2019秋高中数学 第二章 基本初等函数 2.2.1 对数与对数运算（第1课时）对数课件 新人教A版

数学必修①·人教A版第二章基本初等函数(Ⅰ)2.2对数函数2.2.1对数与对数运算第一课时对数1自主预习学案2互动探究学案3课时作业学案自主预习学案•“对数”(logarithm)一词是纳皮尔首先创造的，意思是“比数”．他最早用“人造的数”来表示对数．•俄国著名诗人莱蒙托夫是一位数学爱好者，传说有一次他在解答一道数学题时，冥思苦想没法解决，睡觉时做了一个梦，梦中一位老人提示他解答的方法，醒后他真的把此题解出来了，莱蒙托夫把梦中老人的像画了出来，大家一看竟是数学家纳皮尔，这个传说告诉我们：纳皮尔在人们心目中的地位是多么地高！那么，“对数”到底是什么呢？学完本节内容就明白了！•1．对数的概念•若ax＝N(a＞0，且a≠1)，则数x叫做以a为底N的对数，a叫做对数的________，N叫做________，记作x＝____________.•[知识点拨]对数式logaN可看作一种记号，表示关于x的方程ax＝N(a＞0，且a≠1)的解；也可以看作一种运算，即已知底为a(a＞0，且a≠1)，幂为N，求幂指数的运算，因此，对数式logaN又可看作幂运算的逆运算．底数真数logaN•2．常用对数和自然对数•(1)常用对数：通常我们将以______为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为__________.•(2)自然对数：在科学技术中常使用以无理数e＝2.71828…为底数的对数，以e为底的对数称为自然对数，并把logeN记为__________.•3．对数与指数的关系•当a＞0，且a≠1时，ax＝N⇔x＝____________.10lgNlnNlogaN•4．对数的基本性质•(1)______和________没有对数．•(2)loga1＝_____(a＞0，且a≠1)．•(3)logaa＝_____(a＞0，且a≠1)．•5．对数恒等式•alogaN＝______(a0，且a≠1)．零负数01N•1．将ab＝N化为对数式是()•A．logba＝NB．logaN＝b•C．logNb＝aD．logNa＝b•[解析]根据对数定义知ab＝N⇔b＝logaN，故选B．B2．若log8x＝－23，则x的值为()A．14B．4C．2D．12A[解析]∵log8x＝－23，∴x＝8－23＝2－2＝14，故选A．•3．对数式loga8＝3改写成指数式为()•A．a8＝3B．3a＝8•C．83＝aD．a3＝8•[解析]根据指数式与对数式的互化可知，把loga8＝3化为指数式为a3＝8，故选D．D4．若log2x－12＝1，则x＝_____.5[解析]∵log2x－12＝1，∴x－12＝2，∴x＝5.互动探究学案完成以下指数式、对数式的互化．(1)(23)－2＝94；(2)812＝22；(3)log1416＝－2；(4)lnx＝13.命题方向1⇨指数式与对数式的互化•[思路分析]先判断出是指数式还是对数式，再利用指对数的关系转化求解．典例1[解析](1)∵(23)－2＝94，∴log2394＝－2.(2)∵812＝22，∴log822＝12.(3)∵log1416＝－2，∴(14)－2＝16.(4)∵lnx＝13，∴e13＝x.•『规律方法』对数式logaN＝b是由指数式ab＝N变化得来的，两式底数相同，对数式中的真数N就是指数式中的幂的值，而对数值b是指数式中的幂指数，对数式与指数式的关系如图：•并非所有指数式都可以直接化为对数式．如(－3)2＝9就不能直接写成log(－3)9＝2，只有a＞0且a≠1，N＞0时，才有ax＝N⇔x＝logaN.〔跟踪练习1〕将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：(1)42＝16；(2)102＝100；(3)412＝2；(4)log1232＝－5.[解析](1)log416＝2.(2)lg100＝2.(3)log42＝12.(4)(12)－5＝32.命题方向2⇨对数定义与性质的应用•求下列各式中的x：•(1)log3(log2x)＝0；•(2)log3(log7x)＝1；•(3)lg(lnx)＝1;•(4)lg(lnx)＝0.•[思路分析]利用指数式与对数式的互化进行解答．典例2•[解析](1)由log3(log2x)＝0得log2x＝1，∴x＝2；•(2)log3(log7x)＝1，log7x＝31＝3，•∴x＝73＝343；•(3)lg(lnx)＝1，lnx＝10，•∴x＝e10；•(4)lg(lnx)＝0，lnx＝1，•∴x＝e.