2019秋高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.2 平面与平面垂直的判定课件 新人

第二章点、直线、平面之间的位置关系2．3.2平面与平面垂直的判定[学习目标]1.理解二面角及其平面角的概念，能确认图形中的已知角是否为二面角的平面角(易错点)．2.掌握二面角的平面角的一般作法，会求简单的二面角的平面角(重点、难点)．3.掌握两个平面互相垂直的概念，能用定义和定理判定面面垂直(重点、难点)．[知识提炼·梳理]1．二面角从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角，这条直线叫作二面角的棱，这两个半平面叫作二面角的面．2．二面角的平面角(1)在二面角的棱上任取一点O，以点O为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则两条射线构成的角叫作二面角的平面角．(2)二面角的范围是[0°，180°]．(3)规定：二面角的大小可以用它的平面角来度量，平面角是直角的二面角叫作直二面角．3．平面与平面垂直(1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直，平面α与β垂直，记作α⊥β．(2)判定定理．文字图形符号一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直l⊥βl⊂α⇒α⊥β[思考尝试·夯基]1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个相交平面组成的图形叫作二面角．()(2)异面直线a，b分别和一个二面角的两个半平面垂直，则a，b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补．()(3)若l⊥α，则过l有无数个平面与α垂直．()(4)两互相垂直的平面的二面角的平面角大小为90°.()解析：由二面角定义知(1)不正确．利用二面角，异面直线所成的角，等角定理知(2)正确，显然(3)(4)均正确．答案：(1)×(2)√(3)√(4)√2．直线l⊥平面α，l⊂平面β，则α与β的位置关系是()A．平行B．可能重合C．相交且垂直D．相交不垂直解析：由面面垂直的判定定理，得α与β垂直．答案：C3．在二面角a­l­β的棱l上任选一点O，若∠AOB是二面角a­l­β的平面角，则必须具有的条件是()A．AO⊥BO，AO⊂α，BO⊂βB．AO⊥l，BO⊥lC．AB⊥l，AO⊂α，BO⊂βD．AO⊥l，BO⊥l，且AO⊂α，BO⊂β解析：根据二面角平面角的意义，D项满足条件．答案：D4．如图所示，四棱锥P­ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上，则平面AEC与平面PDB的位置关系是________．解析：因为四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD.因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥AC.又BD∩PD＝D，所以AC⊥平面PDB.又AC⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面PDB.答案：垂直5．过正方形ABCD的顶点A作线段AP⊥平面ABCD，且AP＝AB，则平面ABP与平面CDP所成的二面角的度数是________．解析：将正方形ABCD和点P放在正方体中，易知∠APD就是平面ABP与平面CDP所成的二面角，∠APD＝45°.答案：45°类型1二面角的大小与计算(自主研析)[典例1]如图所示，在正方体ABCD­A′B′C′D′中，求：（1）二面角D′­AB­D的大小；（2）二面角A′­AB­D的大小.解：（1）在正方体ABCD­A′B′C′D′中，AB⊥平面ADD′A′，所以AB⊥AD′，又AB⊥AD，因此∠D′AD为二面角D′­AB­D的平面角．在Rt△D′DA中，∠D′AD＝45°，所以二面角D′­AB­D的大小为45°.(2)因为AB⊥平面ADD′A，所以AB⊥AA′，又AB⊥AD，所以∠A′AD为二面角A′­AB­D的平面角，∠A′AD＝90°，所以二面角A′­AB­D的大小为90°.归纳升华1．求二面角大小的步骤．(1)找出二面角的平面角．(2)证明这个角是二面角的平面角．(3)作出这个角所在的三角形，解这个三角形，求出角的大小．2．确定二面角的平面角的方法．(1)定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线．(2)垂直法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．[变式训练]如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上的一点，且PA＝AC，求二面角PBCA的大小．解：由已知PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC.因为AB是⊙O的直径，且点C在圆周上，所以AC⊥BC.又因为PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，所以BC⊥平面PAC.又PC⊂平面PAC，所以PC⊥BC.又因为BC是二面角PBCA的棱，所以∠PCA是二面角PBCA的平面角．由PA＝AC知△PAC是等腰直角三角形，所以∠PCA＝45°，即二面角PBCA的大小是45°.类型2平面与平面垂直的判定[典例2]如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD＝a，PA＝PC＝2a，求证：(1)PD⊥平面ABCD；(2)平面PAC⊥平面PBD.