2019秋高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.3.1 离散型随机变量的均值课件 新人教A版选修2

第二章随机变量及其分布2．3离散型随机变量的均值与方差2．3.1离散型随机变量的均值[学习目标]1.通过实例理解离散型随机变量均值的概念，能计算简单离散型随机变量的均值(重点、难点)．2.理解离散型随机变量的均值的性质(重点)．3.会求两点分布、二项分布的均值(重点)．4.会利用离散型随机变量的均值解决一些实际问题(重点、难点)．1．离散型随机变量的均值及其性质(1)离散型随机变量的均值或数学期望．一般地，若离散型随机变量X的分布列为：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn①数学期望E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn．②数学期望的含义：反映了离散型随机变量取值的平均水平．(2)均值的性质．若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，X是随机变量：①Y也是随机变量．②E(aX＋b)＝aE(X)＋b．2．两点分布、二项分布的均值(1)两点分布：若X服从两点分布，则E(X)＝p．(2)二项分布：若X～B(n，p)，则E(X)＝np．1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)随机变量X的数学期望E(X)是个变量，其随X的变化而变化．()(2)随机变量的均值反映样本的平均水平．(3)若随机变量X的数学期望E(X)＝2，则E(2X)＝4.()(4)随机变量X的均值E(X)＝x1＋x2＋…＋xnn.()解析：(1)错误，随机变量的数学期望E(X)是个常量，是随机变量X本身固有的一个数字特征．(2)错误，随机变量的均值反映随机变量取值的平均水平．(3)正确，由均值的性质可知．(4)错误，因为E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn.答案：(1)×(2)×(3)√(4)×2．已知离散型随机变量X的分布列为：X123P35310110则X的数学期望E(X)＝()A.32B．2C.52D．3解析：E(X)＝1×35＋2×310＋3×110＝32.答案：A3.已知Y＝5X＋1，E(Y)＝6，则E(X)的值为()A．6B．5C．1D．7解析：因为E(Y)＝E(5X＋1)＝5E(X)＋1＝6，所以E(X)＝1.答案：C4．设X为随机变量，且X～Bn，13，若随机变量X的数学期望E(X)＝2，则P(X＝2)＝()A.1316B.16C.13243D.80243解析：因为X～Bn，13，所以E(X)＝n3＝2，所以n＝6，所以P(X＝2)＝C26×132×234＝80243.答案：D5．设15000件产品中有1000件次品，从中抽取150件进行检查，由于产品数量较大，每次检查的次品率看作不变，则查得次品数的数学期望为________．解析：次品率为p＝100015000＝115，由于产品数量特别大，次品数服从二项分布，由公式，得E(X)＝np＝150×115＝10.答案：10类型1求离散型随机变量的数学期望(自主研析)[典例1](1)若p为非负实数，随机变量X的分布列为：X012P12－pp12则E(X)的最大值为()A．1B.32C.23D．2(2)同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是________．解析：(1)由分布列，得E(X)＝0×12－p＋p＋2×12＝p＋1.又0≤p≤1，且0≤12－p≤1.所以0≤p≤12，因此当p＝12时，E(X)取最大值32.(2)同时抛掷两枚质地均匀的硬币，至少有一枚硬币正面向上的概率为1－122＝34，且X～B2，34，所以均值是2×34＝32.答案：(1)B(2)32归纳升华求数学期望的步骤是：(1)明确随机变量的取值，以及取每个值的试验结果；(2)求出随机变量取各个值的概率；(3)列出分布列；(4)利用数学期望公式进行计算．[变式训练]某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为()A．100B．200C．300D．