2019秋高中数学 第二章 平面向量 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课件 新人教A版

第二章平面向量2．4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角[学习目标]1.理解平面向量数量积的坐标表示，会用向量的坐标求数量积、向量的模及两个向量的夹角(重点、难点)．2.会用两个向量的坐标判断它们是否具有垂直关系(重点)．[知识提炼·梳理]1．平面向量数量积的坐标运算若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2．即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．2．两个向量垂直的坐标表示设两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0．3．三个重要公式(模、夹角)(1)向量模的公式：设a＝(x1，y1)，则|a|＝x21＋y21．(2)两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB→|＝（x2－x1）2＋（y2－y1）2．(3)设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b夹角为θ，则cosθ＝a·b|a|·|b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22.温馨提示引入坐标后，实现了向量的数量积运算与两向量坐标运算的转化，从而将它们联系起来．[思考尝试·夯基]1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.()(2)若两个非零向量的夹角θ满足cosθ0，则两向量的夹角θ一定是钝角．()(3)若A(1，0)，B(0，－1)，则|AB→|＝2.()解析：(1)错误．当a＝0或b＝0时，x1x2＋y1y2＝0.此时a∥b.(2)错误．如a＝(－1，－1)，b＝(1，1)，则cosθ＝－10，但a与b的夹角是180°而并不是钝角．(3)正确．由两点间的距离公式，得|AB→|＝（0－1）2＋（－1－0）2＝2.答案：(1)×(2)×(3)√2．已知O(0，0)，A(2，0)，B(3，1)，则(OB→－OA→)·OB→＝()A．4B．2C．－2D．－4解析：由已知得OA→＝(2，0)，OB→＝(3，1)，OB→－OA→＝(1，1)，则(OB→－OA→)·OB→＝(1，1)·(3，1)＝3＋1＝4.答案：A3．已知a＝(2，1)，b＝(m，－1)，且a⊥(a－b)，则实数m＝()A．1B．2C．3D．4解析：由a⊥(a－b)，得a·(a－b)＝0，即(2，1)·(2－m，2)＝6－2m＝0，解得m＝3.答案：C4．若a＝(4，－2)，b＝(k，－1)，且a⊥b，则k＝________．解析：因为a⊥b，a·b＝(4，－2)·(k，－1)＝4k＋2＝0，则k＝－12.答案：－125．已知e1，e2是互相垂直的单位向量．若3e1－e2与e1＋λe2的夹角为60°，则实数λ的值是________．解析：由题意不妨设e1＝(1，0)，e2＝(0，1)，则3e1－e2＝(3，－1)，e1＋λe2＝(1，λ)．根据向量的夹角公式得cos60°＝（3，－1）·（1，λ）21＋λ2＝3－λ21＋λ2＝12，所以3－λ＝1＋λ2，解得λ＝33.答案：33类型1平面向量数量积的坐标运算[典例1](2016·江苏卷)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，BA→·CA→＝4，BF→·CF→＝－1，则BE→·CE→的值是________．解析：由题意，得BF→·CF→＝(BD→＋DF→)·(CD→＋DF→)＝(BD→＋DF→)·(－BD→＋DF→)＝DF→2－BD→2＝|DF→|2－|BD→|2＝－1，①BA→·CA→＝(BD→＋DA→)·(CD→＋DA→)＝(BD→＋3DF→)·(－BD→＋3DF→)＝9DF→2－BD→2＝9|DF→|2－|BD→|2＝4.②由①②得|DF→|2＝58，|BD→|2＝138.所以BE→·CE→＝(BD→＋DE→)·(CD→＋DE→)＝(BD→＋2DF→)·(－BD→＋2DF→)＝4DF→2－BD→2＝4|DF→|2－|BD→|2＝4×58－138＝78.答案：78归纳升华数量积坐标运算的方法1．进行数量积运算时，要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2，并能灵活运用以下几个关系：|a|2＝a·a.(a＋b)(a－b)＝|a|2－|b|2.(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2.2．利用数量积的条件求平面向量的坐标，一般来说应当先设出向量的坐标，然后根据题目中已知的条件找出向量坐标满足的等量关系，利用数量积的坐标运算列出方程(组)来进行求解．[变式训练]如图所示，已知等边△ABC的边长为2，若BC→＝3BE→，AD→＝DC→，则BD→·AE→＝________．