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第二章平面向量2．1平面向量的实际背景及基本概念[学习目标]1.理解向量的有关概念及向量的几何表示(重点)．2.理解共线向量、相等向量的概念(难点)．3.正确区分向量平行与直线平行(易错点、易混点)．[知识提炼·梳理]1．向量的概念定义：既有大小，又有方向的量叫做向量．2．向量的表示(1)有向线段：带有方向的线段叫做有向线段．它包含三个要素：起点、方向、长度．(2)几何表示：用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量的方向．向量AB→的大小就是向量的长度(或称模)，记作|AB→|．(3)字母表示：通常在印刷时，用黑体小写字母a，b，c，…表示向量，书写时，可写成带箭头的小写字母a→，b→，c→，….温馨提示几何表示为用向量处理几何问题打下了基础，而字母表示则有利于向量运算．3．几种特殊的向量零向量长度等于0的向量，记作0单位向量长度等于1的向量平行向量(共线向量)方向相同或相反的非零向量a，b平行，记作a∥b规定：零向量与任一向量平行相等向量长度相等且方向相同的向量温馨提示共线向量不一定是相等向量，而相等向量一定是共线向量．[思考尝试·夯基]1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若a＝b，b＝c，则a＝c.()(2)若a∥b，则a与b的方向一定相同或相反．()(3)若非零向量AB→∥CD→，那么AB∥CD.()(4)向量的模是一个正实数．()答案：(1)√(2)×(3)×(4)×2．下列说法正确的是()A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小B．方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小C．向量的大小与方向有关D．向量的模可以比较大小解析：向量不能比较大小，向量的模能比较大小，显然D正确．答案：D3．关于零向量，下列说法中错误的是()A．零向量是没有方向的B．零向量的长度为0C．零向量只与零向量相等D．零向量的方向是任意的解析：零向量是指长度为0的向量，也有方向，只不过方向是任意的．答案：A4.下列命题中，正确的序号是________．①温度是向量；②作用力与反作用是一对大小相等、方向相反的向量；③数轴是向量；④若a是单位向量，b也是单位向量，则a与b的方向相同或相反．解析：①错误，温度只有大小而没有方向；②正确；③错误，数轴是一条具有方向的直线，没有大小；④错误，单位向量只要求其长度为1，但方向未确定．故填②.答案：②5．如图，已知B、C是线段AD的两个三等分点，则与AB→相等的向量有________．解析：根据相等向量的定义知，与AB→相等的向量有BC→，CD→.答案：BC→，CD→类型1向量的概念[典例1](1)下列说法正确的是()A．零向量没有大小，没有方向B．零向量是唯一没有方向的向量C．零向量的长度为0D．任意两个单位向量方向相同(2)下列各说法：①向量AB→的长度与向量BA→的长度相等；②有向线段就是向量，向量就是有向线段；③两向量的大小与其方向有关；④向量的模可以比较大小．其中说法正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个(3)给出下列命题：①若AB→＝DC→，则A、B、C、D四点是平行四边形的四个顶点；②在▱ABCD中，一定有AB→＝DC→；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④若a∥b，b∥c，则a∥c.其中所有正确命题的序号为________．解析：(1)零向量的长度为0，方向是任意的，故A，B错误，C正确．任意两个单位向量的长度相等，但方向不一定相同，故D错误．(2)①向量AB→与BA→的长度都等于线段AB的长度，故①正确．②有向线段是向量的几何表示，二者并不相同，故②不正确．③向量不能比较大小，故③不正确．④向量的模即为有向线段的长度，可以比较大小，故④正确．(3)AB→＝DC→，A、B、C、D四点可能在同一条直线上，故①不正确；在▱ABCD中，|AB→|＝|DC→|，AB→与DC→平行且方向相同，故AB→＝DC→，故②正确；a＝b则|a|＝|b|，且a与b方向相同；b＝c，则|b|＝|c|，且b与c方向相同，则a与c长度相等且方向相同，故a＝c，故③正确；对于④，当b＝0时，a与c不一定平行，故④不正确．答案：(1)C(2)B(3)②③归纳升华1．明确向量的长度、方向及零向量、平行向量、相等向量的概念及内涵，是正确判断此题的依据．