2019秋高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.3.2 离散型随机变量的方差课件 新人教A版选修2

第二章随机变量及其分布2.3离散型随机变量的均值与方差2．3.2离散型随机变量的方差[学习目标]1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念(重点、难点)．2.会求两点分布、二项分布的方差(重点)．3.会利用方差的概念与性质，计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题(重点、难点)．1．方差、标准差的定义及方差的性质(1)方差及标准差的定义．设离散型随机变量X的分布列为：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn①方差：D(X)＝_______________．②标准差为：D（X）．(2)方差的性质：D(aX＋b)＝a2D(X)．2．两个常见分布的方差(1)若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)．(2)若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)．(xi－E(X))2pi1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定．()(2)若a为常数，则D(a)＝0.()(3)离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于期望的平均程度．()解析：(1)错，离散型随机变量的方差越大，随机变量波动越大，越不稳定．(2)对，因为a为常数，所以不会产生波动，其方差为0.(3)对，由方差的概念知说法正确．答案：(1)×(2)√(3)√2．设随机变量X的分布列为P(x＝k)＝13，k＝3，6，9.则D(X)＝()A．6B．9C．3D．4解析：由P(x＝k)＝13，k＝3，6，9，得E(X)＝3×13＋6×13＋9×13＝6，D(X)＝(3－6)2×13＋(6－6)2×13＋(9－6)2×13＝6.答案：A3．设ξ的分布列为P(ξ＝k)＝Ck513k235－k(k＝0，1，2，3，4，5)，则D(3ξ)＝()A．10B．30C．15D．5解析：由ξ的分布列知ξ～B5，13＝109，所以D(ξ)＝5×131－13，所以D(3ξ)＝9D(ξ)＝10.答案：A4．设随机变量X～B(n，p)，且E(X)＝1.6，D(X)＝1.28，则()A．n＝8，p＝0.2B．n＝4，p＝0.4C．n＝5，p＝0.32D．n＝7，p＝0.45解析：由已知有np＝1.6，np（1－p）＝1.28，解得n＝8，p＝0.2.答案：A5．牧场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为0.02，设发病的牛的头数为ξ，则D(ξ)等于________．解析：因为ξ～B(10，0.02)，所以D(ξ)＝10×0.02×(1－0.02)＝0.196.答案：0.196类型1求离散型随机变量的方差、标准差(自主研析)[典例1](1)若X的分布列为：X－101P121316则D(X)＝________．(2)(2018·全国卷Ⅲ)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立，设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，D(X)＝2.4，P(X＝4)P(X＝6)，则p＝()A．0.7B．0.6C．0.4D．0.3解析：(1)E(X)＝－1×12＋0×13＋1×16＝－13；D(X)＝－1＋132×12＋0＋132×13＋1＋132×16＝59.(2)由题意可知10位成员中使用移动支付的人数X服从二项分布，即X～B(10，p)，故D(X)＝10p(1－p)＝2.4，解得p＝0.6或p＝0.4，当p＝0.6时，P(X＝4)＝C410×0.64×0.46＝C410×34×26510＝C410×34×24510×22，P(X＝6)＝C610×0.66×0.44＝C610×36×24510＝C410×34×24510×32，满足P(X＝4)P(X＝6)，所以p＝0.6.同理可验证p＝0.4时不满足P(X＝4)P(X＝6)．答案：(1)59(2)B归纳升华求离散型随机变量ξ的方差的步骤1．理解ξ的意义，明确其可能的取值．2．判定ξ是否服从特殊分布(如两点分布、二项分布等)，若服从特殊分布，则可利用公式直接求解；若不服从特殊分布，则继续下面步骤．3．求ξ取每个值的概率．4．写出ξ的分布列，并利用分布列性质检验．5．根据方差定义求D(ξ)．[变式训练]抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得－1分，则得分X的均值与方差分别为()A．E(X)＝0，D(X)＝1B．E(X)＝12，D(X)＝12C．E(X)＝0，D(X)＝12D．E(X)＝12，D(X)＝1解析：由题意知，随机变量X的分布列为X－11P1212所以E(X)＝(－1)×12＋1×12＝0，D(X)＝12×(－1－0)2＋12×(1－0)2＝1.答案：A类型2方差的性质及应用[典例2]已知X的分布列如下：X－101P1214a(1)计算X的方差．