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第二章数列第2课时等差数列的性质[学习目标]1.能根据等差数列的定义推出等差数列的重要性质．(难点)2.能运用等差数列的性质解决有关问题．(重点)[知识提炼·梳理]1．等差数列的图象等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d，当d＝0时，an是关于n的常数函数；当d≠0时，an是关于n的一次函数；点(n，an)分布在以d为斜率的直线上，是这条直线上的一系列孤立的点．2．等差数列的项与序号的关系(1)等差数列通项公式的推广：在等差数列{an}中，已知a1，d，am，an(m≠n)，则d＝an－a1n－1＝an－amn－m，从而有an＝am＋(n－m)d．(2)项的运算性质：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，有am＋an＝2ak.3．等差数列的性质(1)等差数列的对称性．在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和．即a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝……(2)若{an}、{bn}分别是公差为d、d′的等差数列，则有：数列结论{c＋an}公差为d的等差数列(c为常数){can}公差为cd的等差数列(c为常数){an＋an＋k}公差为2d的等差数列(k为常数，k∈N*){pan＋qbn}公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数)(3){an}的公差为d，则d＞0⇔{an}为递增数列；d＜0⇔{an}为递减数列；d＝0⇔{an}为常数列．[思考尝试·夯基]1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若{an}是等差数列，则{|an|}也是等差数列．()(2)若{|an|}是等差数列，则{an}也是等差数列．()(3)若{an}为等差数列，且m＋n＝p(m，n，p∈N*)，则am＋an＝ap.()(4)数列{an}的通项公式为an＝3n＋5，则数列{an}的公差与函数y＝3x＋5的图象的斜率相等．()解析：(1)错误，如－2，－1，0，1，2是等差数列，但其绝对值就不是等差数列；(2)错误，如数列－1，2，－3，4，－5其绝对值为等差数列，但其本身不是等差数列；(3)错误，因为{an}为等差数列，m＋n＝p，所以am＋an＝a1＋(m－1)d＋a1＋(n－1)d＝2a1＋(m＋n－2)d.所以ap＝a1＋(p－1)d.所以am＋an≠ap.(4)正确，因为an＝3n＋5的公差d＝3，而直线y＝3x＋5的斜率也是3.答案：(1)×(2)×(3)×(4)√2．在等差数列{an}中，a1＝2，a3＋a5＝10，则a7＝()A．5B．8C．10D．14解析：由等差数列的性质知a1＋a7＝a3＋a5，所以a7＝(a3＋a5)－a1＝10－2＝8.答案：B3．在等差数列{an}中，若a3＋3a6＋a9＝120，则2a7－a8的值为()A．24B．－24C．20D．－20解析：因为在等差数列{an}中，a3＋3a6＋a9＝120，所以5(a1＋5d)＝120，所以a1＋5d＝24，所以2a7－a8＝a1＋5d＝24.答案：A4．下列是关于公差d0的等差数列{an}的四个命题：p1：数列{an}是递增数列；p2：数列{nan}是递增数列；p3：数列ann是递增数列；p4：数列{an＋3nd}是递增数列．其中的真命题为()A．p1，p2B．p3，p4C．p2，p3D．p1，p4解析：an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d，因为d0，所以p1正确；an＋3nd＝4dn＋a1－d，因4d0，所以是递增数列，p4正确．答案：D5．在等差数列{an}中：(1)若a3＝5，则a1＋2a4＝________；(2)若a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，则a1＋a20＝________．答案：(1)15(2)18类型1利用等差数列的通项公式或性质解题[典例1]在等差数列{an}中：(1)若a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝80，求a7－12a8；(2)已知a1＋2a8＋a15＝96，求2a9－a10.解：(1)a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝5a6＝80，所以a6＝16，所以a7－12a8＝12(2a7－a8)＝12(a6＋a8－a8)＝12a6＝8.(2)因为a1＋2a8＋a15＝4a8＝96，所以a8＝24.所以2a9－a10＝a10＋a8－a10＝a8＝24.归纳升华1．利用等差数列的通项公式列关于a1和d的方程组，求出a1和d，进而解决问题是处理等差数列问题最基本的方法．2．巧妙地利用等差数列的性质，可以大大简化解题过程．[变式训练]数列{an}各项的倒数组成等差数列，如果a3＝2－1，a5＝2＋1，求a11.解：设{an}各项的倒数组成等差数列{bn}，则b3＝2＋1，b5＝2－1.b1＋2d＝2＋1，b1＋4d＝2－1，⇒b1＝3＋2，d＝－1.