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数学必修①·人教A版第二章基本初等函数(Ⅰ)2．3幂函数1自主预习学案2互动探究学案3课时作业学案自主预习学案•大约到15世纪，人们才意识到要用一个缩写的方式来表示若干个相同数的乘积．直到17世纪才开始出现在幂的符号中将指数与底数分开来表示的趋势．数学史上很早就借用“幂”字，起先用于表示面积，后来扩充为表示平方或立方.1859年中国清末大数学家李善兰(1811～1882)译成《代微积拾级》一书，创设了不少数学专有名词，如函数、极限、微分、积分等，并把“Power”这个词译为“幂”．这样“幂”就转译为若干个相同数之积．•1636年苏格兰人休姆(Hume)引进了一种较好的记法，他用罗马数字表示指数，写在底数的右上角，如“A4”写作“AⅣ”，这种记法与现在相比较，除了数字采用罗马数字外，其余完全一样．一年以后，法国数学家笛卡儿将其进行了改进，把罗马数字改用阿拉伯数字，成了今天的样子．此后由英国数学家渥里斯(Wallis,1616～1703)、牛顿等人分别引入负指数幂和分数指数幂的概念及符号，从而使幂的概念及符号发展得更完备了．那么，什么是幂？幂与an又有什么关系呢？•(1)一般地形如____________________的函数叫做幂函数．•[知识点拨]幂函数与指数函数的区别与联系y＝xα(α为常数)函数表达式相同点不同点指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)右边都是幂的形式指数是自变量，底数是常数幂函数y＝xα(α∈R)底数是自变量，指数是常数(2)对于幂函数，我们只讨论α＝1,2,3，12，－1时的情形．(3)图象：在同一坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x12，y＝x－1的图象如图．•[知识点拨]幂函数在第一象限内的指数变化规律：在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小，即指数大的在上边．(4)五种常见幂函数的性质，列表如下：定义域值域奇偶性单调性公共点y＝x______R______在R上是__________y＝x2R__________偶在(－∞，0)上是________；在[0，＋∞)上是增函数y＝x3RR______在R上是__________y＝x12[0，＋∞)__________非奇非偶在[0，＋∞)上是_________y＝x－1________________________(－∞，0)∪(0，＋∞)______在(－∞，0)和(0，＋∞)上均是________________________R奇增函数[0，＋∞)减函数奇增函数[0，＋∞)增函数(－∞，0)∪(0，＋∞)奇减函数都过(1,1)点1．下列函数为幂函数的是()A．y＝2x4B．y＝2x3－1C．y＝2xD．y＝x2D[解析]y＝2x4中，x4的系数为2，故A不是幂函数；y＝2x3－1不是xa的形式，故B不是幂函数；y＝2x＝2x－1，x－1的系数为2，故C不是幂函数，故只有D是幂函数．2．(2019·安徽太和中学高一期中测试)已知幂函数f(x)的图象过点(2,22)，则f(4)的值为()A．4B．8C．22D．12B[解析]设f(x)＝xα，∴22＝2α，∴α＝32.∴f(x)＝x32.∴f(4)＝432＝(22)32＝23＝8.•3．若f(x)＝mxα＋(2n－4)是幂函数，则m＋n等于()•A．1B．2•C．3D．4C[解析]由题意，得m＝12n－4＝0，∴m＝1，n＝2.∴m＋n＝3.4．(2018·上海，7)已知α∈{－2，－1，－12，12，1,2,3}，若幂函数f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝_______.－1[解析]∵α∈{－2，－1，－12，12，1,2,3}，且函数f(x)＝xα为奇函数，∴α＝－1,1,3，又∵f(x)＝xα在(0，＋∞)上递减，∴α＝－1.•5．