400解析：记不发芽的种子数为ξ，则ξ～B(1000，0.1)，所以E(ξ)＝1000×0.1＝100.因为X＝2ξ，所以E(X)＝E(2ξ)＝2E(ξ)＝200.答案：B类型2离散型随机变量均值的性质[典例2]已知随机变量X的分布列如下：X－2－1012P141315m120(1)求m的值；(2)求E(X)；(3)若Y＝2X－3，求E(Y)．解：(1)由随机变量分布列的性质，得14＋13＋15＋m＋120＝1，解得m＝16.(2)E(X)＝(－2)×14＋(－1)×13＋0×15＋1×16＋2×120＝－1730.(3)法一由公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b，得E(Y)＝E(2X－3)＝2E(X)－3＝2×－1730－3＝－6215.法二由于Y＝2X－3，所以Y的分布列如下：Y－7－5－3－11P14131516120所以E(Y)＝(－7)×14＋(－5)×13＋(－3)×15＋(－1)×16＋1×120＝－6215.归纳升华1.该类题目属于已知离散型随机变量的分布列求数学期望，直接套用公式E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn求解．2．对于aX＋b型的随机变量，可利用均值的性质求解，即E(aX＋b)＝aE(X)＋b；也可以先列出aX＋b的分布列，再用均值公式求解．比较两种方法，显然前者较简便．[变式训练]某运动员投篮命中率为p＝0.6.(1)求投篮1次时命中次数X的数学期望；(2)求重复5次投篮时，命中次数Y的数学期望．解：(1)投篮1次，命中次数X的分布列如表：X01P0.40.6则E(X)＝p＝0.6.(2)由题意得，重复5次投篮，命中的次数Y服从二项分布，即Y～B(5，0.6)，则E(Y)＝np＝5×0.6＝3.类型3数学期望的实际应用(误区警示)[典例3]某人进行一项试验，若试验成功，则停止试验，若试验失败，再重新试验一次，若试验3次均失败，则放弃试验．若此人每次试验成功的概率为23，求此人试验次数ξ的期望．易错提示：解答本题，要明确随机变量ξ取值的意义，ξ＝1表示第一次试验就成功，ξ＝2表示第一次失败，第二次成功，由于实验最多进行3次，所以ξ＝3表示前两次失败，第三次可能成功也可能失败．防范措施：在求随机变量取各值的概率时，务必理解各取值的实际意义，以免失误．另外，可以利用分布列的性质：(1)pi≥0(i＝1，2，3，…，n)，(2)i＝1npi＝1来检验．[规范解答]试验次数ξ的可能取值为ξ＝1，2，3，P(ξ＝1)＝23；P(ξ＝2)＝13×23＝29；P(ξ＝3)＝13×13×23＋13＝19.所以ξ的分布列为：ξ123P232919所以E(ξ)＝1×23＋2×29＋3×19＝139.[类题尝试](2017·山东卷)在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望E(X)．解：(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M，则P(M)＝C48C510＝518.(2)由题意知X可取的值为：0，1，2，3，4，则P(X＝0)＝C56C510＝142，P(X＝1)＝C46C14C510＝521，P(X＝2)＝C36C24C510＝1021，P(X＝3)＝C26C34C510＝521，P(X＝4)＝C16C44C510＝142，因此X的分布列为：X01234P1425211021521142X的数学期望是E(X)＝0×142＋1×521＋2×1021＋3×521＋4×142＝2.1．求离散型随机变量均值的步骤：(1)确定离散型随机变量X的取值；(2)写出分布列，并检查分布列的正确与否；(3)根据公式写出均值，如例1.2．若X，Y是两个随机变量，且Y＝aX＋b，则E(Y)＝aE(X)＋b；如果一个随机变量服从两点分布或二项分布，可直接利用公式计算均值．3．实际问题中的均值问题．均值在实际中有着广泛的应用，如在体育比赛的安排和成绩预测，消费预测，工程方案的预测，产品合格率的预测，投资收益等，都可以通过随机变量的均值来进行估计．4．概率模型的解答步骤：(1)审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些；(2)确定随机变量的分布列，计算随机变量的均值；(3)对照实际意义，回答概率、均值等所表示的结论；