第二章随机变量及其分布2.4正态分布[学习目标]1.利用实际问题的直方图,了解正态曲线的特点及正态曲线所表示的意义(重点).2.能借助正态曲线的图象理解正态曲线的性质及意义(重点).3.会利用正态曲线的性质求随机变量在某一区间的概率(难点).1.正态曲线及其性质(1)正态曲线:函数φμ,σ(x)=12πσe-(x-μ)22σ2,x∈(-∞,+∞),其中实数μ,σ(σ0)为参数,我们称φμ,σ(x)的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线.(2)正态曲线的性质.①曲线位于x轴上方,与x轴不相交;②曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称;③曲线在x=μ处达到峰值_________;④曲线与x轴之间的面积为1;12πσ⑤当σ一定时,曲线随着μ的变化而沿x轴平移,如图①所示;⑥当μ一定时,曲线的形状由σ确定,σ越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中;σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散,如图②所示.图①图②2.正态分布一般地,如果对于任何实数a,b(ab),随机变量X满足P(aX≤b)=∫baφμ,σ(x)dx,则称随机变量X服从正态分布(normaldistribution).正态分布完全由参数μ和σ确定,因此正态分布常记作N(μ,σ2).如果随机变量X服从正态分布,则记为X~N(μ,σ2).3.正态总体在三个特殊区间内取值的概率(1)P(μ-σX≤μ+σ)=0.6826;(2)P(μ-2σX≤μ+2σ)=0.9544;(3)P(μ-3σX≤μ+3σ)=0.9974.4.3σ原则通常服从正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取(μ-3σ,μ+3σ)之间的值.1.思考判断(正确的打“√”,错误的打“×”).(1)正态密度曲线y=φμ,σ(x)关于直线x=0对称.()(2)正态总体N(3,4)的标准差为4.()(3)在正态分布中参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数,可以用样本均值去估计;σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数,可以用样本标准差去估计.()解析:(1)错.正态曲线关于直线x=μ对称.(2)错.由σ2=4,σ0知σ=2.(3)对.由正态分布的概念知(3)正确.答案:(1)×(2)×(3)√2.设有一正态总体,它的概率密度曲线是函数f(x)的图象,且f(x)=φμ,σ(x)=18πe-(x-10)28,则这个正态总体的均值与标准差分别是()A.10与8B.10与2C.8与10D.2与10解析:由正态密度函数定义,μ=10,σ=2.答案:B3.已知随机变量X服从正态分布N(3,1),且P(2≤X≤4)=0.6826,则P(X>4)=()A.0.1588B.0.1587C.0.1586D.0.1585解析:P(3≤X≤4)=12P(2≤X≤4)=0.3413,P(X>4)=0.5-P(3≤X≤4)=0.5-0.3413=0.1587.答案:B4.在正态分布N0,49中,数据落在(-2,2)内的概率为________.解析:由题可得μ=0,σ=23,P(-2X2)=P(μ-3σXμ+3σ)=0.9974.答案:0.99745.设随机变量ξ服从正态分布N(2,9),若P(ξ>c+1)=P(ξ<c-1),则c=________.解析:由正态分布的性质及条件P(ξ>c+1)=P(ξ<c-1)得,(c+1)+(c-1)=2×2,所以c=2.答案:2类型1正态曲线及其性质(自主研析)[典例1](1)青岛市组织一次高三调研考试,考试后统计的数学成绩服从正态分布,其密度函数为f(x)=12π10·e-(x-80)2200(x∈R),则下列命题不正确的是()A.该市这次考试的数学平均成绩为80分B.分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同C.分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同D.该市这次考试的数学成绩标准差为10(2)设随机变量X~N(1,32),若P(X≤c)=P(Xc),则c=()A.0B.1C.2D.3解析:(1)由密度函数知,均值(期望)μ=80,标准差σ=10,又曲线关于直线x=80对称,故分数在100分以上的人数与分数在60分以下的人数相同,所以B是错误的.(2)因为P(X≤c)=P(Xc),所以c=1.