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第二章随机变量及其分布2.1离散型随机变量及其分布列2.1.2离散型随机变量的分布列第2课时两点分布与超几何分布[学习目标]1.理解两点分布，并能进行简单的应用(重点)．2.理解超几何分布及其推导过程，并能进行简单的应用(重点、难点)．1．两点分布如果随机变量X的分布列为：X01P1－pp则称离散型随机变量X服从两点分布，称p＝P(X＝1)为成功概率．2．超几何分布一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝CkMCn－kN－MCnN，k＝0，1，2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.X01…MPC0MCn－0N－MCnNC1MCn－1N－MCnN…CmMCn－mN－MCnN如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X服从超几何分布．温馨提示两点分布的随机变量X只能取0和1，否则，只取两个值的分布不是两点分布．1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)随机变量X只取两个值的分布是两点分布．()(2)新生儿的性别、投篮是否命中、买到的商品是否为正品，可用两点分布研究．()(3)从3本物理书和5本数学书中选出3本，记选出的数学书为X本，则X服从超几何分布．()解析：(1)错，只有随机变量取0或1的分布才是两点分布．(2)对，根据两点分布的概念知，该说法正确．(3)对，X的可能取值为1，2，3，可求得P(X＝k)＝Ck5C3－k3C38(k＝0，1，2，3)，是超几何分布．答案：(1)×(2)√(3)√2．在100张奖券中，有4张能中奖，从中任取2张，则2张都能中奖的概率是()A.150B.125C.1825D.14950解析：依题意P＝C24C2100＝1825.答案：C3．若随机变量X服从两点分布，且P(X＝0)＝0.8，P(X＝1)＝0.2.令Y＝3X－2，则P(Y＝－2)＝()A．0.8B．0.2C．0.4D．0.1解析：因为Y＝3X－2，所以X＝13(Y＋2)，当Y＝－2时，X＝0，所以P(Y＝－2)＝P(X＝0)＝0.8.答案：A4．从4名男生和2名女生中选3人参加演讲比赛，则所选3人中女生人数不超过1人的概率是________．解析：设所选女生人数为X，则X服从超几何分布，其中N＝6，M＝2，n＝3，则P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝C02C34C36＋C12C24C36＝45.答案：455．在掷一枚图钉的随机试验中，令X＝1，针尖向上，0，针尖向下，如果针尖向上的概率为0.8，随机变量X的分布列为________．解析：随机变量X服从两点分布，且P(X＝0)＋P(X＝1)＝1，由P(X＝1)＝0.8，可得P(X＝0)＝1－0.8＝0.2，故可写出X的分布列．答案：X01P0.20.8类型1两点分布(自主研析)[典例1]一个盒子中装有5个黄色玻璃球和4个红色玻璃球，从中摸出两球，记X＝0两球全红，1两球非全红，求X的分布列．解：因为X服从两点分布，所以则P(X＝0)＝C24C29＝16，P(X＝1)＝1－16＝56.所以X的分布列为：X10P5616归纳升华(1)两点分布又称0～1分布，须注意并不是只取两个值的随机变量都服从两点分布，如随机变量ξ的分布列如下表：ξ23P0.30.7它就不是两点分布，但经过适当变换后，它可以变为两点分布．如令Y＝0（ξ＝2），1（ξ＝3），则随机变量Y服从两点分布，分布列为：(2)用两点分布不仅可以研究只有两个结果的随机试验的概率分布规律，也可以研究其他一些随机事件的概率分布．如在有多个结果的随机试验中，我们经常只关心某个随机事件是否发生，这时就可以用两点分布来研究它．Y01P0.30.7[变式训练]在掷骰子试验中，有6种可能结果，如果我们只关心出现的点数是否小于4，问如何定义随机变量η，才能使η满足两点分布，并求其分布列．解：随机变量η可以定义为：显然η只取0，1两个值．且P(η＝1)＝36＝12，故η的分布列为：η01P1212类型2超几何分布[典例2]老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某同学只能背诵其中的6篇，试求：(1)抽到他能背诵的课文的数量的概率分布；(2)他能及格的概率．