2019秋高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.4 正态分布课件 新人教A版选修2-3

第二章随机变量及其分布2．4正态分布[学习目标]1.利用实际问题的直方图，了解正态曲线的特点及正态曲线所表示的意义(重点)．2.能借助正态曲线的图象理解正态曲线的性质及意义(重点)．3.会利用正态曲线的性质求随机变量在某一区间的概率(难点)．1．正态曲线及其性质(1)正态曲线：函数φμ，σ(x)＝12πσe－（x－μ）22σ2，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ，σ(σ0)为参数，我们称φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．(2)正态曲线的性质．①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；③曲线在x＝μ处达到峰值_________；④曲线与x轴之间的面积为1；12πσ⑤当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①所示；⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图②所示．图①图②2．正态分布一般地，如果对于任何实数a，b(ab)，随机变量X满足P(aX≤b)＝∫baφμ，σ(x)dx，则称随机变量X服从正态分布(normaldistribution)．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作N(μ，σ2)．如果随机变量X服从正态分布，则记为X～N(μ，σ2)．3．正态总体在三个特殊区间内取值的概率(1)P(μ－σX≤μ＋σ)＝0.6826；(2)P(μ－2σX≤μ＋2σ)＝0.9544；(3)P(μ－3σX≤μ＋3σ)＝0.9974．4．3σ原则通常服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值．1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)正态密度曲线y＝φμ，σ(x)关于直线x＝0对称．()(2)正态总体N(3，4)的标准差为4.()(3)在正态分布中参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本均值去估计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本标准差去估计．()解析：(1)错．正态曲线关于直线x＝μ对称．(2)错．由σ2＝4，σ0知σ＝2.(3)对．由正态分布的概念知(3)正确．答案：(1)×(2)×(3)√2．设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f(x)的图象，且f(x)＝φμ，σ(x)＝18πe－（x－10）28，则这个正态总体的均值与标准差分别是()A．10与8B．10与2C．8与10D．2与10解析：由正态密度函数定义，μ＝10，σ＝2.答案：B3．已知随机变量X服从正态分布N(3，1)，且P(2≤X≤4)＝0.6826，则P(X＞4)＝()A．0.1588B．0.1587C．0.1586D．0.1585解析：P(3≤X≤4)＝12P(2≤X≤4)＝0.3413，P(X＞4)＝0.5－P(3≤X≤4)＝0.5－0.3413＝0.1587.答案：B4．在正态分布N0，49中，数据落在(－2，2)内的概率为________．解析：由题可得μ＝0，σ＝23，P(－2X2)＝P(μ－3σXμ＋3σ)＝0.9974.答案：0.99745．设随机变量ξ服从正态分布N(2，9)，若P(ξ＞c＋1)＝P(ξ＜c－1)，则c＝________．解析：由正态分布的性质及条件P(ξ＞c＋1)＝P(ξ＜c－1)得，(c＋1)＋(c－1)＝2×2，所以c＝2.答案：2类型1正态曲线及其性质(自主研析)[典例1](1)青岛市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为f(x)＝12π10·e－（x－80）2200(x∈R)，则下列命题不正确的是()A．该市这次考试的数学平均成绩为80分B．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同C．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同D．该市这次考试的数学成绩标准差为10(2)设随机变量X～N(1，32)，若P(X≤c)＝P(Xc)，则c＝()A．0B．1C．2D．3解析：(1)由密度函数知，均值(期望)μ＝80，标准差σ＝10，又曲线关于直线x＝80对称，故分数在100分以上的人数与分数在60分以下的人数相同，所以B是错误的．