2019秋高中数学 第二章 基本初等函数 2.2.1 对数与对数运算（第2课时）对数的运算性质课件

数学必修①·人教A版第二章基本初等函数(Ⅰ)2.2对数函数2.2.1对数与对数运算第二课时对数的运算性质1自主预习学案2互动探究学案3课时作业学案自主预习学案•已知对数log864，log264，log28，log464，log48.•对数log864的值与对数log264和log28的值有什么关系？•对数log864的值与对数log464和log48的值有什么关系？•由上面的问题你能得出什么结论？1．对数的运算性质条件a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0loga(MN)＝______________________logaMN＝______________________性质logaMn＝______________(n∈R)logaM＋logaNlogaM－logaNnlogaM[知识点拨]一般情况下，当a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0时，loga(MN)≠logaM·logaN，loga(M＋N)≠logaM＋logaN，logaMN≠logaMlogaN.•2．换底公式•logab＝________(a＞0，且a≠1；c＞0，且c≠1；b＞0)．logcblogca[知识点拨](1)可用换底公式证明以下结论：①logab＝1logba；②logab·logbc·logca＝1；③loganbn＝logab；④loganbm＝mnlogab；⑤log1ab＝－logab.(2)对换底公式的理解：换底公式真神奇，换成新底可任意，原底加底变分母，真数加底变分子．1．若a0，a≠1，x0，y0，xy，下列式子中正确的个数是()①logax·logay＝loga(x＋y)；②logax－logay＝loga(x－y)；③logaxy＝logax÷logay；④loga(xy)＝logax·logay.A．0B．1C．2D．3A•[解析]由对数运算法则知，均不正确．故选A．2．(2019·北京丰台区高一期末测试)lg25＋lg4＋(19)－12的值为()A．73B．5C．313D．13B[解析]原式＝lg(25×4)＋(3－2)－12＝lg100＋3＝2＋3＝5.•3．log62＋log63等于()•A．1B．2•C．5D．6•[解析]log62＋log63＝log6(2×3)＝log66＝1.•4．(2019·天津和平区高一期中测试)计算：log25·log32·log59＝_____.A[解析]原式＝lg5lg2·lg2lg3·lg9lg5＝lg5lg2·lg2lg3·2lg3lg5＝2.25．计算下列各式的值：(1)2lg5＋lg4＋eln2＋log222；(2)(log23＋log89)(log34＋log98＋log32)．[解析](1)原式＝2lg5＋2lg2＋2＋3＝2(lg5＋lg2)＋5＝7.(2)原式＝(log23＋log29log28)(log322＋log38log39＋log32)＝(log23＋23log23)(2log32＋32log32＋log32)＝53log23×92log32＝152.互动探究学案用logax，logay，logaz表示：(1)loga(xy2)；(2)loga(xy)；(3)loga3xyz2.命题方向1⇨对数的运算性质典例1[解析](1)loga(xy2)＝logax＋logay2＝logax＋2logay.(2)loga(xy)＝logax＋logay＝logax＋12logay.(3)loga3xyz2＝13logaxyz2＝13[logax－loga(yz2)]＝13(logax－logay－2logaz)．•『规律方法』对对数式进行计算、化简时，一要注意准确应用对数的性质和运算性质．二要注意取值范围对符号的限制．〔跟踪练习1〕用logax、logay、logaz表示下列各式：(1)loga(x3y5)；(2)logaxyz.[解析](1)loga(x3y5)＝logax3＋logay5＝3logax＋5logay.(2)logaxyz＝logax－loga(yz)＝logax12－(logay＋logaz)＝12logax－logay－logaz.计算下列各式的值：(1)(2019·湖南衡阳高一期末测试)log327＋lg25－lg4；(2)(2019·江苏、苏州市高一期中测试)(lg5)2＋lg2×lg50.命题方向2⇨运用对数的运算性质化简求值•[思路分析]利用对数的运算性质进行计算．典例2[解析](1)原式＝log3332＋lg254＝32＋lg110＝32＋lg10－1＝32－1＝12.(2)原式＝(lg5)2＋lg2×lg(5×10)＝(lg5)2＋lg2×(1＋lg5)＝(lg5)2＋lg2＋lg2·lg5＝lg5(lg5＋lg2)＋lg2＝lg5＋lg2＝lg10＝1.•『规律方法』灵活运用对数运算法则进行对数运算，要注意法则的正用和逆用．在化简变形的过程中，要善于观察、比较和分析，从而选择快捷、有效的运算方案进行对数运算．〔跟踪练习2〕求下列各式的值：(1)log318－log36；(2)log1123＋2log1122；(3)log28＋43＋log28－43；(4)lg3＋2lg2－1lg1.2.[解析](1)原式＝log3186＝log33＝1.(2)原式＝log1123＋log1124＝log11212＝－1.(3)原式＝log2[8＋43×8－43]＝log282－432＝log264－48＝log24＝2.(4)原式＝lg3＋lg4－1lg1.2＝lg1.2lg1.2＝1.(1)计算log2125·log318·log519；(2)若log34·log48·log8m＝log42，求m的值．