2．向量的相等具有传递性，但向量的平行不具有传递性，即“若a∥b，b∥c，则a∥c，”是错误的．当b＝0时，a，c可以是任意向量，但若b≠0，则必有a∥b，b∥c⇒a∥c.问题的关键是注意考虑0.[变式训练](1)下列物理量：①质量；②速度；③力；④加速度；⑤路程；⑥面积；⑦功．其中不是向量的有()A．1个B．2个C．3个D．4个(2)如图，在等边△ABC中，若DE∥BC，且DE＝12BC，则图中模相等的向量有________对．解析：(1)因为②③④是既有大小，又有方向的量，所以它们是向量；而①⑤⑥⑦只有大小而没有方向，所以不是向量，故选D.(2)由题意知，|AD→|＝|BD→|＝|ED→|＝|AE→|＝|CE→|，两两成对，共10对．答案：(1)D(2)10类型2向量的表示[典例2]一辆汽车从A点出发向西行驶了100千米到达B点，然后又改变方向向西偏北50°走了200千米到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100千米到达D点．(1)作出向量AB→，BC→，CD→；(2)求|AD→|.解：(1)如图所示．(2)由题意，易知AB→与CD→方向相反，故AB→与CD→共线．又|AB→|＝|CD→|，所以在四边形ABCD中，ABCD.所以四边形ABCD为平行四边形．所以|AD→|＝|BC→|＝200(千米)．归纳升华1．准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点．2．书写有向线段时要注意起点和终点的不同，用字母表示在书写时不要忘了字母上的箭头．[变式训练]中国象棋中规定：马走“日”字，象走“田”字．如图，在中国象棋的半个棋盘(4×8的矩形中每个小方格都是单位正方形)中，若马在A处，可跳到A1处，也可跳到A2处，用向量AA1→，AA2→表示马走了“一步”．通过探究，你能在图中画出马在B，C处走了一步的所有情况吗？解：如图，以B点为起点作向量(共3个)，以C点为起点作向量(共8个)．类型3共线向量与相等向量(互动探究)[典例3](1)下列说法中，正确的序号是________．①若AB→与CD→是共线向量，则A，B，C，D四点必在一条直线上；②零向量都相等；③任一向量与它的平行向量不相等；④若四边形ABCD是平行四边形，则AB→＝DC→；⑤共线的向量，若始点不同，则终点一定不同．(2)如图所示，O是正六边形ABC-DEF的中心，且OA→＝a，OB→＝b.①与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？②与a共线的向量有哪些？(1)解析：因为向量AB→与CD→是共线向量，它们的基线不一定是同一个，所以A，B，C，D也不一定在一条直线上，所以①错误；因为零向量的长度都为零，且其方向任意，所以零向量相等，所以②正确；因为平行向量的方向可以相同且大小也可以相等，所以任一向量与它的平行向量可能相等，即③错误；画出图形，可得AB→＝DC→，所以④正确；由共线向量的定义可知：共线的向量，始点不同，终点可能相同，所以⑤不正确．答案：②④(2)解：①与a的长度相等、方向相反的向量有OD→，BC→，AO→，FE→.②与a共线的向量有EF→，BC→，OD→，FE→，CB→，DO→，AO→，DA→，AD→.[迁移探究1](变换条件)在典例3(2)中，OC→＝c，其他条件不变，试分别写出与a，b，c相等的向量．解：与a相等的向量有EF→，DO→，CB→；与b相等的向量有DC→，EO→，FA→；与c相等的向量有FO→，ED→，AB→.[迁移探究2]典例3(2)条件不变，与AD→共线的向量有哪些？解：与AD→共线的向量有EF→，BC→，OD→，FE→，CB→，DO→，AO→，DA→，OA→.归纳升华1．判断两个向量的关系应从向量的模和向量的方向两个方面进行．2．相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等向量．3．“两个向量平行”与“两条直线平行”是两个不同的概念，两个向量平行包含两个向量有相同基线，但两条直线平行不包含两条直线重合．4．平行(共线)向量无传递性(因为有0)．1．向量是既有大小又有方向的量，解决向量问题时一定要从大小和方向两个方面去考虑．2．共线向量与平行向量是一组等价的概念，平行向量就是共线向量，共线向量就是平行向量．但两个共线向量不一定是在同一条直线上．同一直线上的向量也是平行向量．3．向量与数量的区别在于向量有方向而数量没有方向；向量与向量的模的区别在于向量的模是指向量的长度，是数量，可以比较大小，但向量不能比较大小．4．任何一个非零向量a都有与之对应的单位向量a|a|.