已知函数f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3，m为何值时，f(x)：•(1)是幂函数；•(2)是正比例函数；•(3)是反比例函数；•(4)是二次函数．•[解析](1)∵f(x)是幂函数，•故m2－m－1＝1，即m2－m－2＝0，•解得m＝2或m＝－1.(2)若f(x)是正比例函数，则－5m－3＝1，解得m＝－45.此时m2－m－1≠0，故m＝－45.(3)若f(x)是反比例函数，则－5m－3＝－1，则m＝－25，此时m2－m－1≠0，故m＝－25.(4)若f(x)是二次函数，则－5m－3＝2，即m＝－1，此时m2－m－1≠0，故m＝－1.互动探究学案命题方向1⇨幂函数的概念•已知函数f(x)＝(m2＋2m)xm2＋m－1，m为何值时，f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数．典例1[思路分析]本题将正比例函数、反比例函数、二次函数和幂函数放在一起考查，要注意区别它们之间的不同点，根据各自定义：(1)正比例函数y＝kx(k≠0)；(2)反比例函数y＝kx(k≠0)；(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(4)幂函数y＝xα(α是常数)，转化为系数和指数的取值问题．[解析](1)若f(x)为正比例函数，则m2＋m－1＝1m2＋2m≠0，∴m＝1.(2)若f(x)为反比例函数，则m2＋m－1＝－1m2＋2m≠0，∴m＝－1.(3)若f(x)为二次函数，则m2＋m－1＝2m2＋2m≠0，∴m＝－1±132.(4)若f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1，∴m＝－1±2.•『规律方法』形如y＝xα的函数叫幂函数，这里需有：(1)系数为1，(2)指数为一常数，(3)后面不加任何项．例如y＝3x、y＝xx＋1、y＝x2＋1均不是幂函数，再者注意与指数函数的区别，例如：y＝x2是幂函数，y＝2x是指数函数．〔跟踪练习1〕有下列函数：①y＝3x2；②y＝x2＋1；③y＝－1x；④y＝1x；⑤y＝x23；⑥y＝2x.其中，是幂函数的有________(只填序号)．④⑤[解析]①中，x2的系数为3，故不是幂函数；②中，y＝x2＋1不是xα的形式，故不是幂函数；③中，y＝－1x＝－(x－1)，系数是－1，故不是幂函数；④中，y＝1x＝x－1是幂函数；⑤中，y＝x23是幂函数；⑥中，y＝2x是指数函数．命题方向2⇨幂函数的图象典例2如图所示的曲线是幂函数y＝xα在第一象限的图象，已知α∈{－4，－14，14，4}．相应曲线C1，C2，C3，C4的α值依次是()A．－4，－14，14，4B．4，14，－14，－4C．－14，－4,4，14D．4，14，－4，－14B•[思路分析]利用幂函数在第一象限内的图象特征和性质，结合所给图象分析并判断C1，C2，C3，C4的α值的大小．[解析]由图象知C1、C2为增函数，因此其指数应为正，所以只能是B或D正确，又当x＝116时，(116)－14＝(2－4)－14＝2，(116)－4＝(2－4)－4＝216，显然2162，于是在x＝116处y＝x－4的图象应在y＝x－14的图象的上方，因此由图可知C3应为y＝x－14，C4应为y＝x－4，故选B．•『规律方法』认识幂函数的图象重点在于掌握其特征．对于y＝xα，当α0时，在第一象限内为双曲线的一支；当0α1时，在第一象限内为“抛物线”形，且开口向右；当α1时，在第一象限内为“抛物线”形，且开口向上．〔跟踪练习2〕(1)函数y＝x53的图象大致是()(2)当α∈{－1，12，1,3}时，幂函数y＝xα的图象不可能经过第__________象限．B二、四[解析](1)函数y＝x53＝3x5是定义域为R的奇函数，且此函数在定义域上是增函数，其图象关于原点对称，排除A，C．另外，因为y＝(12)53＝12×(12)23＜12，y＝153＝1，y＝253＝2×223＞2，所以当x∈(0,1)时，函数y＝x53的图象在直线y＝x的下方；当x∈(1，＋∞)时，函数y＝x53的图象在直线y＝x的上方．故选B．