第二章平面向量2.2平面向量的线性运算2.2.1向量加法运算及其几何意义2.2.2向量减法运算及其几何意义[学习目标]1.理解向量加法的概念及向量加法的几何意义(重点).2.理解向量的加法交换律和结合律,并能运用它们进行向量计算(重点).3.掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则,会作已知两向量的和向量(重点、难点).4.掌握向量减法的定义,理解相反向量的概念,掌握向量减法的运算,并理解其几何意义(重点、难点).[知识提炼·梳理]1.向量加法的定义及其运算法则(1)向量加法的定义.求两个向量和的运算,叫做向量的加法.(2)向量求和的法则.向量求和的法则三角形法则已知非零向量a,b,在平面上任取一点A,作AB→=a,BC→=b,则向量AC→叫做a与b的和,记作a+b,即a+b=AB→+BC→=AC→.这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则.对于零向量与任一向量a的和有a+0=0+a=a向量求和的法则平行四边形法则以同一点O为起点的两个已知向量a,b为邻边作▱OACB,则以O为起点的对角线OC→就是a与b的和.把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则向量加法的三角形法则和平行四边形法则实际上就是向量加法的几何意义.温馨提示两个向量的和仍是一个向量.2.向量加法的运算律(1)交换律:a+b=b+a.(2)结合律:(a+b)+c=a+(b+c).3.相反向量、向量的减法(1)相反向量:与a长度相等,方向相反的向量叫做a的相反向量,记作-a.(2)向量减法的定义:a-b=a+(-b),即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.(3)向量减法的几何意义:以A为起点,作向量AB→=a,AD→=b,则DB→=a-b,如图所示,即a-b可表示从b的终点指向a的终点的向量.[思考尝试·夯基]1.思考判断(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)两向量相加,就是将它们的模相加.()(2)两向量首尾相连,和向量由第一个向量的始点指向第二个向量的终点.()(3)两个向量的差仍是一个向量.()(4)向量的减法实质上是向量的加法的逆运算.()答案:(1)×(2)√(3)√(4)√2.在△ABC中,必有AB→+CA→+BC→等于()A.0B.0C.任一向量D.与三角形形状有关解析:AB→+CA→+BC→=(AB→+BC→)+CA→=AC→+CA→=0.答案:B3.化简OP→-QP→+PS→+SP→的结果等于()A.OP→B.OQ→C.SP→D.SP→解析:原式=OP→+PQ→+PS→+SP→=OQ→.答案:B4.在△ABC中,AB→=a,BC→=b,CA→=c,则a+b+c=________.解析:由向量加法的三角形法则,得AB→+BC→=AC→,则a+b+c=AB→+BC→+CA→=0.答案:05.在△ABC中,|AB→|=|BC→|=|CA→|=2,则|AB→-AC→|的值为________.解析:AB→-AC→=CB→,则|CB→|=|BC→|=2.答案:2类型1向量的加法及其几何意义[典例1]如下图所示,已知向量a,b,c,求作和向量a+b+c.解:法一可先作a+c,再作(a+c)+b,即为a+b+c.如右图所示,首先在平面内任取一点O,作向量OA→=a,接着作向量AB→=c,则得向量OB→=a+c,然后作向量BC→=b,则向量OC→=a+b+c为所求.法二三个向量不共线,用平行四边形法则来作.如下图所示,(1)在平面内任取一点O,作OA→=a,OB→=b;(2)作平行四边形AOBC,则OC→=a+b;(3)再作向量OD→=c;(4)作▱CODE,则OE→=OC→+c=a+b+c.归纳升华1.向量与向量的和仍为向量,其大小和方向与原来的向量有关.2.当两个向量不共线时,三角形法则和平行四边形法则是一致的;当两个向量共线时,三角形法则适用,而平行四边形法则就不适用了.3.向量加法的三角形法则可以推广到多边形法则,即n个首尾相连的向量的和所对应的向量就是从第一个向量的起点指向第n个向量的终点的向量.4.在△ABC中,AB→+BC→+CA→=0.[变式训练]如图,O为正六边形AB-CDEF的中心,求:(1)OA→+OE→;(2)AO→+AB→;(3)AE→+AB→.解:(1)由图知,四边形OAFE为平行四边形,所以OA→+OE→=OF→.(2)由图知,四边形OABC为平行四边形,所以AO→+AB→=AC→.(3)由图知,四边形AEDB为平行四边形,所以AE→+AB→=AD→.类型2向量的加法运算[典例2]化简:(1)DB→+CD→+BC→;(2)(AB→+MB→)+BO→+OM→.解:(1)DB→+CD→+BC→=BC→+CD→+DB→=BD→+DB→=0.(2)法一(AB→+MB→)+BO→+OM→=(AB→+BO→)+(OM→+MB→)=AO→+OB→=AB→.法二(AB→+MB→)+BO→+OM→=AB→+(MB→+BO→)+OM→=AB→+MO→+OM→=AB→+0=AB→.