2019秋高中数学 第二章 平面向量章末复习课课件 新人教A版必修4

第二章平面向量章末复习课[整合·网络构建][警示·易错提醒]1．有关向量的注意点(1)零向量的方向是任意的．(2)平行向量无传递性，即a∥b，b∥c时，a与c不一定是平行向量．(3)注意数量积是一个实数，不再是一个向量．2．向量运算的注意点(1)向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)．(2)向量的“乘法”不满足结合律，即(a·b)c≠a(b·c).专题一有关向量共线问题有关向量平行或共线的问题，常用共线向量定理：a∥b⇔a＝λb(b≠0)⇔x1y2－x2y1＝0.[例1]已知a＝(1，2)，b＝(－3，2)，若ka＋2b与2a－4b平行，求实数k的值．解：法一向量ka＋2b与2a－4b平行，则存在唯一实数λ，使ka＋2b＝λ(2a－4b)．因为ka＋2b＝k(1，2)＋2(－3，2)＝(k－6，2k＋4)．2a－4b＝2(1，2)－4(－3，2)＝(14，－4)，所以(k－6，2k＋4)＝λ(14，－4)．所以k－6＝14λ，2k＋4＝－4λ，解得λ＝－12，k＝－1.即实数k的值为－1.法二因为ka＋2b＝k(1，2)＋2(－3，2)＝(k－6，2k＋4)，2a－4b＝2(1，2)－4(－3，2)＝(14，－4)，ka＋2b与2a－4b平行，所以(k－6)(－4)－(2k＋4)×14＝0.解得k＝－1.归纳升华1．向量与非零向量a共线⇔存在唯一实数λ使b＝λa.2．在解有关向量共线问题时，应注意运用向量共线的坐标表达式，a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)共线⇔x1y2－x2y1＝0.[变式训练]平面内给定三个向量a＝(3，2)，b＝(－1，2)，c＝(4，1)．(1)求满足a＝mb＋nc的实数m、n；(2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k.解：(1)因为a＝mb＋nc，所以(3，2)＝(－m＋4n，2m＋n)．所以－m＋4n＝3，2m＋n＝2，解得m＝59，n＝89.(2)因为(a＋kc)∥(2b－a)，a＋kc＝(3＋4k，2＋k)，2b－a＝(－5，2)．所以2(3＋4k)＋5(2＋k)＝0，即k＝－1613.专题二有关向量的夹角、垂直问题非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)的夹角为θ，则a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0，cosθ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22.[例2]已知向量a，b满足|a|＝3，|b|＝2，|a＋b|＝13，求向量a＋b与a－b的夹角θ的余弦值．解：由已知|a|＝3，|b|＝2，|a＋b|＝13，所以(a＋b)2＝13.所以a2＋2a·b＋b2＝13，则(3)2＋2a·b＋22＝13，得2a·b＝6.(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝(3)2－6＋22＝1，所以|a－b|＝1.所以cosθ＝（a＋b）·（a－b）|a＋b||a－b|＝a2－b213×1＝（3）2－2213＝－1313.归纳升华1．已知平行四边形的一组邻边和对角线的长，求两对角线构成的向量的夹角，可通过模的平方，沟通向量的模与向量内积之间的联系．2．两个向量的夹角与两条直线的夹角取值范围是不同的．[变式训练](1)若非零向量a，b满足|a|＝223|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为()A.π4B.π2C.3π4D．π(2)△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足AB→＝2a，AC→＝2a＋b，则下列结论正确的是()A．|b|＝1B．a⊥bC．a·b＝1D．(4a＋b)⊥BC→解析：(1)由(a－b)⊥(3a＋2b)得(a－b)·(3a＋2b)＝0，即3a2－a·b－2b2＝0.