2019秋高中数学 第二章 基本初等函数（Ⅰ）2.3 幂函数课件 新人教A版必修1

第二章基本初等函数（Ⅰ）2．3幂函数[学习目标]1.了解幂函数的定义，能区别幂函数与指数函数(易混点)．2.会画幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝x12的图象，能根据图象描述出它们的性质(重点、难点)．3.能够运用幂函数的简单性质进行实数大小比较(重点).[知识提炼·梳理]1．幂函数的概念一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．温馨提示(1)幂函数解析式的结构特征：幂函数的底数x是自变量，指数α是常数，xα前面的系数为1.(2)注意幂函数y＝xα与指数函数y＝ax(a0且a≠1)的区别．2．五种常见幂函数的图象与性质幂函数y＝xy＝x2y＝x3y＝x12y＝x－1图象定义域RRR[0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y∈R，且y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增[0，＋∞)增(－∞，0]减增增(0，＋∞)减(－∞，0)减定点(1，1)[思考尝试·夯基]1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)幂函数的图象都通过点(0，0)，(1，1)()(2)幂函数的图象可以出现在第四象限．()(3)当幂指数α取1，3，12时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上是增函数．()(4)当幂指数α＝－1时，幂函数y＝xα在定义域上是减函数．()解析：(1)错．当幂指数α＝－1时，幂函数y＝x－1的图象不通过原点．(2)错．因为所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，且y＝xα(α∈R)，y0，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限．(3)对．当幂指数α0时，幂函数在(0，＋∞)上是增函数．(4)错．当α＝－1时，y＝x－1在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数，但在它的定义域上不是减函数．答案：(1)×(2)×(3)√(4)×2．函数y＝x－12的图象大致是()解析：由幂函数的性质知，函数y＝x－12在第一象限为减函数，且它的定义域为{x|x＞0}．答案：D3．下列函数中，定义域为R的函数是()A．y＝x34B．y＝x－13C．y＝x23D．y＝x－3解析：y＝x34＝4x3，定义域为[0，＋∞)；y＝x－13＝13x，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)；y＝x23＝3x2，定义域为R；y＝x－3＝1x3，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．答案：C4．已知函数y＝(a2－3a＋3)xα(α为常数)为幂函数，则a＝________．解析：由幂函数的定义知a2－3a＋3＝1，则a＝1或a＝2.答案：1或25．若(a＋1)13(2a－2)13，则实数a的取值范围是________．解析：因为幂函数y＝x13在R上为增函数，且(a＋1)13(2a－2)13，所以a＋12a－2，得a3.答案：(3，＋∞)类型1幂函数的概念(自主研析)[典例1](1)下列函数：①y＝x3；②y＝12x；③y＝4x2；④y＝x5＋1；⑤y＝(x－1)2；⑥y＝x；⑦y＝ax(a1)．其中幂函数的个数为()A．1B．2C．3D．4(2)若函数y＝(m2＋2m－2)xm为幂函数且在第一象限为增函数，则m的值为()A．1B．－3C．－1D．3(3)已知幂函数f(x)的图象经过点3，19，则f(4)＝________．解析：(1)②⑦为指数函数，③中系数不是1，④中解析式为多项式，⑤中底数不是自变量本身，所以只有①⑥是幂函数．(2)因为函数y＝(m2＋2m－2)xm为幂函数且在第一象限为增函数．所以m2＋2m－2＝1，m0，所以m＝1.(3)设f(x)＝xα，所以19＝3α，α＝－2，所以f(4)＝4－2＝116.答案：(1)B(2)A(3)116归纳升华判断一个函数是幂函数的方法1．看形式：解析式符合y＝xα(α为常数)这一结构形式．2．明特征：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.[变式训练](1)已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点12，22，则k＋a＝()A.12B．1C.32D．2(2)已知f(x)＝ax2a＋1－b＋1是幂函数，则a＋b＝()A．2B．1C.12D．0解析：(1)由幂函数的定义知k＝1.又f12＝22，所以12α＝22，解得α＝12，从而k＋α＝32.(2)因为f(x)＝ax2a＋1－b＋1是幂函数，所以a＝1，－b＋1＝0，即a＝1，b＝1，则a＋b＝2.