法三(AB→+MB→)+BO→+OM→=(AB→+BO→+OM→)+MB→=AM→+MB→=AB→.归纳升华向量加法运算中的化简方法1.代数法:借助向量加法的交换律和结合律,将向量转化为“首尾相接”,向量的和即为第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量.2.几何法:通过作图,根据三角形法则或平行四边形法则化简.[变式训练](1)如图①,四边形ABCD是梯形,AD∥BC,O是AC与BD的交点,则OA→+BC→+AB→=()A.CD→B.-CO→C.DA→D.CO→图①图②(2)如图②,已知D,E,F分别是△ABC三边AB,BC,CA的中点,则下列等式不成立的是()A.FD→+DA→=FA→B.FD→+DE→+EF→=0C.DE→+DA→=EC→D.DA→+DE→=DF→解析:(1)OA→+BC→+AB→=OA→+AC→=OC→=-CO→.(2)由加法的三角形法则可得,FD→+DA→=FA→,FD→+DE→+EF→=0,DA→+DE→=DE→+EF→=DF→=EC→.答案:(1)B(2)B类型3向量的减法及其几何意义[典例3]如下图所示,已知向量a,b,c,求作向量a-b-c.解:法一如右图所示,以A为起点分别作向量AB→和AC→,使AB→=a,AC→=b.连接CB,得向量CB→,再以C为起点作向量CD→,使CD→=c.连接DB,得向量DB→.则向量DB→即为所求作的向量a-b-c.法二先作-b,-c,再作a+(-b)+(-c),如下图所示.作OA→=a,AB→=-b,BC→=-c,则OC→=a-b-c.归纳升华1.向量的减法的实质是向量加法的逆运算,两个向量的差仍是向量,利用相反向量可以把减法转化为加法.2.利用向量减法的几何意义可求两向量的差,即利用三角形法则来求.[变式训练]在△ABC中,D是BC的中点,设AB→=c,AC→=b,BD→=a;AD→=d,则d-a=________,d+a=________.解:根据题意画出图形,如下图所示,d-a=AD→-BD→=AD→+DB→=AB→=c;d+a=AD→+BD→=AD→+DC→=AC→=b.答案:cb类型4向量的减法运算[典例4]化简:(1)(BA→-BC→)-(ED→-EC→);(2)(AC→+BO→+OA→)-(DC→-DO→-OB→);(3)(AB→-CD→)-(AC→-BD→).解:(1)(BA→-BC→)-(ED→-EC→)=CA→-CD→=DA→.(2)(AC→+BO→+OA→)-(DC→-DO→-OB→)=AC→+BA→-DC→+(DO→+OB→)=AC→+BA→-DC→+DB→=BC→-DC→+DB→=BC→+(CD→+DB→)=BC→+CB→=0.(3)法一(AB→-CD→)-(AC→-BD→)=AB→-CD→-AC→+BD→=AB→+DC→+CA→+BD→=(AB→+BD→)+(DC→+CA→)=AD→+DA→=0.法二(AB→-CD→)-(AC→-BD→)=AB→-CD→-AC→+BD→=(AB→-AC→)+(DC→-DB→)=CB→+BC→=0.法三设O为平面内任意一点,则有(AB→-CD→)-(AC→-BD→)=AB→-CD→-AC→+BD→=(OB→-OA→)-(OD→-OC→)-(OC→-OA→)+(OD→-OB→)=OB→-OA→-OD→+OC→-OC→+OA→+OD→-OB→=0.归纳升华向量减法运算的常用方法1.可以通过相反向量,把向量减法的运算转化为加法运算.2.运用向量减法的三角形法则,此时要注意两个向量要有共同的起点.3.引入点O,逆用向量减法的三角形法则,将各向量起点统一.[变式训练](1)已知一点O到▱ABCD的3个顶点A,B,C的向量分别是a,b,c,则向量OD→等于()A.a+b+cB.a-b+cC.a+b-cD.a-b-c(2)化简:①MN→-MP→+NQ→-PQ→;②BD→+DC→+AB→-AC→.(1)解析:如图,OD→=OA→+AD→=OA→+BC→=OA→+OC→-OB→=OA→-OB→+OC→=a-b+c.答案:B(2)解:①MN→-MP→+NQ→-PQ→=(MN→+NQ→)-(MP→+PQ→)=MQ→-MQ→=0.②BD→+DC→+AB→-AC→=(BD→+DC→)+(AB→-AC→)=BC→+CB→=0.1.三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法,两个法则是统一的.当两个向量首尾相连时,常选用三角形法则;当两个向量共始点时,常选用平行四边形法则.2.向量的加法满足交换律,因此在进行多个向量的加法运算时,可以按照任意的次序和任意的组合进行.3.向量减法的实质是向量加法的逆运算.利用相反向量的定义,-AB→=BA→,就可以把减法转化为加法,即减去一个向量等于加上这个向量的相反向量,如:a-b=a+(-b).4.在用三角形法则作向量减法时,要注意“差向量连接两向量的终点,箭头指向被减向量”.解题时要结合图形,准确判断,防止混淆.5.以平行四边形ABCD的两邻边AB、AD分别表示向量AB→=a,AD→=b,则两条对角线表示的向量为AC→=a+b,BD→=b-a,DB→=a-b.这一结论在以后应用得非常广泛,应该加强理解并记住.