•『规律方法』对数性质在计算中的应用•(1)对数运算时的常用性质：logaa＝1，loga1＝0.•(2)使用对数的性质时，有时需要将底数或真数进行变形后才能运用；对于多重对数符号的，可以先把内层视为整体，逐层使用对数的性质．〔跟踪练习2〕求下列各式中x的值：(1)x＝log1216；(2)log8x＝－13；(3)log2(log4x)＝0;(4)log(2－1)13＋22＝x.[解析](1)∵x＝log1216，∴(12)x＝16，即2－x＝24.∴－x＝4，即x＝－4.(2)∵log8x＝－13，∴x＝8－13＝138＝12.(3)∵log2(log4x)＝0，∴log4x＝1，∴x＝4.(4)∵log(2－1)13＋22＝x，∴(2－1)x＝13＋22＝12＋12＝12＋1＝2－1，∴x＝1.计算：(1)71－log75；(2)412(log29－log25)；(3)alogab·logbc(a、b均为不等于1的正数，c＞0)．命题方向3⇨对数恒等式的应用典例3[解析](1)原式＝77log75＝75.(2)原式＝2(log29－log25)＝2log292log25＝95.(3)原式＝(alogab)logbc＝blogbc＝c.•『规律方法』运用对数恒等式时注意事项•(1)对于对数恒等式alogaN＝N要注意格式：•①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为对数的真数．•(2)对于指数中含有对数值的式子进行化简，应充分考虑对数恒等式的应用．〔跟踪练习3〕求31＋log36－24＋log23＋103lg3＋(19)log34的值．[解析]原式＝3·3log36－24·2log23＋(10lg3)3＋(3log34)－2＝3×6－16×3＋33＋4－2＝18－48＋27＋116＝－4716.因忽视对数式的底数的限制条件而致误•已知log(x＋3)(x2＋3x)＝1，求实数x的值．•[错解]由对数的性质，可得x2＋3x＝x＋3，解得x＝1或x＝－3.•[错因分析]错解中忽视了对数的底数和真数必须大于0，且底数不等于1这一隐含条件．典例4[正解]由对数的性质，知x2＋3x＝x＋3x2＋3x0x＋30，且x＋3≠1，解得x＝1，故实数x的值为1.•[警示]由对数的定义可知，对数logaN中a0，且a≠1，N0.因此我们在处理有关含有对数的方程或不等式等相关问题时，一定要充分考虑这些限定条件，否则会出现增解或使原表达式无意义等错误．再谈等价转化•指数式与对数式可以相互转化，利用这种转化关系可以求解指数、对数方程与不等式及指数、对数运算．将等式两端取同底的对数，是指数、对数转化的另一种表现形式．若log12x＝m，log14y＝m＋2，求x2y的值．典例5[思路分析]14＝(12)2，两个对数式可以通过指数对数的互化关系，将它们化为指数式，于是可以运用幂的运算法则求x2y.[解析]∵log12x＝m，∴(12)m＝x，x2＝(12)2m.∵log14y＝m＋2，∴(14)m＋2＝y，y＝(12)2m＋4.∴x2y＝122m122m＋4＝(12)2m－(2m＋4)＝(12)－4＝16.•1．下列说法：•①零和负数没有对数；•②任何一个指数式都可以化成为对数式；•③以10为底的对数叫做常用对数；•④以e为底的对数叫做自然对数．•其中正确命题的个数为()•A．1B．2C．3D．4•[解析]①正确；②当底数小于0的指数式不可以化成对数式；③④正确，故选C．C•2．在b＝log(a－2)(5－a)中，实数a的取值范围是()•A．a5或a2B．2a3或3a5•C．2a5D．3a4B[解析]由题意得a－20a－2≠15－a0，∴2a5且a≠3，故选B．3．将(13)－2＝9写成对数式，正确的是()A．log913＝－2B．log139＝－2C．log13(－2)＝9D．log9(－2)＝13B[解析]将(13)－2＝9写成对数式为log139＝－2，故选B．•4．若log2(log3x)＝0，则x＝_____.•[解析]由题意得log3x＝1，∴x＝3.35．将下列指数式与对数式互化：(1)log216＝4；(2)log1327＝－3；(3)log3x＝6；(4)43＝64；(5)3－2＝19；(6)(14)－2＝16.[解析](1)∵log216＝4，∴24＝16.(2)∵log1327＝－3，∴(13)－3＝27.(3)∵log3x＝6，∴(3)6＝x.(4)∵43＝64，∴log464＝3.(5)∵3－2＝19，∴log319＝－2.(6)∵(14)－2＝16，∴log1416＝－2.