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第二章统计2．1.3分层抽样[学习目标]1.理解分层抽样的概念(重点)．2.会用分层抽样从总体中抽取样本(重点)．3.理解三种抽样的区别与联系(易错点、易混点)．[知识提炼·梳理]1．分层抽样的概念一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫作分层抽样．2．分层抽样的特点(1)个体有明显的差异；(2)按比例分层抽取；(3)必须结合简单随机抽样或系统抽样完成．3．分层抽样的计算公式(1)样本容量n总体个体数N＝第k层的抽样数nk第k层的个体数Nk(2)由(1)知nk＝样本容量n总体个体数N×Nk[思考尝试·夯基]1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)分层抽样实际上是按比例抽样．()(2)分层抽样中每个个体被抽到的可能性不一样．()(3)分层抽样中不能用简单随机抽样和系统抽样．()答案：(1)√(2)×(3)×2．已知某单位有职工120人，男职工有90人，现采用分层抽样(按男、女分层)抽取一个样本，若已知样本中有27名男职工，则样本容量为()A．30B．36C．40D．无法确定解析：抽取比例为2790＝310，故样本容量为310×120＝36.答案：B3．某校高三(1)班有学生54人，(2)班有学生42人，现在要用分层抽样的方法从两个班抽出16人参加军训表演，则(1)班和(2)班分别被抽取的人数是()A．8，8B．10，6C．9，7D．12，4解析：抽样比为1654＋42＝16，则(1)班和(2)班分别被抽取的人数是54×16＝9，42×16＝7.答案：C4．某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，产品的数量之比依次为3∶4∶7，现在用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，样本中A型号产品有15件，则样本容量n为()A．50B．60C．70D．80解析：由分层抽样方法得：33＋4＋7×n＝15，解得n＝70.答案：C5．一个班共有54人，其中男、女比为5∶4，若抽取9人参加教改调查会，则每个男同学被抽取的可能性为________，每个女同学被抽取的可能性为________．解析：男、女每人被抽取的可能是相同的，因为男同学共有54×59＝30(人)，女同学共有54×49＝24(人)，所以每个男同学被抽取的可能性为530＝16，每个女同学被抽取的可能性为424＝16.答案：1616类型1分层抽样的概念[典例1](1)某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是()A．抽签法B．系统抽样法C．分层抽样法D．随机数法(2)下列问题中，最适合用分层抽样抽取样本的是()A．从10名同学中抽取3人参加座谈会B．某批零件共120个，其中一级品35个，二级品65个，三级品20个，从中抽取一个容量为40的样本C．从1000名工人中，抽取100名调查上班途中所用时间D．从生产流水线上，抽取样本检查产品质量解析：(1)根据年级不同产生差异及按人数比例抽取易知应为分层抽样法．(2)A中总体个体无明显差异且个数较少，适合用简单随机抽样；C和D中总体个体无明显差异且个数较多，适合用系统抽样；B中总体个体差异明显，适合用分层抽样．答案：(1)C(2)B归纳升华各部分之间有明显的差异是分层抽样的依据，至于各层内用什么方法抽样是灵活的，可用简单随机抽样，也可采用系统抽样．分层抽样中，无论哪一层的个体，被抽中的机会均等，体现了抽样的公平性．[变式训练](1)某政府机关在编人员共100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人，上级部门为了了解该机关对政府机构改革的意见，要从中抽取20人，用下列哪种方法最合适？()A．系统抽样法B．简单随机抽样法C．分层抽样法D．随机数法(2)分层抽样又称类型抽样，即将相似的个体归入一类(层)，然后每类抽取若干个个体构成样本，所以分层抽样为保证每个个体等可能抽样，必须进行()A．