答案：(1)C(2)A类型2幂函数的图象与性质[典例2]在同一直角坐标系中，函数f(x)＝xa(x≥0)，g(x)＝logax(x0)的图象可能是()解析：A项中y＝xa(x≥0)的图象错误，不符合；B项中y＝xa(x≥0)中a1，y＝logax(x1)中0a1，不符合；C项中y＝xa(x≥0)中0a1，y＝logax(x0)中a1，不符合；D项中y＝xa(x≥0)中0a1，y＝logax(x0)中0a1，符合．答案：D[变式训练]已知幂函数f(x)的图象过点(2，2)，幂函数g(x)的图象过点2，14.(1)求f(x)，g(x)的解析式．(2)当x为何值时：①f(x)g(x)；②f(x)＝g(x)；③f(x)g(x)?解：(1)设f(x)＝xα，因为其图象过点(2，2)，故2＝(2)α，解得α＝2，所以f(x)＝x2.设g(x)＝xβ，所以其图象过点2，14，所以14＝2β，解得β＝－2，所以g(x)＝x－2(x≠0)．(2)在同一平面直线坐标系下作出f(x)＝x2与g(x)＝x－2(x≠0)的图象，如图所示．由图象可知：f(x)，g(x)的图象均过点(－1，1)与(1，1)．所以：①当x1或x－1时，f(x)g(x)；②当x＝1或x＝－1时，f(x)＝g(x)；③当－1x1且x≠0时，f(x)g(x)．归纳升华1．幂函数图象的画法．(1)确定幂函数在第一象限内的图象：根据α的取值，确定幂函数y＝xα在第一象限内的图象．(2)确定幂函数在其他象限内的图象：根据幂函数的定义域及奇偶性确定幂函数f(x)在其他象限内的图象．2．解决与幂函数有关的综合性问题的方法．首先要考虑幂函数的概念，对于幂函数y＝xα(α∈R)，由于α的取值不同，因此相应幂函数的单调性和奇偶性也不同．同时，注意分类讨论思想的应用．类型3幂值的大小比较[典例3]比较下列各组数中两个数的大小．(1)230.5与350.5.(2)－3.143与－π3.(3)1234与3412.解：(1)因为y＝x0.5在[0，＋∞)上是增函数且2335，所以230.5350.5.(2)因为y＝x3是R上的增函数，且3.14π，所以3.143π3，所以－3.143－π3.(3)因为y＝12x是R上的减函数，所以12341212.y＝x12是[0，＋∞)上的增函数，所以34121212.所以34121234.归纳升华比较幂值大小的三种基本方法1．直接法：当幂指数相同时，可直接利用幂函数的单调性来比较．2．转化法：当幂指数不同时，可以先转化为相同幂指数，再运用单调性比较大小．3．中间量法：当底数不同且幂指数也不同，又不能运用单调性比较大小时，可选取适当的中间值与两数分别比较，从而达到比较大小的目的．[变式训练]设y1＝0.413，y2＝0.513，y3＝0.514，则()A．y3y2y1B．y1y2y3C．y2y3y1D．y1y3y2解析：构造函数y＝0.5x和y＝x13，利用两个函数的单调性进行比较．因为y＝0.5x为减函数，而1314，所以y2y3，又因为y＝x13是R上的增函数，且0.40.5，所以y1y2，所以y1y2y3.答案：B类型4忽视幂函数的单调性致误(误区警示)[典例4]已知幂函数y＝xm2－2m－3(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则满足(a＋1)－m3(3－2a)－m3的a的取值范围为________．解析：因为函数在(0，＋∞)上单调递减，所以m2－2m－30，解得－1m3.因为m∈N*，所以m＝1或m＝2.又因为函数图象关于y轴对称，所以m2－2m－3是偶数．又因为22－2×2－3＝－3为奇数，12－2×1－3＝－4为偶数，所以m＝1.又因为y＝x－m3在(－∞，0)，(0，＋∞)上均为减函数，由(a＋1)－m3(3－2a)－m3，得a＋13－2a0或3－2aa＋10或a＋103－2a.解得a－1或23a32.答案：a－1或23a32易错警示：解决本题的关键是根据函数的奇偶性求出m的值后，依据幂函数的性质和图象建立关于a的不等式．在这里极易出现函数在(－∞，0)和(0，＋∞)上为减函数，则函数必在定义域内是减函数的认知误区，从而得出a＋13－2a，即a23的错误结论．防范措施：由f(x1)f(x2)得x1与x2的大小关系时，如果f(x)的单调区间不止一个，那么需要对x1，x2的范围进行讨论．这时可借助函数y＝f(x)的图象，直观地进行分析，得出结果．[变式训练]若(3－2m)12(m＋1)12，则实数m的取值范围为________________．解析：因为y＝x12在定义域[0，＋∞)上是增函数，所以3－2m≥0，m＋1≥0，3－2mm＋1，解得－1≤m23.答案：－1，231．幂函数y＝xα的底数是自变量，指数是常数，而指数函数正好相反，底数是常数，指数是自变量.2．幂函数在第一象限内指数变化规律：在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；在直线x＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小．3．简单幂函数的性质：(1)所有幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且当自变量为1时，函数值为1，即f(1)＝1；(2)如果α0，幂函数在[0，＋∞)上有意义，且是增函数；(3)如果α0，幂函数在x＝0处无意义，在(0，＋∞)上是减函数.