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第二章随机变量及其分布2．1离散型随机变量及其分布列2．1.1离散型随机变量[学习目标]1.通过实例了解随机变量的概念，理解取有限个值的离散型随机变量的概念(重点)．2.能写出离散型随机变量的可能取值，并能解释其意义(难点)．1．随机变量(1)定义：在随机试验中，确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化．像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．(2)表示：随机变量常用字母X，Y，ξ，η，…表示．(3)随机变量与函数的关系．相同点随机变量与函数都是一种映射区别随机变量是随机试验的结果到实数的映射，函数是实数到实数的映射联系随机试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域2.离散型随机变量所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个．()(2)在抛掷一枚质地均匀的硬币试验中，“出现正面的次数”为随机变量．()(3)随机变量是用来表示不同试验结果的量．()解析：(1)对，因为随机变量的每一个取值，均代表一个试验结果，试验结果有有限个，随机变量的取值就有有限个，试验结果有无限个，随机变量的取值就有无限个．(2)对，因为掷一枚硬币，可能出现的结果是正面向上或反面向上，以一个标准如正面向上的次数来描述这一随机试验，那么正面向上的次数就是随机变量ξ，ξ的取值是0，1.(3)对，因为由随机变量的定义可知，该说法正确．答案：(1)√(2)√(3)√2．下列变量中，不是随机变量的是()A．一射击手射击一次命中的环数B．标准状态下，水沸腾时的温度C．抛掷两枚骰子，所得点数之和D．某电话总机在时间区间(0，T)内收到的呼叫次数解析：B中水沸腾时的温度是一个确定值．答案：B3．袋中有2个黑球6个红球，从中任取两个，可以作为随机变量的是()A．取到的球的个数B．取到红球的个数C．至少取到一个红球D．至少取到一个红球的概率解析：A的取值不具有随机性，C是一个事件而非随机变量，D中概率值是一个定值而非随机变量，只有B满足要求．答案：B4．在8件产品中，有3件次品，5件正品，从中任取一件，取到次品就停止，取后不放回，抽取次数为X，则“X＝3”表示的试验结果是________．解析：由题意知，“X＝3”表示前两次均取到正品，第三次取到次品．答案：前两次均取到正品，第三次取到次品．5．一木箱中装有8个同样大小的篮球，编号为1，2，3，4，5，6，7，8，现从中随机取出3个篮球，以ξ表示取出的篮球的最大号码，则ξ＝8表示的试验结果有________种．解析：从8个球中选出3个球，其中一个的号码为8，另两个球是从1，2，3，4，5，6，7中任取两个球．所以共有C27＝21(种)．答案：21类型1随机变量的概念(自主研析)[典例1]下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量？并说明理由．(1)上海国际机场候机室中2019年5月1日的旅客数量；(2)2019年某天广州至北京的G68次高铁到北京站的时间；(3)2019年某天收看中央电视台《焦点访谈》节目的人数；(4)面积为100cm2的圆的半径长．解：(1)候机室中的旅客数量可能是0，1，2，…，出现哪一个结果都是随机的，因此是随机变量．(2)G68次广州至北京的高铁，到达终点的时间每次都是随机的，可能提前，可能准时，亦可能晚点，故是随机变量．(3)在《焦点访谈》节目播放的时刻，收看人数的变化是随机的，可能多，也可能少，因此是随机变量．(4)面积为100cm2的圆的半径长为定值，故不是随机变量．归纳升华判断一个变量是否为随机变量，主要从随机变量概念的特点上判断：(1)每一个试验的结果是随机的．(2)随机变量是随机试验结果到实数的映射．(3)可预先知道随机试验的所有结果，但在一次试验中不能确定究竟出现哪一个结果，变量会取哪一个值．[变式训练]给出下列几个命题：①15秒内，通过某十字路口的汽车的辆数是随机变量；②在一段时间内，候车室内候车的旅客人数是随机变量；③一个剧场共有三个出口，散场后从某一出口退场的人数是随机变量．其中正确命题的个数()A．1B．2C．3D．0解析：依题意，都符合随机变量的定义，三个命题都正确．答案：C类型2离散型随机变量的判定[典例2]下列变量中属于离散型随机变量的有___．①在2017张已编号的卡片(从1号到2017号)中任取1张，被取出的编号数为X；②连续不断射击，首次命中目标需要的射击次数X；③从2015张已编号的卡片(从1号到2015号)中任取5张，被取出的卡片的号数和X；④投掷一枚骰子，六面都刻有数字8，所得的点数X.解析：①②③中变量X的所有可能取值是可以一一列举出来的，是离散型随机变量．④中X的取值确定，是8，不是随机变量．答案：①②③归纳升华1.判断一个随机变量X是否为离散型随机变量的关键是判断随机变量X的所有可能取值是否可以一一列出．2．离散型随机变量判定的具体方法如下：(1)明确随机试验的所有可能结果；(2)将随机试验的试验结果数量化；(3)确定试验结果所对应的实数是否可按一定次序一一列出，如果能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是．[变式训练]指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由．(1)某超市5月份每天的销售额；(2)某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差ξ；(3)江西九江市长江水位监测站所测水位在(0，29]这一范围内变化，该水位站所测水位ξ.解：(1)是离散型随机变量．某超市5月份每天的销售额可以一一列出，故为离散型随机变量．(2)不是离散型随机变量．实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量．(3)不是离散型随机变量，水位在(0，29]这一范围内变化，不能一一列出，故不是离散型随机变量.类型3离散型随机变量的取值(互动探究)[典例3]写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．(1)一个袋中装有8个红球，3个白球，从中任取5个球，其中所含白球的个数为X；(2)一个袋中有5个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3个球，取出的球的最大号码记为X.解：(1)X＝0表示取5个球全是红球；X＝1表示取1个白球，4个红球；X＝2表示取2个白球，3个红球；X＝3表示取3个白球，2个红球．(2)X＝3表示取出的球编号为1，2，3.X＝4表示取出的球编号为1，2，4；1，3，4或2，3，4.X＝5表示取出的球编号为1，2，5；1，3，5；1，4，5；2，3，5；2，4，5；3，4，5.[迁移探究1]在典例3(1)条件下，规定取出一个红球赢2元，而每取出一个白球输1元，以ξ表示赢得的钱数，结果如何？解：ξ＝10表示取5个球全是红球；ξ＝7表示取1个白球，4个红球；ξ＝4表示取2个白球，3个红球；ξ＝1表示取3个白球，2个红球．归纳升华解决此类问题的关键是明确随机变量的所有可能取值，以及取每一个值对应的意义，即一个随机变量的取值对应一个或多个随机试验的结果．[变式训练]若甲、乙两队进行排球比赛，规定采用“五局三胜制”，用X表示需要比赛的局数，写出X所有可能的取值，并写出表示的试验结果．解：根据题意，X的取值可能为3，4，5.“X＝3”表示共打3局，甲、乙两队中有一队连胜3局．“X＝4”表示共打4局，甲、乙两队中前3局中有一队输一局，且最后一局胜出．“X＝5”表示共打5局，甲、乙两队中前4局打平，最后一局一队胜出．1．所谓的随机变量就是试验结果和实数之间的一个对应关系，随机变量是将试验的结果数量化，变量的取值对应于随机试验的某一个随机事件．2．写随机变量表示的结果，要看三个特征：(1)可用数来表示；(2)试验之前可以判断其可能出现的所有值；(3)在试验之前不能确定取值．