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第二章平面向量2．4平面向量的数量积2．4.1平面向量数量积的物理背景及其含义[学习目标]1.通过物理中“功”理解平面向量数量积的含义(重点、难点)．2.体会平面向量的数量积与向量投影的关系，掌握平面向量数量积的运算律(易错点、易混点)．3.会用两个向量的数量积解决向量的垂直问题．4.理解向量的数量积的几何意义(难点)．5.会用向量的数量积解决夹角、模等问题(重点、难点)．[知识提炼·梳理]1．向量数量积的定义条件非零向量a与b，a与b的夹角为θ结论数量|a||b|cosθ叫向量a与b的数量积(或内积)记法向量a与b的数量积记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ规定零向量与任一向量的数量积为0温馨提示向量的数量积是一个数量，可正、可负、可为零．2．向量数量积的几何意义(1)投影的概念：①向量b在a的方向上的投影为|b|cosθ．②向量a在b的方向上的投影为|a|cosθ．(2)数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．3．向量数量积的性质设a与b都是非零向量，θ为a与b的夹角．(1)a⊥b⇔a·b＝0．(2)当a与b同向时，a·b＝|a||b|．当a与b反向时，a·b＝－|a||b|．(3)a·a＝|a|2或|a|＝a·a＝a2.(4)cosθ＝a·b|a||b|.(5)|a·b|≤|a||b|.4．向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a(交换律)．(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·λ(b)(数乘结合律)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．[思考尝试·夯基]1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个向量的数量积仍然是向量．()(2)若a·b＝0，则a＝0或b＝0.()(3)若a，b共线⇔a·b＝|a||b|.()(4)若a·b＝b·c，则一定有a＝c.()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×2．已知a与b是相反向量，且|a|＝2，则a·b＝()A．2B．－2C．4D．－4解析：由已知a＝－b，所以a·b＝a·(－a)＝－a2＝－|a|2＝－4.答案：D3．已知|a|＝3，向量a与b的夹角为π3，则a在b方向上的投影为()A.332B.322C.12D.32解析：向量a在b方向上的投影为|a|cosθ＝3×cosπ3＝32.答案：D4．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角为()A.π6B.π4C.π3D.π2解析：设向量a，b的夹角为θ，由平面向量夹角公式，知cosθ＝a·b|a||b|＝21×4＝12，又因为θ∈[0，π]，所以θ＝π3.答案：C5．设a，b，c是任意的非零向量，且互不共线，给出以下命题：①(a·b)·c－(c·a)·b＝0；②(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直；③(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.其中是正确命题的是________(填序号)．解析：(a·b)·c表示与向量c共线的向量，(c·a)·b表示与向量b共线的向量，而b，c不共线，所以①错误；[(b·c)·a－(c·a)·b]·c＝0，即(b·c)·a－(c·a)·b与c垂直，故②错误；显然③正确．故填③.答案：③类型1向量数量积的运算[典例1](1)已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，则BD→·CD→＝()A．－32a2B．－34a2C.34a2D.32a2(2)已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b.若b·c＝0，则t＝________．解析：(1)在菱形ABCD中，BA→＝CD→，BD→＝BA→＋BC→，所以BD→·CD→＝(BA→＋BC→)·CD→＝BA→·CD→＋BC→·CD→＝a2＋a×a·cos60°＝a2＋12a2＝32a2.(2)法一因为b·c＝0，所以b·[ta＋(1－t)b]＝0，即ta·b＋(1－t)·b2＝0，又因为|a|＝|b|＝1，〈a，b〉＝60°，所以12t＋1－t＝0，所以t＝2.法二由t＋(1－t)＝1知向量a、b、c的终点A、B、C共线，在平面直角坐标系中设a＝(1，0)，b＝12，32，则c＝32，－32.把a、b、c的坐标代入c＝ta＋(1－t)b，得t＝2.答案：(1)D(2)2归纳升华向量数量积的求法1．求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键．2．根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算．[变式训练]已知|a|＝6，|b|＝4，a与b的夹角为60°，则(a＋2b)·(a＋3b)为________．