又因为|a|＝223|b|，设〈a，b〉＝θ，即3|a|2－|a|·|b|·cosθ－2|b|2＝0，所以83|b|2－223|b|2·cosθ－2|b|2＝0.所以cosθ＝22.又因为0≤θ≤π，所以θ＝π4.(2)在△ABC中，由BC→＝AC→－AB→＝2a＋b－2a＝b，得|b|＝2.又|a|＝1，所以a·b＝|a||b|cos120°＝－1，所以(4a＋b)·BC→＝(4a＋b)·b＝4a·b＋|b|2＝4×(－1)＋4＝0，所以(4a＋b)⊥BC→.答案：(1)A(2)D专题三有关向量的模的问题利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：(1)|a|2＝a2＝a·a；(2)|a±b|2＝a2±2a·b＋b2；(3)若a＝(x，y)，则|a|＝x2＋y2；(4)应用三角形或平行四边形法则．[例3](1)设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，BC→2＝16，|AB→＋AC→|＝|AB→－AC→|，则|AM→|＝()A．8B．4C．2D．1(2)设向量a＝(0，－1)，向量b＝(cosx，sinx)，则|a＋b|的取值范围为________．解析：(1)法一因为BC→2＝16，所以|BC→|＝4.又|AB→－AC→|＝|CB→|＝4，因为M为BC的中点，所以BM→＝－CM→.所以AM→＝AB→＋BM→＝AC→＋CM→，所以AM→＝12(AB→＋AC→)，所以|AM→|＝12|AB→＋AC→|＝12×4＝2.法二如右图所示，四边形ABDC是平行四边形，又|AB→＋AC→|＝|AB→－AC→|，所以|AD→|＝|CB→|，所以四边形ABDC是矩形，所以|AM→|＝12|BC→|，又BC→2＝16，所以|BC→|＝4，所以|AM→|＝2.(2)a＝(0，－1)，b＝(cosx，sinx)，所以a＋b＝(cosx，sinx－1)．所以|a＋b|＝cos2x＋（sinx－1）2＝2－2sinx＝2（1－sinx）.因为－1≤sinx≤1，所以0≤|a＋b|≤2.答案：(1)C(2)[0，2]归纳升华解答向量的模的问题的关键点1．根据题意寻找或画出三角形或平行四边形，观察图形以便直观地得出一些结论．2．利用三角形法则、平行四边形法则求有关的向量，并注意一些公式性质的运用，例如模与向量的平方的关系，相反向量的和为0等．3．数形结合法的运用可使解题简捷．[变式训练]已知向量a和b的模都是2，其夹角为60°，又知OP→＝a＋2b，OQ→＝－2a＋b，则|PQ→|＝________．解析：PQ→＝OQ→－OP→＝－3a－b，|PQ→|2＝PQ→·PQ→＝(－3a－b)2＝9a2＋6a·b＋b2.因为|a|＝|b|＝2，a·b＝|a||b|cos60°＝2，所以|PQ→|2＝9a2＋6a·b＋b2＝9×4＋6×2＋4＝52.所以|PQ→|＝213.答案：213专题四数形结合思想平面向量的线性运算和数量积运算的定义及运算法则、运算律的推导中都渗透了数形结合的思想．引入向量的坐标表示，使向量运算完全代数化，将数和形紧密结合起来．运用数形结合的思想解决了三点共线，两条线段平行、垂直、夹角、距离、面积等问题．[例4]已知向量a与b不共线，且|a|＝|b|≠0，则下列结论正确的是()A．向量a＋b与a－b垂直B．向量a－b与a垂直C．向量a＋b与a垂直D．向量a＋b与a－b共线解析：如图所示，作OA→＝a，OC→＝b，以OA和OC为邻边作▱OABC.由于|a|＝|b|≠0，则四边形OABC是菱形，所以必有AC⊥OB.又因为a＋b＝OB→，a－b＝CA→，所以(a＋b)⊥(a－b)．答案：A归纳升华模相等且不共线的两向量的和与两向量的差垂直．[变式训练]如图所示，半圆的直径AB＝2，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则(PA→＋PB→)·PC→的最小值是________．解析：因为点O是AB的中点，所以PA→＋PB→＝2PO→，设|PC→|＝x，则|PO|＝1－x(0≤x≤1)，所以(PA→＋PB→)·PC→＝2PO→·PC→＝－2x(1－x)＝2x－122－12，所以当x＝12时，(PA→＋PB→)·PC→取得最小值，为－12.答案：－12