答案:(1)B(2)B归纳升华利用正态曲线的性质可以求参数μ,σ:(1)正态曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称,由此性质结合图象求μ;(2)正态曲线在x=μ处达到峰值1σ2π,由此性质结合图象可求σ;(3)由σ的大小区分曲线的胖瘦.[变式训练]若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数,且该函数的最大值为142π.则该正态分布的概率密度函数的解析式是_______________________.解析:由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数,所以其图象关于y轴对称,即μ=0.由12πσ=142π,得σ=4.故该正态分布的概率密度函数是φμ,σ(x)=142πe-x232,x∈(-∞,+∞).答案:φμ,σ(x)=142πe-x232,x∈(-∞,+∞)类型2利用正态曲线的对称性求概率[典例2]在一次测试中,测量结果X服从正态分布N(2,σ2)(σ>0),若X在(0,2)内取值的概率为0.2,求:(1)X在(0,4)内取值的概率;(2)P(X>4).解:(1)由于X~N(2,σ2),对称轴x=2,画出示意图,因为P(0<X<2)=P(2<x<4),所以P(0<X<4)=2P(0<X<2)=2×0.2=0.4.(2)P(X>4)=12[1-P(0<X<4)]=12(1-0.4)=0.3.归纳升华1.充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.2.熟记P(μ-σX≤μ+σ),P(μ-2σX≤μ+2σ),P(μ-3σX≤μ+3σ)的值.3.注意概率值的求解转化:(1)P(Xa)=1-P(X≥a);(2)P(Xμ-a)=P(X≥μ+a);(3)若bμ,则P(Xb)=1-P(μ-bXμ+b)2.[变式训练]随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2),P(ξ4)=0.84,则P(ξ-2)=________.解析:因为随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2),μ=1,所以P(ξ-2)=P(ξ4)=1-P(ξ4)=0.16.答案:0.16类型3正态分布的应用[典例3]在某次数学考试中,考生的成绩X服从一个正态分布,即X~N(90,100).(1)试求考试成绩X位于区间(70,110)上的概率;(2)若这次考试共有2000名考生,试估计考试成绩在(80,100)间的考生大约有多少人?解:因为X~N(90,100),所以μ=90,σ=100=10.(1)由于X在区间(μ-2σ,μ+2σ)内取值的概率是0.9544,而该正态分布中,μ-2σ=90-2×10=70,μ+2σ=90+2×10=100,于是考试成绩X位于区间(70,110)内的概率就是0.9544.(2)由μ=90,σ=10,得μ-σ=80,μ+σ=100.于是考试成绩X位于区间(70,110)内的概率就是0.9544.(2)由μ=90,σ=10,得μ-σ=80,μ+σ=100.所以估计考试成绩在(80,100)间的考生大约有2000×0.6826=1365(人).归纳升华解答此类题目的关键在于将待求的问题向(μ-σ,μ+σ),(μ-2σ,μ+2σ),(μ-3σ,μ+3σ)这三个区间进行转化,然后利用上述区间的概率求出相应概率,在此过程中依然会用到化归思想及数形结合思想.[变式训练]某年级的一次信息技术测验成绩近似服从正态分布N(70,102),如果规定低于60分为不及格,求:(1)成绩不及格的人数占总人数的比例;(2)成绩在80~90分内的学生占总人数的比例.解:(1)设学生的得分为随机变量X,X~N(70,102),则μ=70,σ=10.分数在60~80之间的学生的比例为P(70-10<X≤70+10)=0.6826,所以不及格的学生的比例为12×(1-0.6826)=0.1587.即成绩不及格的学生占总人数的15.87%.(2)成绩在80~90分内的学生的比例为12[P(70-2×10<X≤70+2×10)]-12[P(70-10<X≤70+10)]=12(0.9544-0.6826)=0.1359.即成绩在80~90内的学生占13.59%.1.正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布,参数μ就是随机变量X的均值,它可以用样本的均值去估计,参数σ就是随机变量X的标准差,它可以用样本的标准差去估计.2.对于有关正态分布的计算问题,要记住正态总体取值在区间(μ-σ,μ+σ),(μ-2σ,μ+2σ),(μ-3σ,μ+3σ)内的概率值,将所给问题转化到上述区间内解决,同时要注意对称性的运用和数形结合思想的应用.