(2)若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差．解：(1)由分布列的性质，12＋14＋a＝1，故a＝14.所以E(X)＝－1×12＋0×14＋1×14＝－14.因此方差D(X)＝－1＋142×12＋0＋142×14＋1＋142×14＝1116.(2)因为Y＝4X＋3，所以E(Y)＝4E(X)＋3＝2，D(Y)＝42D(X)＝11.归纳升华1.离散型随机变量线性运算的方差．设a，b为常数，则D(aX＋b)＝a2D(X)．2．服从两点分布与二项分布的随机变量的方差．(1)若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)；(2)若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)．[变式训练]一出租车司机从某饭店到火车站途中有6个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率是13.(1)求这位司机遇到红灯数X的期望与方差；(2)若遇上红灯，则需等待30秒，求司机总共等待时间Y的期望与方差．解：(1)易知司机遇到红灯次数X服从二项分布，且X～B6，13，所以E(X)＝6×13＝2，D(X)＝6×13×1－13＝43.(2)由已知Y＝30X，所以E(Y)＝30E(X)＝60，D(Y)＝900D(X)＝1200.类型3方差的实际应用(规范解答)[典例3]甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量ξ，η，已知甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环，且甲射中的10，9，8，7环的概率分别为0.5、3a、a、0.1，乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2.(1)求ξ，η的分布列；(2)求ξ，η的数学期望与方差，并以此比较甲、乙的射击技术．审题指导：先根据分布列的性质求出a，然后写出ξ，η的分布列；再利用公式求出数学期望和方差，根据期望、方差各自的大小关系比较甲、乙的射击技术．[规范解答](1)依题意，0.5＋3a＋a＋0.1＝1解得a＝0.1.(1分)因为乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2，所以乙射中7环的概率为1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2.(3分)所以ξ，η的分布列分别为：ξ10987P0.50.30.10.1η10987P0.30.30.20.2(2)由(1)可得(5分)E(ξ)＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2(环)；E(η)＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7(环)；(7分)D(ξ)＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96；失分警示：方差公式涉及的数据较多，使用时要小心仔细．D(η)＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21.(9分)由于E(ξ)＞E(η)，说明甲平均射中的环数比乙高；又因为D(ξ)＜D(η)，说明甲射中的环数比乙集中，比较稳定．(11分)射击技术的比较要从数学期望和方差两个方面进行，一般的，期望值大、方差小表明技术好．所以，甲比乙的技术好．(12分)失分警示：这一步必不可少，缺少该步，会扣1分．归纳升华离散型随机变量的期望反映了随机变量取值的平均水平，在实际应用中，往往通过比较期望值的大小确定质量的优劣，水平的高低，当期望值一样时，还必须通过比较二者的方差来做出判断．[类题尝试]有甲、乙两名学生，经统计，他们在解答同一份数学试卷时，各自的成绩在80分、90分、100分的概率分布大致如表1和表2所示：表1分数X8090100概率P0.20.60.2表2分数Y8090100概率P0.40.20.4试分析两名学生的成绩水平．解：因为E(X)＝80×0.2＋90×0.6＋100×0.2＝90，D(X)＝(80－90)2×0.2＋(90－90)2×0.6＋(100－90)2×0.2＝40，E(Y)＝80×0.4＋90×0.2＋100×0.4＝90，D(Y)＝(80－90)2×0.4＋(90－90)2×0.2＋(100－90)2×0.4＝80，因为E(X)＝E(Y)，D(X)＜D(Y)，所以甲生与乙生的成绩均值一样，甲的方差较小，因此甲生的学习成绩较稳定．1．已知随机变量的分布，求它的均值、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解．2．已知随机变量ξ的均值、方差，求ξ的线性函数η＝aξ＋b的均值、方差、标准差，可直接用均值、方差的性质求解．3．如能分析所给随机变量是服从常见的分布(如两点分布、二项分布等)，可直接用它们的均值、方差公式计算．4．对于应用题，必须对实际问题进行具体分析，先求出随机变量的概率分布，然后按定义计算出随机变量的均值、方差和标准差．