2019秋高中数学 第二章 基本初等函数 2.1.1 指数与指数幂的运算（第2课时）分数指数幂课件

数学必修①·人教A版第二章基本初等函数(Ⅰ)2.1指数函数2.1.1指数与指数幂的运算第二课时分数指数幂1自主预习学案2互动探究学案3课时作业学案自主预习学案牛顿是大家所熟悉的物理学家，你知道他在数学上的贡献吗？他在1676年6月13日写给莱布尼茨的信里面说：“因为数学家将aa，aaa，aaaa等写成a2，a3,a4等，所以可将a，a3，…写成a12，a32，…；将1a，1aa，1aaa，…写成a－1，a－2，a－3，…”正是由于牛顿的这一发现，才使得正整数指数幂推广到了任意实数指数幂．本节我们就一起来探究一下指数幂的扩充过程．1．分数指数幂的意义正分数指数幂规定：amn＝______(a0，m，n∈N*，且n1)负分数指数幂规定：a－mn＝1amn＝______(a0，m，n∈N*，且n1)分数指数幂0的分数指数幂0的正分数指数幂等于_____，0的负分数指数幂__________nam1nam0不存在•2．有理数指数幂的运算性质•(1)aras＝ar＋s(a0，r，s∈Q)．•(2)(ar)s＝______(a0，r，s∈Q)．•(3)(ab)r＝________(a0，b0，r∈Q)．arsarbr[知识点拨](1)分数指数幂的运算的其他性质．①ar÷as＝ar－s(a0，r，s∈Q)；②(ab)r＝arbr(a0，b0，r∈Q)．(2)指数幂的几个常见结论．①当a0时，ab0；②当a≠0时，a0＝1；而当a＝0时，a0无意义；③若ar＝as(a≠0且a≠1)，则r＝s；④乘法公式仍适用于分数指数幂，如：(a12＋b12)(a12－b12)＝(a12)2－(b12)2＝a－b(a0，b0)．1．4－32可化为()A．8B．243C．18D．234C[解析]4－32＝1432＝12232＝123＝18.2．若a0，n，m为实数，则下列各式中正确的是()A．am÷an＝amnB．an·am＝am·nC．(an)m＝am＋nD．1÷an＝a0－nD•[解析]由指数幂的运算法则知1÷an＝a0÷an＝a0－n正确，故选D．3．化简[(－3)2]－12的结果是()A．－33B．3C．33D．－3C[解析][(－3)2]－12＝312＝1312＝13＝33.4．把根式aa化成分数指数幂是()A．(－a)32B．－(－a)32C．－a32D．a32D[解析]aa＝a·a12＝a32，故选D．5．求值：(1)23×31.5×612；(2)2－12＋－402＋12－1－1－50.[解析](1)原式＝2×312×(32)13×(22×3)16＝2×312×313×2－13×213×316＝21－13＋13×312＋13＋16＝21×31＝6.(2)原式＝1212＋12＋2＋12－12＋1－1＝12＋12＋2＋1－1＝22＋22＋2＝22.互动探究学案用分数指数幂表示下列各式：(1)a3·3a2；(2)b3a·a2b6(a0，b0)；(3)a－4b23ab2(a0，b0)．命题方向1⇨根式与分数指数幂的互化典例1•[思路分析](1)关键是理解分数指数幂的意义，先将根式化为分数指数幂的形式．(2)运用分数指数幂的运算性质进行化简．[解析](1)a3·3a2＝a3·a23＝a3＋23＝a113.(2)∵a0，b0，∴b3a·a2b6＝a－1b312·a2b－612＝a－12b32·ab－3＝a12b－32＝(a12b－32)12＝a14b－34.(3)∵a0，b0，∴a－4b23ab2＝a－4b2a13b23＝a－113·b83＝(a－113b83)12＝a－116b43.『规律方法』进行分数指数幂与根式的互化时，主要依据公式amn＝nam(a0，m、n∈N＋)，同时应注意以下几点：(1)在分数指数幂中，若幂指数为负数，可先将其化为正数，再利用公式化为根式；(2)若表达式中根式较多，含有多重根号时，要理清被开方数，由里向外逐次用分数指数幂表示，最后再运用相关的运算性质化简．〔跟踪练习1〕(1)5－211化为根式形式为______；(2)4b－23(b0)化为分数指数幂的形式为________；(3)13x5x22(x≠0)化为分数指数幂的形式为________.11125b－16x－35[解析](1)原式＝15211＝11152＝11125.(2)原式＝(b－23)14＝b－23×14＝b－16.(3)原式＝13x·x252＝13x·x45＝13x95＝1x9513＝1x53＝x－53.(1)计算：(235)0＋2－2·(214)－12－(0.01)0.5＝______；(2)化简：3a72a－3÷3a－83a15÷3a－3a－1.命题方向2⇨利用分数指数幂的运算性质化简求值•[思路分析]将根式化为分数指数幂的形式，利用分数指数幂的运算性质计算．典例21615[解析](1)原式＝1＋14×(49)12－(1100)12＝1＋16－110＝1615.(2)原式＝3a72a－23÷a－83a153÷3a－23a－12＝3a2÷a73÷3a－2＝a23÷(a73)12÷(a－2)13＝a23÷a76÷a－23＝a23－76÷a－23＝a－12＋23＝a16.•『规律方法』1.幂的运算的常规方法•(1)化负指数幂为正指数幂或化分母为负指数；•(2)化根式为分数指数幂；•(3)化小数为分数．•2．分数指数幂及根式化简结果的具体要求•利用分数指数幂进行根式计算时，结果可化为根式形式或保留分数指数幂的形式，不强求统一用什么形式，但结果不能既有根式又有分数指数幂，也不能同时含有分母和负指数．〔跟踪练习2〕化简：a43－8a13b4b23＋23ab＋a23÷(1－23ba)×3a.