解析：(a＋2b)·(a＋3b)＝a·a＋5a·b＋6b·b＝|a|2＋5a·b＋6|b|2＝|a|2＋5|a||b|cosθ＋6|b|2＝62＋5×6×4×cos60°＋6×42＝192.答案：192类型2与向量模有关的问题[典例2]如图所示，在▱ABCD中，|AB→|＝4，|AD→|＝3，∠DAB＝60°，求：(1)AD→·BC→；(2)AB→·CD→；(3)AB→·DA→；(4)AB→在CB→方向上的投影．解：(1)因为AD→∥BC→，且方向相同，所以AD→与BC→的夹角是0°，所以AD→·BC→＝|AD→||BC→|cos0°＝3×3×1＝9.(2)因为AB→∥CD→，且方向相反，所以AB→与CD→的夹角是180°，所以AB→·CD→＝|AB→||CD→|cos180°＝4×4×(－1)＝－16.(3)因为AB→与AD→的夹角为60°，所以AB→与DA→的夹角为120°，所以AB→·DA→＝|AB→||DA→|cos120°＝4×3×－12＝－6.(4)因为AB→与AD→的夹角为60°，而CB→与AD→方向相反，所以AB→与CB→的夹角为120°，所以AB→在CB→方向上的投影为|AB→|cos120°＝4×－12＝－2.归纳升华1．此类求模问题一般转化为求模平方，与数量积联系．2．利用a·a＝a2＝|a|2或|a|＝a2，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．[变式训练]设向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，(a－b)⊥c，|a|＝1，则|b|＝________．解析：因为a＋b＋c＝0，所以c＝－(a＋b)．因为(a－b)⊥c，所以c·(a－b)＝0，所以－(a＋b)·(a－b)＝0，所以a2－b2＝0，所以|b|＝|a|＝1.答案：1类型3向量的夹角与垂直问题[典例3](1)(2016·山东卷)已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝13，若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为()A．4B．－4C.94D．－94(2)已知|a|＝2|b|＝2，且向量a在向量b方向上的投影为－1.①求a与b的夹角θ；②当λ为何值时，向量λa＋b与向量a－3b互相垂直？(1)解析：因为n⊥(tm＋n)，所以n·(tm＋n)＝0，即tm·n＋|n|2＝0，所以t|m||n|cos〈m，n〉＋|n|2＝0.又4|m|＝3|n|，所以t×34|n|2×13＋|n|2＝0，解得t＝－4.答案：B(2)解：①由题意知|a|＝2，|b|＝1.又a在b方向上的投影为|a|cosθ＝－1，所以cosθ＝－12，所以θ＝2π3.②因为λa＋b与a－3b互相垂直，所以(λa＋b)·(a－3b)＝λa2－3λa·b＋b·a－3b2＝4λ＋3λ－1－3＝7λ－4＝0，所以λ＝47.归纳升华求向量a与b的夹角的方法1．求向量夹角的关键是计算a·b及|a||b|，在此基础上结合数量积的定义或性质计算cosθ＝a·b|a||b|，最后借助θ∈[0，π]，求出θ的值．2．在个别含有|a|，|b|与a·b的等量关系式中，常利用消元思想计算cosθ的值．[类题尝试](1)已知非零向量a，b满足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b)，则a与b的夹角为()A.π3B.π2C.2π3D.5π6(2)已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3且向量3a＋2b与ka－b互相垂直，则k的值为()A．－32B.32C．±32D．1解析：(1)因为a⊥(2a＋b)，所以a·(2a＋b)＝0，所以2|a|2＋a·b＝0，即2|a|2＋|a||b|cos〈a，b〉＝0.因为|b|＝4|a|，所以2|a|2＋4|a|2cos〈a，b〉＝0，所以cos〈a，b〉＝－12，所以〈a，b〉＝23π.(2)因为3a＋2b与ka－b互相垂直，所以(3a＋2b)·(ka－b)＝0，所以3ka2＋(2k－3)a·b－2b2＝0，因为a⊥b，所以a·b＝0，所以12k－18＝0，k＝32.答案：(1)C(2)B1．平面向量数量积的概念及其几何意义．(1)对数量积概念的两点说明．①从定义上看，两向量的数量积是一个数量，而不是向量，其数值可正、可负、可为零．②从运算上看，两向量a，b的数量积称作内积，写成a·b，其中“·”，是一种运算符号，不同于实数的乘法符号，不可省略．(2)对投影的三点理解．①a·b等于|a|与b在a方向上的投影的乘积，也等于|b|与a在b方向上的投影的乘积．其中a在b方向上的投影与b在a方向上的投影是不同的．②b在a方向上的投影为|b|cosθ(θ是a与b的夹角)．③投影是一个数量，不是向量，其值可为正，可为负，也可为零．2．向量数量积的运算应注意的几点．(1)θ的范围为0°≤θ≤180°；(2)对于非零向量a和b，a⊥b⇔a·b＝0；(3)a·b0⇔θ为锐角或零角，a·b0⇔θ为钝角或平角．3．向量的数量积与实数乘积运算的比较．实数a，b，c向量a，b，ca≠0，a·b＝0⇒b＝0a≠0，a·b＝0b＝0a·b＝b·c(b≠0)⇒a＝ca·b＝b·c(b≠0)a＝c|a·b|＝|a|·|b||a·b|≤|a|·|b|满足乘法结合律不满足乘法结合律