2019秋高中数学 第二章 基本初等函数（Ⅰ）2.2.2 对数函数及其性质 第1课时 对数函数的图象

第二章基本初等函数（Ⅰ）2．2.2对数函数及其性质第1课时对数函数的图象及其性质[学习目标]1.理解对数函数的概念(重点)．2.初步掌握对数函数的图象及性质(重点)．3.会类比指数函数，研究对数函数的性质(重点、难点)．[知识提炼·梳理]1．对数函数的概念函数y＝logax(a0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．2．对数函数的图象及性质a的范围0a1a1图象定义域(0，＋∞)值域R过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0性质单调性在(0，＋∞)上是减函数在(0，＋∞)上是增函数[思考尝试·夯基]1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若对数函数y＝log(a－1)x(x0)是增函数，则实数a的取值范围是a1.()(2)函数y＝log2x2和y＝log2x－3都是对数函数．()(3)对于y＝logax(0a1)，若0x1，则logax0；若x1，则logax0.()解析：(1)错，因为y＝log(a－1)x(x0)是增函数，所以a－11，得a2.(2)错，由对数函数的定义知y＝log2x2和y＝log2x－3都不是对数函数．(3)对，观察图象可知结论正确．答案：(1)×(2)×(3)√2．函数y＝lg（x＋1）x－1的定义域是()A．(－1，＋∞)B．[－1，＋∞)C．(－1，1)∪(1，＋∞)D．[－1，1)∪(1，＋∞)解析：要使函数有意义，则有x－1≠0，x＋1＞0，解得－1＜x＜1或x＞1.答案：C3．函数y＝loga(x＋2)＋1的图象过定点()A．(1，2)B．(2，1)C．(－2，1)D．(－1，1)解析：令x＋2＝1，即x＝－1，得y＝loga1＋1＝1，故函数y＝loga(x＋2)＋1的图象过定点(－1，1)．答案：D4．函数y＝(a2－4a＋4)·logax是对数函数，则a＝________．解析：由题意知a2－4a＋4＝1，a＞0且a≠1，解得a＝3.答案：35．若定义在区间(－1，0)内的函数f(x)＝log2a(x＋1)满足f(x)0，则a的取值范围是________．解析：因为－1x0，所以0x＋11，由对数函数的图象知，当真数大于0小于1时，只有底数也大于0小于1，对数的值才是正数，所以02a1，得0a12，所以a的取值范围是0，12.答案：0，12类型1对数型函数的定义域(自主研析)[典例1]求下列函数的定义域：(1)y＝1log2（x－1）；(2)y＝lg（x－3）；(3)y＝log2(16－4x)；(4)y＝log(x－1)(3－x)．解：(1)要使函数式有意义，需x－10，log2（x－1）≠0，解得x1，且x≠2.故函数y＝1log2（x－1）的定义域是{x|x1，且x≠2}．(2)要使函数式有意义，需x－30，lg（x－3）≥0，即x－30，x－3≥1，解得x≥4.故函数y＝lg（x－3）的定义域是{x|x≥4}．(3)要使函数式有意义，需16－4x0，解得x2.故函数y＝log2(16－4x)的定义域是{x|x2}．(4)要使函数式有意义，需3－x0，x－10，x－1≠1，解得1x3，且x≠2.故函数y＝log(x－1)(3－x)的定义域是{x|1x3，且x≠2}．归纳升华1．求对数型函数的定义域应遵循的原则：(1)分母不能为0.(2)根指数为偶数时，被开方数非负．(3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1.2．求函数定义域的步骤：(1)列出使函数有意义的不等式(组)．(2)化简并解出自变量的取值范围．[变式训练]求下列函数的定义域：(1)f(x)＝11－log4（x－1）；(2)f(x)＝log0.6x－1.解：(1)由x－10，log4（x－1）≠1，得x∈(1，5)∪(5，＋∞)．所以函数f(x)＝11－log4（x－1）的定义域为(1，5)∪(5，＋∞)．(2)由x0，log0.6x－1≥0，得x0，x≤0.6.所以0x≤0.6，所以函数f(x)＝log0.6x－1定义域为(0，0.6]．类型2对数型函数的图象[典例2]函数y＝x＋a与y＝logax的图象只可能是下图中的()(2)已知函数y＝loga(x＋3)－1(a0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A也在函数f(x)＝3x＋b的图象上，则f(log32)＝________．(3)如图所示的曲线是对数函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为____________________．解析：(1)A中，由y＝x＋a的图象知a1，而y＝logax为减函数，A错；B中，0a1，而y＝logax为增函数，B错；C中，0a1，且y＝logax为减函数，所以C对；D中，a0，而y＝logax无意义，也不对．(2)依题意可知定点A(－2，－1)，f(－2)＝3－2＋b＝－1，b＝－109，故f(x)＝3x－109，f(log32)＝3log32－109＝2－109＝89.(3)由题干图可知函数y＝logax，y＝logbx的底数a1，b1，函数y＝logcx，y＝logdx的底数0c1，0d1.