2019秋高中数学 第二章 基本初等函数（Ⅰ）2.2.1 对数与对数运算课件 新人教A版必修1

第二章基本初等函数（Ⅰ）2．2对数函数2．2.1对数与对数运算[学习目标]1.了解对数、常用对数、自然对数的概念(难点)．2.会用对数的定义进行对数式与指数式的互化(重点)．3.理解对数的性质，会求简单的对数值(重点)．[知识提炼·梳理]1．对数(1)指数式与对数式的互化及有关概念．(2)底数a的范围是a0且a≠1．2．常用对数与自然对数3．对数的基本性质(1)负数和零没有对数．(2)loga1＝0(a0，且a≠1)．(3)logaa＝1(a0，且a≠1)．4．对数的运算性质若a0且a≠1，M0，N0，则有：(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN．(2)logaMN＝logaM－logaN．(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．5．对数的换底公式若a0且a≠1；c0且c≠1；b0.则有：logab＝logcblogca．[思考尝试·夯基]1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)因为(－2)2＝4，所以2＝log(－2)4.()(2)若log(x－1)(x－1)＝1，则x的取值范围是(1，＋∞)．()(3)使对数log2(－2a＋1)有意义的a的取值范围是－∞，12.()(4)logaM＋logaN＝loga(M＋N)(a0，且a≠1，M0，N0)．()解析：(1)错，因为－20.(2)错，由x－10，x－1≠1，得x1且x≠2.(3)对，由－2a＋10，得a12.(4)错，logaM＋logaN＝loga(M·N)．答案：(1)×(2)×(3)√(4)×2．若log2(logx9)＝1，则x＝()A．3B．±3C．9D．2解析：因为log2(logx9)＝1，所以logx9＝2，即x2＝9，所以x＝±3.由x0知x＝3.答案：A3．把对数式loga49＝2写成指数式为()A．a49＝2B．2a＝49C．492＝aD．a2＝49解析：根据指数式与对数式的互化可知，把loga49＝2化为指数式为a2＝49.答案：D4．求下列各式的值：(1)log636＝________；(2)lne3＝________；(3)log50.2＝________；(4)lg0.01＝________．解析：(1)log636＝2.(2)lne3＝3.(3)log50.2＝log55－1＝－1.(4)lg0.01＝lg10－2＝－2.答案：(1)2(2)3(3)－1(4)－25．若lgx－lgy＝a，则lgx23－lgy23＝________(用含有a的式子表示)．解析：因为lgx－lgy＝a，所以lgxy＝a，所以lgx23－lgy23＝lgx23y23＝lgxy3＝3lgxy＝3a.答案：3a类型1指数式与对数式的互化(自主研析)[典例1](1)将下列指数式化为对数式：①12x＝5化为________；②(3)x＝6化为________．(2)将下列对数式化为指数式：①log10010＝12化为______；②logx64＝－6化为______．解析：(1)根据指数式与对数式的互化规则，可得：①x＝log125；②x＝log36.(2)根据指数式与对数式的互化规则，可得：①10012＝10；②x－6＝64.答案：(1)①x＝log125②x＝log36(2)①10012＝10②x－6＝64归纳升华指数式与对数式互化的方法1．指数式化为对数式．将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式．2．对数式化为指数式．将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．[变式训练]完成下列指数式与对数式的互化：(1)4－2＝116化为_________；(2)πx＝8化为_________；(3)log3x＝6化为_______；(4)logπ6＝x化为_______．解析：根据指数式与对数式的互化规则，可得：(1)log4116＝－2；(2)x＝logπ8；(3)(3)6＝x；(4)πx＝6.答案：(1)log4116＝－2(2)x＝logπ8(3)(3)6＝x(4)πx＝6类型2对数运算性质的应用[典例2]计算下列各式的值：(1)64－13＋2lg2＋lg25；(2)log2748＋log212－12log242；(3)2lg4＋lg91＋12lg0.36＋13lg8.解：(1)原式＝(43)－13＋lg4＋lg25＝14＋lg100＝14＋2＝94.(2)原式＝12(log27－log248)＋log23＋2log22－12(log22＋log23＋log27)＝12log27－12log23－12log216＋12log23＋2－12log27－12＝－12.(3)原式＝2lg121＋lg0.6＋lg2＝2lg12lg12＝2.归纳升华底数相同的对数式的化简和求值的原则与方法1．基本原则：对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．2．两种常用方法：(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；(2)“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)．[变式训练]计算下列各式的值．(1)(lg5)2＋3lg2＋2lg5＋lg2×lg5；(2)lg8＋lg125－lg2－lg51g10×lg0.1；(3)(log62)2＋(log63)2＋3log62×(log6318－13log62)．解：(1)(lg5)2＋3lg2＋2lg5＋lg2×lg5＝lg5(lg5＋lg2)＋2(lg2＋lg5)＋lg2＝lg5×lg10＋2lg10＋lg2＝2＋(lg5＋lg2)＝3.(2)lg8＋lg125－lg2－lg5lg10×lg0.1＝lg8×1252×5lg1012×lg10－1＝lg10212×（－1）＝－4.(3)(log62)2＋(log63)2＋3log62×log6318－13log62＝(log62)2＋(log63)2＋3log62×log631832＝(log62)2＋(log63)2＋3log62×log639＝(log62)2＋(log63)2＋2log62×log63＝(log62＋log63)2＝1.类型3对数换底公式的应用(互动探究)[典例3]已知3a＝5b＝c，且1a＋1b＝2，求c的值．解：由3a＝5b＝c得，a＝log3c，b＝log5c，所以1a＝logc3，1b＝logc5，又1a＋1b＝2，所以logc3＋logc5＝2，即logc15＝2，所以c＝15.归纳升华应用换底公式应注意的两个方面1．化成同底的对数时，要注意换底公式的正用、逆用以及变形应用．2．题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式．[迁移探究1](变换条件)在典例3中，若将条件改为“1a－1b＝2”，如何求出c的值呢？解：由3a＝5b＝c得，a＝log3c，b＝log5c，所以1a＝logc3，1b＝logc5，又1a－1b＝2，所以logc3－logc5＝2，即logc35＝2，所以c＝155.[迁移探究2](变换条件、改变问法)典例3中，若将“3a＝5b＝c”改为“3a＝5b＝2”，又如何求1a＋1b的值呢？解：由3a＝5b＝2可得a＝log32，b＝log52，根据换底公式可得a＝lg2lg3，b＝lg2lg5，故1a＋1b＝lg3lg2＋lg5lg2＝lg15lg2＝log215.1．对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即ab＝N⇔logaN＝b(a0，且a≠1，N0)，据此可得两个常用恒等式：(1)logaab＝b；(2)alogaN＝N.2．在关系式ax＝N中，已知a和x求N的运算称为求幂运算，而如果已知a和N求x的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算．3．换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，可正用、逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简．4．运用对数的运算性质应注意：(1)在每个对数有意义的前提下才能应用运算性质；(2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用．