证明：(1)因为PD＝a，DC＝a，PC＝2a，所以PC2＝PD2＋DC2，所以PD⊥DC.同理可证PD⊥AD.因为AD∩DC＝D，所以PD⊥平面ABCD.(2)由(1)知，PD⊥平面ABCD，因为AC⊂平面ABCD，所以PD⊥AC.因为四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD.又因为BD∩PD＝D，所以AC⊥平面PBD.由于AC⊂平面PAC，故平面PAC⊥平面PBD.归纳升华1．利用面面垂直的判定定理证明面面垂直时的一般方法是：先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的垂线存在，则可通过线面垂直来证明面面垂直；若这样的垂线不存在，则可通过辅助线来解决，而作辅助线时应有理论根据并有利于证明，不能随意添加．2．在证明垂直过程中，充分利用给出的线段长度判断是否构成勾股定理的逆定理．[变式训练]如图所示，在△ABC中，AB＝BC，P为△ABC所在平面外一点，PA＝PC，取AC的中点O，连接OP，OB.求证：平面POB⊥平面ABC.证明：因为PA＝PC，所以OP⊥AC.因为AB＝BC，所以OB⊥AC.又OB⊂平面POB，OP⊂平面POB，OB∩OP＝O，所以AC⊥平面POB.又AC⊂平面ABC，所以平面POB⊥平面ABC.类型3面面垂直的综合应用(规范解答)[典例3](本小题满分12分)如图所示，已知三棱锥P­ABC，∠ACB＝90°，CB＝4，AB＝20，D为AB的中点，且△PDB是正三角形，PA⊥PC.(1)求证：平面PAC⊥平面ABC；(2)求二面角D­AP­C的正弦值；(3)若M为PB的中点，求三棱锥M­BCD的体积．审题指导：对于(1)，由△ABC是直角三角形以及△PDB是正三角形，寻找线线垂直．对于(2)，先找出二面角的平面角，再求值．对于(3)，关键是由垂直找到三棱锥的高．[规范解答](1)证明：因为D是AB的中点，△PDB是正三角形，AB＝20，所以PD＝12AB＝10，所以AP⊥PB.又AP⊥PC，PB∩PC＝P，所以AP⊥平面PBC.(2分)又BC⊂平面PBC，所以AP⊥BC.又AC⊥BC，AP∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC.失分警示：若漏掉AP⊥平面PBC，BC⊥平面PAC，而直接得出线线垂直或面面垂直，依据就不够充分．应扣去2分．又BC⊂平面ABC，所以平面PAC⊥平面ABC.(4分)(2)解：因为PA⊥PC，且PA⊥PB，所以∠BPC是二面角D­AP­C的平面角．(6分)失分警示：若没有说明∠BPC是二面角的平面角，解析不完整，应扣去2分．由(1)知BC⊥平面PAC，则BC⊥PC，所以sin∠BPC＝BCPB＝25.(8分)(3)解：因为D为AB的中点，M为PB的中点，所以DM12PA，且DM＝53，由(1)知PA⊥平面PBC，所以DM⊥平面PBC.失分警示：若漏掉DM⊥平面PBC，即没有明确三棱锥的高，则不严谨，应扣1分．因为S△BCM＝12S△PBC＝221，(10分)所以VM­BCD＝VD­BCM＝13×53×221＝107.(12分)归纳升华凡涉及线面垂直、面面垂直、二面角的求法等诸多知识点的综合题，解决问题的关键是转化：线线垂直⇒线面垂直⇒面面垂直．[类题尝试](2018·江苏卷)在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝AB，AB1⊥B1C1.求证：(1)AB∥平面A1B1C；(2)平面ABB1A1⊥平面A1BC.证明：(1)在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AB∥A1B1.因为AB⊄平面A1B1C，A1B1⊂平面A1B1C，所以AB∥平面A1B1C.(2)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形．又因为AA1＝AB，所以四边形ABB1A1为菱形，因此AB1⊥A1B.又因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，所以AB1⊥BC.又因为A1B∩BC＝B，A1B⊂平面A1BC，BC⊂平面A1BC，所以AB1⊥平面A1BC.因为AB1⊂平面ABB1A1，所以平面ABB1A1⊥平面A1BC.1．证明两个平面垂直的主要途径：(1)利用面面垂直的定义；(2)利用面面垂直的判定定理，即如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．2．证明两个平面垂直，通常是通过证明“线线垂直→线面垂直→面面垂直”来实现的，因此，在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．每一垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的．3．二面角的平面角的确定方法．(1)定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内过该点分别作垂直于棱的射线．如图①.(2)垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面均有交线，这两条射线所成的角，即为二面角的平面角．如图②.(3)垂线法：过二面角的一个半平面内一点作另一个半平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角．此种方法通用于求二面角的题目，具体步骤为：一找、二证、三求．如图③.图①图②图③