每层等可能抽样B．每层可以不等可能抽样C．所有层按同—抽样比等可能抽样D．所有层抽个体数量相同解析：(1)总体由差异明显的三部分构成，应选用分层抽样．(2)保证每个个体等可能的被抽取是三种基本抽样方式的共同特征，为了保证这一点，分层抽样时必须在所有层都按同一抽样比等可能抽取．答案：(1)C(2)C类型2确定各层抽取的个体数[典例2]某全日制大学共有学生5600人，其中专科生有1300人，本科生有3000人，研究生有1300人，现采用分层抽样的方法调查学生利用因特网查找学习资料的情况，抽取的样本为280人，则应在专科生、本科生与研究生这三类学生中分别抽取多少人？解：抽样比是2805600＝120，则应在专科生中抽取1300×120＝65(人)，在本科生中抽取3000×120＝150(人)，在研究生中抽取1300×120＝65(人)．归纳升华一个总体中有N个个体，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为n(nN)的样本，某层的个体数为Nk，该层应抽取的个体数为nk，则nk＝样本容量n总体个体数N×Nk.[变式训练]某校老年、中年和青年教师的人数见下表．采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本中的老年教师人数为()类别人数/人老年教师900中年教师1800青年教师1600合计4300A.90B．100C．180D．300解析：设该样本中的老年教师人数为x，由题意及分层抽样的特点得x900＝3201600，故x＝180.答案：C类型3分层抽样的应用[典例3]一个单位有职工500人，其中不到35岁的有125人，35岁到49岁的有280人，50岁及其以上的有95人，为了了解与身体状况有关的某项指标，要从所有职工中抽取100名职工作为样本，若职工年龄与这项指标有关，应该怎样抽取？解：用分层抽样来抽取样本，步骤是：(1)分层，按年龄将500名职工分成三层：不到35岁的职工；35岁到49岁的职工；50岁及其以上的职工.(2)确定每层抽取个体的个数，抽样比为100500＝15，则在不到35岁的职工中抽取125×15＝25(人)；在35岁到49岁的职工中抽取280×15＝56(人)；在50岁及其以上的职工中抽取95×15＝19(人)．(3)在各层分别按抽签法或随机数法抽取样本.(4)综合每层抽样，组成样本．归纳升华分层抽样的步骤1．分层：按某种特征将总体分为若干部分(层)．2．定数：根据样本容量n总体个体数N＝第k层的抽样数nk第k层的个体数Nk，确定各层抽取的个体数，则nk＝样本容量n总体个体数N×Nk.3．抽样：在各层分别按抽签法或随机数法抽取样本．4．综合每层抽样，组成样本．[变式训练]一个地区共有5个乡镇，人口3万人，其人口比例为3∶2∶5∶2∶3，从3万人中抽取一个300人的样本，分析某种疾病的发病率，已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关，问应采取什么样的方法？并写出具体过程．解：因为疾病与地理位置和水土均有关系，所以不同乡镇的发病情况差异明显，因而采用分层抽样的方法．具体过程如下：(1)将3万人分为5层，其中一个乡镇为一层．(2)按照样本容量的比例求得各乡镇应抽取的人数分别为60人、40人、100人、40人、60人．(3)在各层随机抽取各乡镇应抽取的人数．(4)将300人合到一起，即得到一个样本．1．分层抽样的特点．(1)适用于总体由差异明显的几部分组成的情况．(2)更充分地反映了总体的情况．(3)分层抽样是等可能性抽样，每个个体被抽到的可能性都是nN，与层数和分层均无关．2．分层抽样的公平性．如果总体中个体的总数是N，样本容量为n，第i层中个数为Ni，则第i层中要抽取的个体数为ni＝n·NiN.每一个个体被抽取的可能性是niNi＝1Ni·n·NiN＝nN，与层数无关．所以对所有个体来说，被抽取的可能性是一样的，与层数及分层无关，所以分层抽样是公平的．3．分层抽样需注意的问题．(1)分层抽样中分多少层、如何分层要视具体情况而定，总的原则是每层内样本的差异要小，不同层之间的样本差异要大，且互不重叠．(2)抽取比例由每层个体占总体的比例确定．(3)各层抽样按简单随机抽样或系统抽样进行.