(2)幂函数y＝x－1，y＝x，y＝x3的图象分布在第一、三象限，y＝x12的图象分布在第一象限．所以幂函数y＝xα(α＝－1，12，1,3)的图象不可能经过第二、四象限．命题方向3⇨幂函数的简单性质典例3求下列幂函数的定义域，并指出其奇偶性、单调性：(1)y＝x25；(2)y＝x－24；(3)y＝x－2.•[思路分析](1)当函数解析式中含有分数指数时，怎样求对应函数的定义域？•(2)当函数解析式的幂指数为负数时，怎样求对应函数的定义域？[解析](1)函数y＝x25，即y＝5x2，其定义域为R，是偶函数，它在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0]上单调递减．(2)函数y＝x－2434，即y＝14x3，其定义域为(0，＋∞)，它既不是奇函数，也不是偶函数，它在(0，＋∞)上单调递减．(3)函数y＝x－2，即y＝1x2，其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，是偶函数，它在区间(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减．•『规律方法』(1)在判断幂函数的单调性和奇偶性时，可根据相应幂函数的图象进行分析．•(2)幂函数y＝xα在第一象限内图象的画法如下：•①当α＜0时，其图象可类似y＝x－1画出；②当0＜α＜1时，其图象可类似y＝x画出；③当α＞1时，其图象可类似y＝x2画出．〔跟踪练习3〕已知幂函数y＝xm2－2m－3(m∈Z)的图象与x，y轴都无公共点，且关于y轴对称，求m的值，并画出它的图象．•[解析]由已知，得m2－2m－3≤0，所以－1≤m≤3.•又因为m∈Z，所以m＝－1,0,1,2,3.•当m＝0或m＝2时，y＝x－3为奇函数，其图象不关于y轴对称，不合题意；•当m＝－1或m＝3时，y＝x0，符合题意；•当m＝1时，y＝x－4，其图象如图所示，符合题意，即m＝1或－1或3.已知幂函数y＝xm2－2m－3(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足(a＋1)－m3(3－2a)－m3的a的取值范围．用幂函数的单调性解题时忽略了不同单调区间的讨论典例5[错解]∵函数在(0，＋∞)上单调递减，∴m2－2m－30，解得－1m3.∵m∈N*，∴m＝1,2.又∵函数图象关于y轴对称，∴m2－2m－3是偶数．又∵22－2×2－3＝－3为奇数，12－2×1－3＝－4为偶数，∴m＝1.又∵y＝x－13是减函数，由(a＋1)－m3(3－2a)－m3，得a＋13－2a.解得23a.•[错因分析]该解法中将函数值大小转化为自变量大小时忽略了定义域以及单调区间的限制．只有在同一个单调区间内才可以在函数值大小与自变量大小之间实现自由转化．[正解]∵函数在(0，＋∞)上单调递减，∴m2－2m－30，解得－1m3.∵m∈N*，∴m＝1,2.又∵函数图象关于y轴对称，∴m2－2m－3是偶数．又∵22－2×2－3＝－3为奇数，12－2×1－3＝－4为偶数，∴m＝1.又∵y＝x－13在(－∞，0)，(0，＋∞)上均为减函数，由(a＋1)－m3(3－2a)－m3，得a＋13－2a0或3－2aa＋10或a＋103－2a.解得a－1或23a32.•[警示]解决本题的关键是根据函数的奇偶性求出m的值后，依据幂函数的性质和图象建立关于a的不等式．在这里极易出现认为函数在(－∞，0)和(0，＋∞)上为减函数，则函数必在定义域内是减函数的认知误区，从而误用性质产生错误的结果．数学构造方法•在我们解决数学问题的过程中，经常需要依据问题情景构造函数、构造图形等，借助函数的性质，借助图形的直观性等实现对问题的简化、转化，方便求解．比较下列各组数的大小．(1)1.513，1.713，1；(2)(－22)－23，(－107)23，1.1－43；(3)3.8－23，3.925，(－1.8)35；(4)31.4,51.5.典例5•[思路分析](1)当底数相同，指数不同的幂值比较大小时，我们可以将指数视作变量的两个不同值，将底数视作常数，构造指数函数利用指数函数的单调性求解；•(2)当底数不同，指数相同的幂值比较大小时可构造什么函数解决？•