解析：如图，以BC所在直线为x轴，以BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系．因为等边△ABC的边长为2，且BC→＝3BE→，AD→＝DC→，则B(－1，0)，D12，32，A(0，3)，E－13，0，所以BD→＝32，32，AE→＝－13，－3，所以BD→·AE→＝32×－13－32＝－2.答案：－2类型2平面向量的坐标运算[典例2](1)已知向量a＝(1，2)，b＝(－3，2)，则|a＋b|＝________，|a－b|＝________；(2)(2016·全国卷Ⅰ)设向量a＝(m，1)，b＝(1，2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，则m＝________．解析：(1)由题意知，a＋b＝(－2，4)，a－b＝(4，0)，因此|a＋b|＝（－2）2＋42＝25，|a－b|＝4.(2)因为|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝|a|2＋|b|2，所以a·b＝0.又a＝(m，1)，b＝(1，2)，所以m＋2＝0，所以m＝－2.答案：(1)254(2)－2归纳升华求向量的模的两种基本方法1．字母表示下的运算：利用|a|2＝a2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题．2．坐标表示下的运算：若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝x2＋y2.[变式训练]已知向量a＝(2x＋3，2－x)，b＝(－3－x，2x)(x∈R)．则|a＋b|的取值范围为________．解析：因为a＋b＝(x，x＋2)．所以|a＋b|＝x2＋（x＋2）2＝2x2＋4x＋4＝2（x＋1）2＋2≥2，所以|a＋b|∈[2，＋∞)．答案：[2，＋∞)类型3向量的夹角与垂直问题[典例3]已知点A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4)．(1)求证：AB⊥AD；(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标以及矩形ABCD两对角线所夹锐角的余弦值．(1)证明：因为A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4)，AB→＝(1，1)，AD→＝(－3，3)，所以AB→·AD→＝1×(－3)＋1×3＝0，所以AB→⊥AD→，即AB⊥AD.(2)解：因为AB→⊥AD→，所以四边形ABCD为矩形，所以AB→＝DC→，设C点的坐标为(x，y)，则由AB→＝(1，1)，DC→＝(x＋1，y－4)，得x＋1＝1，y－4＝1，解得x＝0，y＝5，所以C点的坐标为(0，5)，从而AC→＝(－2，4)，BD→＝(－4，2)．且|AC→|＝25，|BD→|＝25.AC→·BD→＝8＋8＝16，设AC→与BD→的夹角为θ，则cosθ＝AC→·BD→|AC→||BD→|＝1620＝45.所以矩形的两条对角线所夹锐角的余弦值为45.归纳升华利用数量积求两向量夹角的步骤1．求数量积：利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数量积．2．求模：利用|a|＝x2＋y2计算出这两个向量的模．3．求余弦值：由公式cosθ＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22直接求出cosθ的值．4．求角：在0≤θ≤π内，由cosθ的值求角θ.[变式训练](1)在△ABC中，B＝90°，AB→＝(1，－2)，AC→＝(3，λ)，则λ＝()A．－1B．1C.32D．4(2)已知向量a＝(1，2)，b＝(－2，－4)，|c|＝5，若(c－b)·a＝152，则a与c的夹角为()A．30°B．60°C．120°D．150°解析：(1)由题意得BC→·AB→＝0，即(AC→－AB→)·AB→＝0，由向量的坐标运算得(2，λ＋2)·(1，－2)＝0，即2－2(λ＋2)＝0，解得λ＝－1.(2)由a·b＝－10，得(c－b)·a＝c·a－b·a＝c·a＋10＝152，所以c·a＝－52.设a与c的夹角为θ，则cosθ＝a·c|a||c|＝－525×5＝－12.因为θ∈[0°，180°]，所以θ＝120°.答案：(1)A(2)C1．数量积坐标表示的作用及记忆口诀．(1)作用：数量积实现了向量数量积的运算与两向量坐标运算的转化．(2)记忆口诀：数量积的坐标表示可简记为“对应相乘计算和”．2．向量模坐标运算的实质．向量的模即为向量的长度，其大小应为平面直角坐标系中两点间的距离，则在平面直角坐标系中，即平面直角坐标系中任意两点间的距离公式．由此可知向量模的运算实质即为平面直角坐标系中两点间的距离的运算．3．平面向量夹角的余弦公式．(1)已知两个非零向量的坐标，利用公式求得夹角的余弦值．cosθ＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22.(2)判断向量夹角的范围时直接计算a·b的值．①当a·b0时，两向量的夹角0°≤θ90°.②当a·b＝0时，θ＝90°.③当a·b0时，90°θ≤180°.