(2)因为P(X≤c)＝P(Xc)，所以c＝1.答案：(1)B(2)B归纳升华利用正态曲线的性质可以求参数μ，σ：(1)正态曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称，由此性质结合图象求μ；(2)正态曲线在x＝μ处达到峰值1σ2π，由此性质结合图象可求σ；(3)由σ的大小区分曲线的胖瘦．[变式训练]若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为142π.则该正态分布的概率密度函数的解析式是_______________________．解析：由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象关于y轴对称，即μ＝0.由12πσ＝142π，得σ＝4.故该正态分布的概率密度函数是φμ，σ(x)＝142πe－x232，x∈(－∞，＋∞)．答案：φμ，σ(x)＝142πe－x232，x∈(－∞，＋∞)类型2利用正态曲线的对称性求概率[典例2]在一次测试中，测量结果X服从正态分布N(2，σ2)(σ＞0)，若X在(0，2)内取值的概率为0.2，求：(1)X在(0，4)内取值的概率；(2)P(X＞4)．解：(1)由于X～N(2，σ2)，对称轴x＝2，画出示意图，因为P(0＜X＜2)＝P(2＜x＜4)，所以P(0＜X＜4)＝2P(0＜X＜2)＝2×0.2＝0.4.(2)P(X＞4)＝12[1－P(0＜X＜4)]＝12(1－0.4)＝0.3.归纳升华1.充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.2．熟记P(μ－σX≤μ＋σ)，P(μ－2σX≤μ＋2σ)，P(μ－3σX≤μ＋3σ)的值．3．注意概率值的求解转化：(1)P(Xa)＝1－P(X≥a)；(2)P(Xμ－a)＝P(X≥μ＋a)；(3)若bμ，则P(Xb)＝1－P（μ－bXμ＋b）2.[变式训练]随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，P(ξ4)＝0.84，则P(ξ－2)＝________．解析：因为随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，μ＝1，所以P(ξ－2)＝P(ξ4)＝1－P(ξ4)＝0.16.答案：0.16类型3正态分布的应用[典例3]在某次数学考试中，考生的成绩X服从一个正态分布，即X～N(90，100)．(1)试求考试成绩X位于区间(70，110)上的概率；(2)若这次考试共有2000名考生，试估计考试成绩在(80，100)间的考生大约有多少人？解：因为X～N(90，100)，所以μ＝90，σ＝100＝10.(1)由于X在区间(μ－2σ，μ＋2σ)内取值的概率是0.9544，而该正态分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝100，于是考试成绩X位于区间(70，110)内的概率就是0.9544.(2)由μ＝90，σ＝10，得μ－σ＝80，μ＋σ＝100.于是考试成绩X位于区间(70，110)内的概率就是0.9544.(2)由μ＝90，σ＝10，得μ－σ＝80，μ＋σ＝100.所以估计考试成绩在(80，100)间的考生大约有2000×0.6826＝1365(人)．归纳升华解答此类题目的关键在于将待求的问题向(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)这三个区间进行转化，然后利用上述区间的概率求出相应概率，在此过程中依然会用到化归思想及数形结合思想．[变式训练]某年级的一次信息技术测验成绩近似服从正态分布N(70，102)，如果规定低于60分为不及格，求：(1)成绩不及格的人数占总人数的比例；(2)成绩在80～90分内的学生占总人数的比例．解：(1)设学生的得分为随机变量X，X～N(70，102)，则μ＝70，σ＝10.分数在60～80之间的学生的比例为P(70－10＜X≤70＋10)＝0.6826，所以不及格的学生的比例为12×(1－0.6826)＝0.1587.即成绩不及格的学生占总人数的15.87%.(2)成绩在80～90分内的学生的比例为12[P(70－2×10＜X≤70＋2×10)]－12[P(70－10＜X≤70＋10)]＝12(0.9544－0.6826)＝0.1359.即成绩在80～90内的学生占13.59%.1．正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布，参数μ就是随机变量X的均值，它可以用样本的均值去估计，参数σ就是随机变量X的标准差，它可以用样本的标准差去估计．2．对于有关正态分布的计算问题，要记住正态总体取值在区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)内的概率值，将所给问题转化到上述区间内解决，同时要注意对称性的运用和数形结合思想的应用．