[解析]原式＝a13a－8b4b23＋2a13b13＋a23÷a13－2·b13a13·a13＝a13a13－2b13a23＋2a13b13＋4b234b23＋2a13b13＋a23·a13a13－2b13·a13＝a13·a13·a13＝a.已知a12＋a－12＝3，求下列各式的值．(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2；(3)a32－a－32a12－a－12.命题方向3⇨指数幂运算中的条件求值•[思路分析]利用完全平方差公式求(1)(2)，利用立方差公式求(3)．典例3[解析](1)将a12＋a－12＝3两边平方，得a＋a－1＋2＝9，即a＋a－1＝7.(2)将a＋a－1＝7两边平方，有a2＋a－2＋2＝49，∴a2＋a－2＝47.(3)由于a32－a－32＝(a12)3－(a－12)3，所以有a32－a－32a12－a－12＝a12－a－12a＋a－1＋a12·a－12a12－a－12＝a＋a－1＋1＝7＋1＝8.『规律方法』(1)条件求值是代数式求值中的常见题型，一般要结合已知条件先化简再求值，另外要特别注意条件的应用，如条件中的隐含条件，整体代入等，可以简化解题过程．本题若通过a12＋a－12＝3解出a的值代入求值，则非常复杂．(2)解决此类问题的一般步骤是〔跟踪练习3〕已知x＋y＝12，xy＝9，且xy，求x12－y12x12＋y12的值．[解析]∵x12－y12x12＋y12＝x12－y122x12＋y12x12－y12＝x＋y－2xy12x－y，①又∵x＋y＝12，xy＝9，②∴(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝122－4×9＝108.∵xy，∴x－y＝－63③，将②③式代入①式得x12－y12x12＋y12＝12－2×912－63＝－33.求值：[(－4)3]13＋[(－3)4]14.因忽视指数幂运算性质成立的条件而致误•[错因分析]本题的错解忽视了运算律(am)n＝amn中a0这一约束条件．典例4[错解]原式＝(－4)3×13＋(－3)4×14＝(－4)＋(－3)＝－7.[正解][(－4)3]13＋[(－3)4]14＝(－43)13＋(34)14＝－(43)13＋(34)14＝－4＋3＝－1.•[警示]1.对于指数幂的运算性质(am)n＝amn，要明确a，m，n的取值范围分别为a0，m∈R，n∈R；•2．遇到此类问题先要弄清a的正负，若a为负，则先将负号提出或去掉再利用运算律处理．数学运算能力•数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程．主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等．•数学运算是数学活动的基本形式，也是演绎推理的一种形式，是得到数学结果的重要手段．数学运算是计算机解决问题的基础．•在数学运算核心素养的形成过程中，学生能够进一步发展数学运算能力；能有效借助运算方法解决实际问题；能够通过运算促进数学思维发展，养成程序化思考问题的习惯；形成一丝不苟、严谨求实的科学精神．•数的计算能力(简便计算方法)、代数式的化简求解能力、方程不等式的求解能力、数学公式、运算法则的应用能力等都是重要的运算能力．函数f(x)＝x13－x－135，g(x)＝x13＋x－135.(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数(已知y＝x13在R上是增函数)；(2)分别计算f(4)－5f(2)g(2)和f(9)－5f(3)g(3)的值，由此概括出涉及函数f(x)和g(x)对所有不等于零的实数x都成立的一个等式，并加以证明．典例5[解析](1)证明：设x1x20，∵y＝x13在R上是增函数，∴x113x213.又∵(x1x2)－130，∴f(x1)－f(x2)＝15(x113－x1－13－x213＋x2－13)＝15(x113－x213)[1＋(x1x2)－13]0.∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．(2)经计算知f(4)－5f(2)g(2)＝0，f(9)－5f(3)·g(3)＝0，由此猜想：f(x2)－5f(x)g(x)＝0.证明如下：f(x2)－5f(x)g(x)＝15(x23－x－23)－15(x13＋x－13)·(x13－x－13)＝15(x23－x－23)－15(x23－x－23)＝0.1．将323化为根式为()A．2B．3C．39D．9C[解析]323＝332＝39.2．(2019·河北沧州市高一期中测试)下列根式、分数指数幂的互化中，正确的是()A．x2＝xB．6y2＝y13C．(xy)－52＝yx5(x、y≠0)D．x－12＝－xC[解析]x2＝|x|，6y2＝|y|13，(xy)－52＝(yx)52＝yx5(x、y≠0)，x－12＝1x12＝1x，故只有C正确．3．计算(2a－3b－23)·(－3a－1b)÷(4a－4b－53)得()A．－32b2B．32b2C．－32b73D．32b73A[解析]原式＝－6a－4b134a－4b－53＝－32b2.4．化简a12a12a的结果等于________.a12[解析]由条件知a≥0，则a12a12a＝a12a12＋12＝a12a＝a12·a12＝a＝a12.5．化简下列各式(式中字母都是正数)(1)23a÷46a·b×3b3；(2)3a72·a－3÷3a－8·3a15.[解析](1)原式＝2a13÷(4a16b16)×(3b32)＝12a13－16b－16·3b32＝32a16b43.(2)原式＝(a72·a－32)13÷(a－83·a5)12＝(a2)13÷(a73)12＝a23÷a76＝a－12.