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第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.2演绎推理[学习目标]1.理解演绎推理的意义(重点).2.掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理(重点、难点).3.了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系(难点)．1．演绎推理(1)含义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．(2)特点：演绎推理是由一般到特殊的推理．2．三段论一般模式常用格式大前提已知的一般原理M是P小前提所研究的特殊情况S是M结论根据一般原理，对特殊情况做出的判断S是P温馨提示演绎推理中，大前提正确，结论不一定正确．1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)演绎推理的结论一定正确．()(2)演绎推理是由特殊到一般再回到特殊的推理．()(3)三段论中，大前提正确，小前提正确，推理过程正确，则结论正确．()解析：(1)错，演绎推理的结论不一定正确．(2)错，演绎推理是由一般到特殊的推理．(3)对．根据演绎推理的概念知说法正确．答案：(1)×(2)×(3)√2．“所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电”，这种推理方法属于()A．演绎推理B．类比推理C．合情推理D．归纳推理答案：A3．某西方国家流传这样的一个政治笑话：“鹅吃白菜，参议员先生也吃白菜，所以参议员先生是鹅”．结论显然是错误的，这是因为()A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误解析：推理形式不符合三段论推理的形式．三段论的形式是：M是P，S是M，则S是P，而上面的推理形式则是：M是P，S是P，则S是M.答案：C4．推理过程“大前提________，小前提：四边形ABCD是矩形，结论：四边形ABCD的对角线相等．”应补充的大前提是_______________________________．解析：由“三段论”的一般模式，可知应补充的大前提是：矩形的对角线相等．答案：矩形的对角线相等5．已知a＝5－12，函数f(x)＝ax，若实数m，n满足f(m)f(n)，则m，n的大小关系是________．解析：当0a1时，函数f(x)＝ax为减函数，a＝5－12∈(0，1)，所以函数f(x)＝5－12x为减函数，故由f(m)f(n)，得mn.答案：mn类型1用“三段论”的形式表示演绎推理(自主研析)[典例1]把下列演绎推理写成三段论的形式．(1)在一个标准大气压下，水的沸点是100℃，所以在一个标准大气压下把水加热到100℃时，水会沸腾；(2)一切奇数都不能被2整除，2100＋1是奇数，所以2100＋1不能被2整除；(3)三角函数都是周期函数，y＝tanα是三角函数，因此y＝tanα是周期函数．解：(1)在一个标准大气压下，水的沸点是100℃，大前提在一个标准大气压下把水加热到100℃，小前提水会沸腾．结论(2)一切奇数都不能被2整除．大前提2100＋1是奇数，小前提2100＋1不能被2整除．结论(3)三角函数都是周期函数，大前提y＝tanα是三角函数，小前提y＝tanα是周期函数．结论归纳升华1．用三段论写演绎推理的过程，关键是明确大前提、小前提，大前提提供了一个一般性的原理，在演绎推理的过程中往往省略，而小前提指出了大前提下的一个特殊情况，只有将二者结合起来才能得到完整的三段论．2．在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．[变式训练](1)正弦函数是奇函数，f(x)＝sinx2是正弦函数，所以f(x)＝sinx2是奇函数，以上“三段论”中的________是错误的．(2)把推理“因为△ABC三边的长为3，4，5，所以△ABC是直角三角形”写成三段论的形式．解析：(1)由于f(x)＝sinx2不是正弦函数，所以推理中小前提错误．答案：小前提(2)解：一条边长的平方等于其他两条边长的平方和的三角形是直角三角形，(大前提)△ABC三边的长依次为3，4，5，且32＋42＝52，(小前提)所以△ABC是直角三角形．(结论)类型2用三段论证明几何问题(误区警示)[典例2]如图所示，在△ABC中，ACBC，CD是AB边上的高，求证∠ACD∠BCD.易错提示：本题的证明，可以正确运用大前提，即在同一个三角形中，大边对大角，但易忽略AD与BD并不是在同一个三角形内的两条边，即小前提不成立，致使推理过程错误．防范措施：利用三段论推理时，(1)大前提必须是真命题；(2)小前提是大前提的特殊情形．[规范解答]因为CD⊥AB，所以∠ADC＝∠BDC＝90°，所以∠A＋∠ACD＝∠B＋∠BCD＝90°，在△ABC中，ACBC，所以∠B∠A，所以∠ACD∠BCD.归纳升华1．三段论是最重要且最常用的推理表现形式，我们以前学过的平面几何与立体几何的证明，都不自觉地运用了这种推理，只不过在利用该推理时，往往省略了大前提．2．几何证明问题中，每一步都包含着一般性原理，都可以分析出大前提和小前提，将一般性原理应用于特殊情况，就能得出相应结论．[类题尝试]已知空间四边形ABCD中，点E，F分别是AB，AD的中点．求证：EF∥平面BCD.证明：因为E，F是AB，AD的中点，所以EF是△ABD的中位线，所以EF∥BD.如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么这条直线与此平面平行，因此EF⊄平面BCD，BD⊂平面BCD，EF∥BD，所以EF∥平面BCD.类型3演绎推理在代数证明中的应用[典例3]已知函数f(x)＝ax＋x－2x＋1(a1)，证明函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．证明：设x1，x2是(－1，＋∞)上的任意两实数，且则f(x1)－f(x2)＝ax1＋x1－2x1＋1－ax2－x2－2x2＋1＝ax1－ax2＋x1－2x1＋1－x2－2x2＋1＝ax1－ax2＋3（x1－x2）（x1＋1）（x2＋1），∵a1，且x1x2，∴ax1ax2，x1－x20.又∵x1－1，x2－1，∴(x1＋1)(x2＋1)0.∴f(x1)－f(x2)0.∴f(x1)f(x2)．∴函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．归纳升华1．数学问题的解决和证明都蕴含着演绎推理，即一连串的三段论，解决这类问题关键是找到每一步推理的依据——大前提、小前提，注意前一推理的结论往往会作为下一个三段论的前提．2．在代数证明问题中，首先找出与物体相关的一般性原理(如基本不等式、函数的性质等)，这是大前提，然后利用“三段论”进行推理．[变式训练]在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N*.(1)证明：数列{an－n}是等比数列．(2)求数列{an}的前n项和Sn.证明：(1)因为an＋1＝4an－3n＋1，所以an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，n∈N*，又a1－1＝1，所以数列{an－n}是首项为1，公比为4的等比数列．(2)由第一问可知an－n＝4n－1，所以an＝4n－1＋n(n∈N*)．所以数列{an}的前n项和Sn＝4n－13＋n（n＋1）2(n∈N*)．1．演绎推理的三个特点：(1)演绎推理的前提是一般性原理，演绎推理所得的结论是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实．(2)在演绎推理中，前提与结论之间存在必然的联系，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论也必定是正确的．(3)演绎推理是由一般到特殊的推理．2．对“三段论”的两点说明：(1)三段论中的大前提提供了一个一般性原理，小前提指出了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示了一般性原理与特殊情况的内在联系，从而得到第三个命题——结论．(2)“三段论”推理的结论正确与否，取决于两个前提是否正确和推理形式(即S与M的包含关系)是否正确．3．演绎推理与合情推理的区别：(1)从推理形式上看，归纳是由部分到整体、由个别到一般的推理，类比是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理．(2)从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确．演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程.