2019秋高中数学 第二章 平面向量 2.5 平面向量应用举例课件 新人教A版必修4

第二章平面向量2．5平面向量应用举例[学习目标]1.能用向量方法解决某些简单的平面几何中的距离(线段长度)、夹角等问题(重点)．2.能用向量方法解决物理中的有关力、速度等方面的问题．[知识提炼·梳理]1．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”第一步，建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；第二步，通过向量运算，研究几何元素之间的关系；第三步，把运算结果“翻译”成几何关系．2．向量在物理中的应用(1)物理问题中常见的向量有力、速度、加速度、位移等．(2)向量的加减法运算体现在力、速度、加速度、位移的合成与分解．(3)动量mv是向量的数乘运算．(4)功是力F与所产生的位移s的数量积.[思考尝试·夯基]1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)求力F1和F2的合力可按照向量加法的平行四边形法则．()(2)若△ABC为直角三角形，则有AB→·BC→＝0.()(3)若向量AB→∥CD→，则AB∥CD.()解析：(1)正确．物理中的力既有大小又有方向，所以力可以看作向量，F1，F2的合力可按照向量加法的平行四边形法则求解．(2)错误．因为△ABC为直角三角形，∠B并不一定是直角，有可能是∠A或∠C为直角．(3)错误．向量AB→∥CD→时，直线AB∥CD或AB，CD重合．答案：(1)√(2)×(3)×2．在四边形ABCD中，若AB→＋CD→＝0，AC→·BD→＝0，则四边形为()A．平行四边形B．矩形C．等腰梯形D．菱形解析：由题意可知，AB→∥CD→，|AB→|＝|CD→|，且AC→⊥BD→，所以四边形ABCD为菱形．答案：D3．河水的流速为2m/s，一艘小船以垂直于河岸方向10m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为()A．10m/sB．226m/sC．46m/sD．12m/s解析：由题意知|v水|＝2m/s，|v船|＝10m/s.作出示意图如图．所以|v|＝102＋22＝104＝226(m/s)．答案：B4.一物体受到相互垂直的两个力F1，F2的作用，两力大小都为53N，则两个力的合力的大小为________．解析：设合力为F，则F1⊥F2，且F＝F1＋F2，|F|＝（F1＋F2）2＝F21＋2F1·F2＋F22＝（53）2＋2×0＋（53）2＝56.答案：565．已知力F＝(2，3)作用在一物体上，使物体从A(2，0)移动到B(－2，3)，则F对物体所做的功为________焦．解析：由已知位移AB→＝(－4，3)，所以力F做的功为W＝F·AB→＝2×(－4)＋3×3＝1.答案：1类型1平面几何中的垂直问题[典例1]如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE.证明：法一设AD→＝a，AB→＝b，则|a|＝|b|，a·b＝0，又DE→＝DA→＋AE→＝－a＋b2，AF→＝AB→＋BF→＝b＋a2，所以AF→·DE→＝b＋a2·－a＋b2＝－12a2－34a·b＋b22＝－12|a|2＋12|b|2＝0.故AF→⊥DE→，即AF⊥DE.法二建立平面直角坐标系如图，设正方形的边长为2，则A(0，0)，D(0，2)，E(1，0)，F(2，1)，AF→＝(2，1)，DE→＝(1，－2)．因为AF→·DE→＝(2，1)·(1，－2)＝2－2＝0，所以AF→⊥DE→，即AF⊥DE.归纳升华对于线段的垂直问题，可以联想到两个向量垂直的条件，即向量的数量积为0.而对于这一条件的应用，可以用向量关系式的形式，也可以用坐标的形式．[变式训练]在△ABC中，(BC→＋BA→)·AC→＝|AC→|2，则△ABC的形状一定是()A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形解析：由(BC→＋BA→)·AC→＝|AC→|2，得AC→·(BC→＋BA→－AC→)＝0，即AC→·(BC→＋BA→＋CA→)＝0，所以2AC→·BA→＝0，所以AC→⊥BA→，所以A＝90°.