过点(0，1)作平行于x轴的直线，则直线与四条曲线交点的横坐标从左向右依次为c，d，a，b，显然ba1dc.答案：(1)C(2)89(3)ba1dc归纳升华1．对数函数图象过定点问题：求函数y＝m＋logaf(x)(a0，且a≠1)的图象过定点时，只需令f(x)＝1求出x，即得定点为(x，m)．2．根据对数函数图象判断底数大小的方法：作直线y＝1与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小．[变式训练](1)函数f(x)＝ax－3＋loga(x－2)＋1(a0，且a≠1)的图象恒过定点A，则定点A的坐标为________．(2)已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝lgx，h(x)＝log3x，直线y＝a(a0)与这三个函数的交点的横坐标分别是x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是()A．x2x3x1B．x1x3x2C．x1x2x3D．x3x2x1解析：(1)当x＝3时，f(3)＝a0＋loga1＋1＝2，所以定点A的坐标为(3，2)．(2)分别作出三个函数的大致图象，如图所示．由图可知，x2x3x1.答案：(1)(3，2)(2)A类型3对数值大小的比较[典例3](1)设a＝log2π，b＝log12π，c＝π－2，则()A．abcB．bacC．acbD．cba(2)比较下列各组数的大小．①log323与log565.②log1.10.7与log1.20.7.(1)解析：a＝log2π1，b＝log12π0，c＝π－2∈(0，1)，所以acb.答案：C(2)解：①因为log323log31＝0，而log565log51＝0，所以log323log565.②因为00.71，1.11.2，所以0log0.71.1log0.71.2，所以1log0.71.11log0.71.2，由换底公式可得log1.10.7log1.20.7.归纳升华1．利用对数函数的单调性比较大小：(1)同底数的两个对数值的大小比较，由对数函数的单调性比较．(2)底数不同且真数也不相同的两个对数值的大小比较，常用引入中间变量法比较，通常取中间量为－1，0，1等．2．底数不同而真数相同的两个对数值的大小比较，常用数形结合思想来解决，也可用换底公式化为同底，再进行比较．[变式训练](1)已知log23blog23alog23c，则()A．2a2b2cB．2b2a2cC．2c2b2aD．2c2a2b(2)设a＝log132，b＝log23，c＝120.3，则a，b，c从小到大的顺序是________________．解析：(1)由于函数y＝log23x为减函数，因此由log23blog23alog23c，可得bac，又由于函数y＝2x为增函数，所以2b2a2c.(2)因为a＝log132log131＝0，b＝log23log22＝1，0c＝120.3120＝1，所以acb.答案：(1)B(2)acb类型4对数型函数的值域(最值)[典例4](1)函数y＝log0.4(－x2＋3x＋4)的值域是()A．(0，2]B．[－2，＋∞)C．(－∞，－2]D．[2，＋∞)(2)求函数y＝log2(x2＋4)的值域．(1)解析：－x2＋3x＋4＝－x－322＋254≤254，又－x2＋3x＋40，则0－x2＋3x＋4≤254，函数y＝log0.4x为(0，＋∞)上的减函数，则y＝log0.4(－x2＋3x＋4)≥log0.4254＝－2，所以函数的值域为[－2，＋∞)．答案：B(2)解：y＝log2(x2＋4)的定义域是R.因为x2＋4≥4，所以log2(x2＋4)≥log24＝2，所以y＝log2(x2＋4)的值域为[2，＋∞)．归纳升华求函数值域或最值的常用方法(1)直接法．根据函数解析式的特点，从函数自变量的变化范围出发，通过对函数定义域、性质的观察，结合解析式，直接得出函数值域或最值．(2)配方法．当所给的函数是二次函数或可化为二次函数形式时(形如y＝a[f(x)]2＋bf(x)＋c)，要求函数值域或最值，可以用配方法．(3)单调性法．根据在定义域(或定义域的某个子集)上的单调性，求出函数的值域或最值．(4)换元法．求形如y＝logaf(x)型函数值域或最值的步骤：①换元，令u＝f(x)，利用函数图象和性质求出u的范围；②利用y＝logau的单调性、图象求出y的取值范围．[变式训练]已知f(x)＝2＋log3x，x∈[1，9]，求函数y＝[f(x)]2＋f(x2)的最大值及此时x的值．解：y＝[f(x)]2＋f(x2)＝(2＋log3x)2＋log3x2＋2＝(log3x)2＋6log3x＋6＝(log3x＋3)2－3.因为f(x)的定义域为[1，9]．所以y＝[f(x)]2＋f(x2)中，x必须满足1≤x≤9，1≤x2≤9，所以1≤x≤3，所以0≤log3x≤1，所以6≤y≤13.所以当x＝3时，y取得最大值，为13.1．快速画出对数函数y＝logax(a0，且a≠1)的草图的方法：根据对数函数的性质可知，对数函数的图象都经过点1a，－1，(1，0)，(a，1)，且图象都在第一、四象限内，据此可以快速地画出对数函数y＝logax的草图．2．注意函数y＝logax(a0，且a≠1)的底数变化对图象位置的影响．变化规律如下：(1)上下比较．在直线x＝1的右侧，a1时，a越大，图象向右越靠近x轴；0a1时，a越小，图象向右越靠近x轴；(2)左右比较．比较图象与y＝1的交点，交点的横坐标越大，对应对数函数的底数越大．