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第二章基本初等函数（Ⅰ）2．1.2指数函数及其性质第1课时指数函数的图象及其性质[学习目标]1.理解指数函数的概念与意义，掌握指数函数的定义域、值域的求法(重点)．2.能画出具体指数函数的图象，并能根据指数函数的图象说明指数函数的性质(重点)．[知识提炼·梳理]1．指数函数的定义一般地，函数y＝ax(a0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R．2．指数函数的图象和性质a的取值范围a10a1图象定义域R值域(0，＋∞)过定点过点(0，1)，即x＝0时，y＝1函数值的变化当x0时，y1；当x0时，0y1当x0时，0y1；当x0时，y1性质单调性是R上的增函数是R上的减函数[思考尝试·夯基]1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)指数函数y＝ax中，a可以为负数．()(2)指数函数的图象一定在x轴的上方．()(3)函数y＝2x与y＝12x的图象关于y轴对称．()解析：(1)错，指数函数y＝ax中，a0，且a≠1.(2)对，反映在数上，指数函数的值域为(0，＋∞)，反映在形上，指数函数的图象一定在x轴上方．(3)对，作出这两个函数的图象，可知这两个函数的图象关于y轴对称．答案：(1)×(2)√(3)√2．下列各函数中，是指数函数的是()A．y＝x3B．y＝(－4)xC．y＝5x＋1D．y＝52x解析：A中虽然是一个幂，但自变量出现在底数上，故不是指数函数；B中虽然是一个幂，且自变量出现在指数上，但－4＜0，不满足“大于0且不等于1”这个条件，故不是指数函数；C中虽然不是一个幂，x也出现在指数上，但指数并不是自变量x，故不是指数函数；D中52x＝25x恰好符合指数函数的三个特点，故是指数函数．答案：D3．函数y＝43x的图象可能是()解析：因为431，图象经过点(0，1)，所以y＝43x的图象可能是选项A的图象．答案：A4．若a＞0，且a≠1，则函数y＝ax＋3－4的图象一定过点________．解析：令x＋3＝0，得x＝－3，此时y＝1－4＝－3，即函数y＝ax＋3－4的图象一定过点(－3，－3)．答案：(－3，－3)5．函数y＝4x＋2的值域是________．解析：因为对于任意x∈R，都有4x0，所以4x＋22，即函数y＝4x＋2的值域是(2，＋∞)．答案：(2，＋∞)类型1指数函数的概念(自主研析)[典例1](1)下列函数中是指数函数的是________(填序号)．①y＝4x；②y＝x4；③y＝－4x；④y＝122x；⑤y＝2－x；⑥y＝2x－1.(2)若函数y＝(a2－3a＋3)·ax是指数函数，则实数a＝________．解析：(1)④y＝122x＝14x；⑤y＝2－x＝12x.所以①④⑤都是指数函数．(2)由y＝(a2－3a＋3)·ax是指数函数，可得a2－3a＋3＝1，a0且a≠1，解得a＝2.答案：(1)①④⑤(2)2归纳升华1．指数函数的解析式必须具有三个特征：(1)底数a为大于0且不等于1的常数；(2)指数位置是自变量x；(3)ax的系数是1.2．求指数函数的关键是求底数a，并注意a的限制条件．[变式训练]若函数y＝(a2－5a＋5)ax是指数函数，求a的值．解：由题意可知a2－5a＋5＝1，a＞0，a≠1，即a＝4或a＝1，a＞0，a≠1，所以a＝4.类型2指数函数的图象[典例2](1)函数y＝ax－1a(a0，a≠1)的图象可能是()(2)函数f(x)＝1＋ax－2(a0，且a≠1)恒过定点________．解析：(1)A，B选项中，a1，于是01－1a1，所以图象与y轴的交点的纵坐标应在(0，1)之间，显然A，B的图象均不正确；C，D选项中，0a1，于是1－1a0，所以D项符合．(2)令x－2＝0，得x＝2，此时f(2)＝1＋1＝2，所以函数f(x)的图象恒过定点(2，2)．