⇒b11＝b1＋10d＝2－7⇒a11＝1b11＝－7－247.类型2灵活设元解等差数列(互动探究)[典例2]已知四个数依次成等差数列且是递增数列，四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此等差数列．解：设四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，则（a－3d）2＋（a－d）2＋（a＋d）2＋（a＋3d）2＝94，（a－3d）（a＋3d）＋18＝（a－d）（a＋d），又因为是递增数列，所以d0，所以解得a＝±72，d＝32，所以此等差数列为－1，2，5，8或－8，－5，－2，1.[迁移探究]若将典例2改为：已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数．解：法一设这三个数为a，b，c，则由题意得2b＝a＋c，a＋b＋c＝18，a2＋b2＋c2＝116，解得a＝4，b＝6，c＝8.所以这三个数为4，6，8.法二设这三个数为a－d，a，a＋d，由已知可得（a－d）＋a＋（a＋d）＝18，①（a－d）2＋a2＋（a＋d）2＝116，②由①得a＝6，代入②得d＝±2，因为该数列是递增的，所以d＝2，所以这三个数为4，6，8.归纳升华等差数列项的常见设法1．通项法：设数列的通项公式，即设an＝a1＋(n－1)d.2．对称项设法：当等差数列{an}的项数为奇数时，可设中间一项为a，再以公差为d向两边分别设项：…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，…；当等差数列{an}的项数为偶数时，可设中间两项分别为a－d，a＋d，再以公差为2d向两边分别设项：…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，….对称项设法的优点是：若有n个数构成等差数列，利用对称项设法设出这个数列，则其各项和为na.类型3数列的实际应用问题[典例3]某公司2009年经销一种数码产品，获利200万元，从2010年起，预计其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？解：记2009年为第一年，由题设可知第1年获利200万元，第2年获利180万元，第3年获利160万元，…，则每年获利构成等差数列{an}，且当an0时，该公司经销此产品将亏损．设第n年的利润为an，因为a1＝200，公差d＝－20，所以an＝a1＋(n－1)d＝220－20n.由题意知数列{an}为递减数列，令an0，即an＝220－20n0，得n11，即从第12年起，也就是从2020年开始，该公司经销此产品将亏损．归纳升华1．解答数列实际应用问题的基本步骤：(1)审题，即仔细阅读材料，认真理解题意；(2)建模，即将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题；(3)判型，即判断该数列是否为等差数列；(4)求解，即求出该问题的数学解；(5)还原，即将所求结果还原到实际问题中．2．在利用数列方法解决实际问题时，一定要弄清首项、项数等关键问题．[变式训练]有一批电视机原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售．甲商场用如下方法促销：买一台单价为780元，买两台单价为760元，以此类推，每多买一台则所购买各台的单价均减少20元，但每台最少不低于440元；乙商场一律按原价的75%销售．某单位需购买一批此类电视机，则去哪一家商场购买花费较少？解：设某单位需购买电视机n台．在甲商场购买时，所买电视机的售价构成等差数列{an}，an＝780＋(n－1)×(－20)＝－20n＋800，由an＝－20n＋800≥440，得n≤18，即购买台数不超过18台时，每台售价(800－20n)元；购买台数超过18台时，每台售价440元．到乙商场购买时，每台售价为800×75%＝600(元)．比较在甲、乙两家家电商场的费用(800－20n)n－600n＝20n(10－n)．当n10时，(800－20n)n600n，到乙商场购买花费较少；当n＝10时，(800－20n)n＝600n，到甲、乙商场购买花费相同；当10n≤18时，(800－20n)n600n，到甲商场购买花费较少；当n18时，440n600n，到甲商场购买花费较少．因此，当购买电视机台数少于10台时，到乙商场购买花费较少；当购买电视机10台时，到两家商场购买花费相同；当购买电视机台数多于10台时，到甲商场购买花费较少．1．在等差数列{an}中，当m≠n时，d＝am－anm－n为公差公式，利用这个公式很容易求出公差，还可变形为am＝an＋(m－n)d.2．在等差数列{an}中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列．3．在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则an＋am＝ap＋aq(n，m，p，q∈N*)，特别地，若m＋n＝2p，则an＋am＝2ap.4．在等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素；有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成关于a1、d的方程组求解，但是，要注意公式的变形，以减少计算量．