特别是等差、等比数列的定义；(2)等差数列、等比数列的性质及前n项和的性质；(3)数列的通项公式与前n项和之间的关系，递推公式与通项公式的关系．[变式训练]已知a，b，c是不全相等的正数，求证：a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)＋c(a2＋b2)＞6abc.证明：因为a，b，c是正数，所以b2＋c2≥2bc，故a(b2＋c2)≥2abc.①同理，b(c2＋a2)≥2abc，②c(a2＋b2)≥2abc.③因为a，b，c不全相等，所以b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，a2＋b2≥2ab三式中不能同时取到“＝”．所以①②③式相加得，a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)＋c(a2＋b2)＞6abc.类型3综合法证明立体几何(规范解答)[典例3](本小题满分12分)(2014·湖北卷)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，P，Q，M，N分别是棱AB，AD，DD1，BB1，A1B1，A1D1的中点．求证：(1)直线BC1∥平面EFPQ.(2)直线AC1⊥平面PQMN.审题指导：(1)要证直线BC1∥平面EFPQ，只需证明BC1∥FP.(2)要证直线AC1⊥平面PQMN，只需证明MN⊥AC1及PN⊥AC1便可．[规范解答](1)连接AD1，由ABCD－A1B1C1D1是正方体，知AD1∥BC1，(1分)因为F，P分别是AD，DD1的中点，所以FP∥AD1.(2分)从而BC1∥FP.(3分)FP⊂平面EFPQ，且BC1⊄平面EFPQ，失分警示：若漏掉此处的说明，则扣2分.故直线BC1∥平面EFPQ.(5分)(2)连接AC，BD，则AC⊥BD.由CC1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，可得CC1⊥BD(7分)又AC∩CC1＝C，失分警示：若漏掉此处的说明，则扣1分.所以BD⊥平面ACC1.(8分)而AC1⊂平面ACC1，所以BD⊥AC1.(9分)因为M，N分别是A1B1，A1D1的中点，所以MN∥BD，从而MN⊥AC1.(10分)同理可证PN⊥AC1.(11分)又PN∩MN＝N，失分警示：若漏掉此处的说明，则扣1分所以直线AC1⊥平面PQMN.(12分)归纳升华1．注意定理的应用．利用立体几何中的定理证明问题时，注意定理满足条件的应用，如本例证明(1)决不能漏掉条件“FP⊂平面EFPQ，且BC1⊄平面EFPQ”．2．转化思想的应用．解答立体几何的关键是线与线、线与面与面与面的转化，如本例的求解就用到了上述三种关系的转化．[类题尝试](2017·江苏卷)如图，在三棱锥ABCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.求证：(1)EF∥平面ABC；(2)AD⊥AC.证明：(1)在平面ABD中，AB⊥AD，EF⊥AD，所以AB∥EF，又因为AB⊂平面ABC，且EF⊄平面ABC，所以EF∥平面ABC.(2)因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，又因为BC⊂平面BCD，BC⊥BD，所以BC⊥平面ABD，又有AD⊂平面ABD，所以BC⊥AD.又因为AB⊥AD，BC∩AB＝B，且BC，AB⊂平面ABC，所以AD⊥平面ABC，又因为AC⊂平面ABC，所以AD⊥AC.1．综合法的特点：(1)综合法的特点是从“已知”看“未知”，其逐步推理实际上是寻找已知条件的必要条件．(2)综合法从命题的条件出发，利用定义、公理、定理和运算法则，通过演绎推理，一步一步完成命题的证明．2．综合法证明问题的步骤．