也可以看作由y＝ax的图象先向上平移1个单位，再向右平移2个单位得到，故定点(0，1)移动至点(2，2)．答案：(1)D(2)(2，2)归纳升华处理函数图象问题的策略(1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0，1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点．(2)巧用图象变换：函数图象的平移变换包括左右平移、上下平移．(3)利用函数的性质：奇偶性与单调性．[变式训练](1)指数函数①f(x)＝mx，②g(x)＝nx满足不等式0mn1，则它们的图象是()(2)已知函数y＝ax－m＋2的图象过定点P(2，3)，则实数m＝________．解析：(1)由0mn1可知①，②应为两条递减的曲线，故只可能是C或D，进而再判断①，②与n和m的对应关系，此时判断的方法很多，不妨选特殊点法，令x＝1，①，②对应的函数值分别为m和n，由mn可知应选C.(2)由2－m＝0，a2－m＋2＝3，得m＝2.答案：(1)C(2)2类型3指数函数的定义域、值域(互动探究)[典例3]求下列函数的定义域和值域：(1)y＝1－3x；(2)y＝23－|x|；(3)y＝4x＋2x＋1＋2.解：(1)要使函数式有意义，则1－3x≥0，即3x≤1＝30，因为函数y＝3x，在R上是增函数，所以x≤0，故函数y＝1－3x的定义域为(－∞，0]．因为x≤0，所以03x≤1，所以0≤1－3x1，所以1－3x∈[0，1)，即函数y＝1－3x的值域为[0，1)．(2)要使函数式有意义，则－|x|≥0，解得x＝0，所以函数y＝23－|x|的定义域为{x|x＝0}．因为x＝0，所以y＝23－|x|＝230＝1，即函数y＝23－|x|的值域为{y|y＝1}．(3)因为对于任意的x∈R，函数y＝4x＋2x＋1＋2都有意义，所以函数y＝4x＋2x＋1＋2的定义域为R.因为2x0，所以4x＋2x＋1＋2＝(2x)2＋2×2x＋2＝(2x＋1)2＋11＋1＝2，即函数y＝4x＋2x＋1＋2的值域为(2，＋∞)．归纳升华1．函数y＝af(x)的定义域与y＝f(x)的定义域相同．2．函数y＝af(x)的值域的求解方法如下：(1)换元，令t＝f(x)；(2)求t＝f(x)的定义域，x∈D；(3)求t＝f(x)的值域，t∈M；(4)利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域．3．求与指数函数有关的函数的值域时，要注意与求其他函数(如一次函数、二次函数)值域的方法相结合，要注意指数函数的值域为(0，＋∞)，切记准确运用指数函数的单调性．[迁移探究1]若典例3(1)的函数换为“y＝13x－1”，求其定义域．解：由13x－1≥0得13x≥130，所以x≤0，即函数的定义域为(－∞，0]．[迁移探究2]若典例3(3)的函数增加条件“0≤x≤2”，再求函数的值域．解：因为0≤x≤2，所以1≤2x≤4，所以y＝4x＋2x＋1＋2＝(2x)2＋2×2x＋2＝(2x＋1)2＋1.令2x＝t，则t∈[1，4]，且f(t)＝(t＋1)2＋1，易知f(t)在[1，4]上单调递增，所以f(1)≤f(t)≤f(4)，即5≤f(t)≤26，即函数y＝4x＋2x＋1＋2的值域为[5，26]．1．透析指数函数的图象与性质(1)当底数a大小不确定时，必须分a1或0a1两种情况讨论函数的图象和性质．(2)当a1时，x的值越小，函数的图象越接近x轴；当0a1时，x的值越大，函数的图象越接近x轴．(3)指数函数的图象都经过点(0，1)，且图象都只经过第一、二象限．2．在指数函数y＝ax中规定a0且a≠1的原因如果a＝0，当x0时，ax恒等于0；当x≤0时，ax无意义．如果a0，如y＝(－4)x，当x取14，12等数时，在实数范围内函数值不存在．如果a＝1，那么对于任何x∈R，y＝1x＝1是一个常数，对它就没有研究的必要．