答案：C类型2平面几何中的长度问题[典例2]已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，设AC＝m，BC＝n.(1)若D为斜边AB的中点，求证：CD＝12AB；(2)若E为CD的中点，连接AE并延长交BC于F.求AF的长度(用m，n表示)．(1)证明：以C为坐标原点，以边CB，CA所在的直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A(0，m)，B(n，0)，因为D为AB的中点，所以Dn2，m2，所以|CD→|＝12n2＋m2，|AB→|＝m2＋n2，所以|CD→|＝12|AB→|，即CD＝12AB.(2)解：因为E为CD的中点，所以En4，m4，设F(x，0)，则AE→＝n4，－34m，AF→＝(x，－m)．因为A，E，F三点共线，所以AF→＝λAE→.即(x，－m)＝λn4，－34m.则x＝n4λ，－m＝－34mλ，故λ＝43，即x＝n3，所以Fn3，0.所以|AF→|＝13n2＋9m2，即AF的长度为13n2＋9m2.归纳升华用向量法求长度的方法1．利用图形特点选择基底，向量的数量积转化，用公式|a|2＝a2求解．2．建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若a＝(x，y)，则|a|＝x2＋y2.[变式训练]如图所示，已知在▱ABCD中，AB＝3，AD＝1，∠DAB＝π3，求对角线AC和BD的长．解：设AB→＝a，AD→＝b，a与b的夹角为θ，则|a|＝3，|b|＝1，θ＝π3.所以a·b＝|a||b|cosθ＝32.又因为AC→＝a＋b，DB→＝a－b，所以|AC→|＝AC→2＝（a＋b）2＝a2＋2a·b＋b2＝13，|DB→|＝DB→2＝（a－b）2＝a2－2a·b＋b2＝7.所以AC的长为13，DB的长为7.类型3向量在物理中的应用[典例3](1)某人在无风条件下骑自行车的速度为v1，风速为v2(|v1||v2|)，则逆风行驶的速度的大小为()A．v1－v2B．v1＋v2C．|v1|－|v2|D.v1v2(2)如果一架飞机先向东飞行200km，再向南飞行300km，设飞机飞行的路程为skm，位移为akm，则()A．s|a|B．s|a|C．s＝|a|D．s与|a|不能比较大小解析：(1)题目要求的是速度的大小，即向量的大小，而不是求速度，速度是向量，速度的大小是实数．故逆风行驶的速度的大小为|v1|－|v2|.(2)物理量中的路程是数量，位移是向量，从而s＝500，由位移的合成易得|a|500，故s|a|.答案：(1)C(2)A归纳升华用向量方法解决物理问题的步骤1．转化：把物理问题中的相关量用向量表示，转化为向量问题的模型．2．运算：通过向量的运算使问题得以解决．3．还原：把结果还原为物理问题．[变式训练]两个大小相等的共点力F1，F2，当它们间的夹角为90°时，合力的大小为20N，则当它们的夹角为120°时，合力的大小为()A．40NB．52NC．102ND．103N解析：因为|F1|＝|F2|，故当它们间的夹角为90°时，合力的大小为|F1＋F2|＝2|F1|＝20N．所以|F1|＝|F2|＝102N.则当它们的夹角为120°时，作出受力示意图(如图)，则所得的四边形OACB为菱形．又∠AOB＝120°，所以∠AOC＝60°，所以△AOC为等边三角形．所以|F合|＝|F1|＝|F2|＝102N.答案：C1．向量方法在平面几何中应用的五个主要方面．(1)要证明两线段相等，如AB＝CD，则可转化为证明：AB→2＝CD→2.(2)要证明两线段平行，如AB∥CD，则只要证明：存在实数λ≠0，使AB→＝λCD→成立，且AB与CD无公共点．(3)要证明两线段垂直，如AB⊥CD，则只要证明数量积AB→·CD→＝0.(4)要证明A，B，C三点共线，只要证明存在一实数λ≠0，使AB→＝λAC→.(5)要求一个角，如∠ABC，只要求向量BA→与向量BC→的夹角即可．2．向量在物理中应用时要注意三个问题．(1)把物理问题转化为数学问题，也就是将物理量之间的关系抽象成数学模型．(2)利用建立起来的数学模型解释和回答相关的物理现象．(3)在解决具体问题时，要明确和掌握用向量方法研究物理问题的相关知识.