解：(1)设抽到他能背诵的课文的数量为X，而P(X＝r)＝Cr6C3－r4C310(r＝0，1，2，3)．所以P(X＝0)＝C06C34C310＝130，P(X＝1)＝C16C24C310＝330，P(X＝2)＝C26C14C310＝12，P(X＝3)＝C36C04C310＝310.所以X的概率分布为：X0123P1303101216(2)由(1)知他能及格的概率为P(X＝2)＋P(X＝3)＝12＋16＝23.归纳升华1.在产品抽样检验中，如果采用的是不放回抽样，则抽到的次品数服从超几何分布．2．在超几何分布公式中，P(X＝k)＝CkMCn－kN－MCnN，k＝0，1，2，…，m，其中，m＝min{M，n}．这里的N是产品总数，M是产品中的次品数，n是抽样的样品数，且0≤n≤N，0≤k≤n，0≤k≤M，0≤n－k≤N－M.3．如果随机变量X服从超几何分布，只要代入公式即可求得相应概率，关键是明确随机变量X的所有取值．[变式训练]一个袋中装有6个形状大小完全相同的小球，其中红球有3个，编号为1，2，3；黑球有2个，编号为1，2；白球有1个，编号为1.现从袋中一次随机抽取3个球．(1)求取出的3个球的颜色都不相同的概率；(2)记取得1号球的个数为随机变量X，求随机变量X的分布列．解：(1)从袋中一次随机抽取3个球，基本事件总数n＝C36＝20，取出的3个球的颜色都不相同的基本事件共有C13C12C11＝6.所以取出的3个球的颜色都不相同的概率P＝620＝310.(2)由题意知X＝0，1，2，3.P(X＝0)＝C33C36＝120，P(X＝1)＝C13C23C36＝920，P(X＝2)＝C23C13C36＝920，P(X＝3)＝C33C36＝120，所以X的分布列为：X0123P120920920120类型3分布列的实际应用[典例3]在一次购物抽奖活动中，假设某10张奖券中有一等奖券1张，可获得价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖，某顾客从这10张中任抽2张，求：(1)该顾客中奖的概率；(2)该顾客获得的奖品总价值X(元)的分布列．解：(1)法一P＝1－C04C26C210＝1－13＝23.法二P＝C14C16＋C24C06C210＝3045＝23.即该顾客中奖的概率为23.(2)X所有可能的取值为(单位：元)：0，10，20，50，60，且P(X＝0)＝C04C26C210＝13，P(X＝10)＝C13C16C210＝25；P(X＝20)＝C23C210＝115；P(X＝50)＝C11C16C210＝215；P(X＝60)＝C11C13C210＝115.故X的分布列为：X010205060P1325115215115归纳升华此类题目中涉及的背景多数是生活、生产实践中的问题，如产品中的正品和次品，盒中的白球和黑球，同学中的男生和女生等，分析题意，判断其中的随机变量是否服从超几何分布是解决此类题目的关键．[变式训练]受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如下：品牌甲乙首次出现故障时间x(年)0＜x≤11＜x≤2x＞20＜x≤2x＞2轿车数量(辆)2345545每辆利润(万元)1231.82.9将频率视为概率，解答下列问题：(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列．解：(1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A，则P(A)＝2＋350＝110.(2)依题意得，X1的分布列为：X1123P125350910X2的分布列为：X21.82.9P1109101．两点分布的几个特点：(1)两点分布的变量X只取0和1；(2)两点分布中只有两个对应结果，且两个结果是对立的；(3)由对立事件概率的求法可知，已知P(X＝0)与P(X＝1)中的一个即可求出另一个．2．解决超几何分布问题的两个关键点：(1)超几何分布是一种重要的概率分布，一定要注意公式中字母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解；(2)超几何分布中，只要知道M，N，n，就可以利用公式求出X取不同k的概率P(X＝k)，从而求出X的分布列．