命题方向3⇨换底公式的应用典例3•[思路分析](1)对数的底数不同，如何将其化为同底的对数？•(2)等式左边前一个对数的真数是后面对数的底数，利用换底公式很容易进行约分求解m的值．[解析](1)原式＝lg125lg2·lg18lg3·lg19lg5＝－2lg5·－3lg2·－2lg3lg2·lg3·lg5＝－12.(2)由题意，得lg4lg3·lg8lg4·lgmlg8＝lgmlg3＝12，∴lgm＝12lg3，即lgm＝lg312，∴m＝3.『规律方法』关于换底公式的用途和本质：(1)换底公式的主要用途在于将一般对数式化为常用对数或自然对数，然后查表求值，以此来解决对数求值的问题．(2)换底公式的本质是化异底为同底，这是解决对数问题的基本方法．(3)在运用换底公式时，若能结合底数间的关系恰当选用一些重要的结论，如logab＝1logba；logaan＝n，logambn＝nmlogab；lg2＋lg5＝1等，将会达到事半功倍的效果．〔跟踪练习3〕计算下列各式的值：(1)log89·log2732；(2)log927；(3)log21125·log3132·log513.[解析](1)log89·log2732＝lg9lg8·lg32lg27＝lg32lg23·lg25lg33＝2lg33lg2·5lg23lg3＝109.(2)log927＝log327log39＝log333log332＝3log332log33＝32.(3)log21125·log3132·log513＝log25－3·log32－5·log53－1＝－3log25·(－5log32)·(－log53)＝－15·lg5lg2·lg2lg3·lg3lg5＝－15.因忽视对数的真数大于零而致误•解方程lg(x＋1)＋lgx＝lg6.•[错解]∵lg(x＋1)＋lgx＝lg[x(x＋1)]＝lg(x2＋x)，•∴lg(x2＋x)＝lg6，•∴x2＋x＝6，解得x＝2或x＝－3.典例4[错因分析]错解中，去掉对数符号后方程x2＋x＝6与原方程不等价，产生了增根，其原因是在x2＋x＝6中x∈R，而在原方程中，应有x＋10x0，求解之后再验根即可．•[正解]∵lg(x＋1)＋lgx＝lg[x(x＋1)]＝lg6，•∴x(x＋1)＝6，解得x＝2或x＝－3，经检验x＝－3不符合题意，∴x＝2.(1)设3x＝4y＝36，求2x＋1y的值；(2)已知log23＝a,3b＝7，求log1256.转化与化归思想的应用与综合分析解决问题的能力典例6[思路分析](1)欲求2x＋1y的值，已知3x＝36,4y＝36，由此两式怎样得到x，y，容易想到对数的定义——故可用等式两端取同底的对数(指对互化)来解决；(2)已知条件中有指数式，也有对数式，而待计算式为对数式，因此可将指数式3b＝7化为对数式解决．观察所给数字特征、条件式中为2、3、7，又12＝3×22,56＝7×23，故还可以利用换底公式的推论loganbm＝mnlogab，将条件中的对数式log23＝a化为指数式解答．[解析](1)由已知分别求出x和y，∵3x＝36,4y＝36，∴x＝log336，y＝log436，由换底公式得：x＝log3636log363＝1log363，y＝log3636log364＝1log364，∴1x＝log363，1y＝log364，∴2x＋1y＝2log363＋log364＝log36(32×4)＝log3636＝1.(2)解法一：因为log23＝a，所以2a＝3.又3b＝7，故7＝(2a)b＝2ab，故56＝23＋ab，又12＝3×4＝2a×4＝2a＋2，从而log1256＝log2a＋223＋ab＝3＋aba＋2.解法二：因为log23＝a，所以log32＝1a.又3b＝7，所以log37＝b.从而log1256＝log356log312＝log37＋log38log33＋log34＝log37＋3log321＋2log32＝b＋3·1a1＋2·1a＝ab＋3a＋2.•『规律方法』1.应用换底公式应注意的事项•(1)注意换底公式的正用、逆用以及变形应用．•(2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式，注意转化与化归思想的运用．•2．对数式的条件求值问题要注意观察所给数字特征，分析找到实现转化的共同点进行转化．•3．利用换底公式计算、化简、求值的一般思路：•思路一：用对数的运算法则及性质进行部分运算→换成同一底数．•思路二：一次性统一换为常用对数(或自然对数)→化简、通分、求值．1．lg5＋lg20的值是()A．12B．1C．32D．2B[解析]原式＝lg(5×20)＝lg100＝lg10＝1.•2．2log510＋log50.25的值为()•A．0B．1•C．2D．4•[解析]原式＝log5100＋log50.25•＝log5(100×0.25)＝log525＝log552＝2.C3.12log612－log62＝______.12[解析]原式＝12log612－12log62＝12log6122＝12log66＝12.4．计算下列各式的值：(1)lg27＋lg8－3lg10lg1.2；(2)log535－2log573＋log57－log51.8；(3)2(lg2)2＋lg2·lg5＋lg22－lg2＋1.[解析](1)原式＝lg3312＋lg23－3lg1012lg3×2210＝32lg3＋2lg2－1lg3＋2lg2－1＝32.(2)原式＝log5(5×7)－2(log57－log53)＋log57－log595＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55＝2log55＝2.(3)原式＝lg2(2lg2＋lg5)＋lg2－12＝lg2(lg2＋lg5)＋1－lg2＝lg2＋1－lg2＝1.