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第二章点、直线、平面之间的位置关系2．2.4平面与平面平行的性质[学习目标]1.掌握平面与平面平行的性质定理，并会应用性质定理解决问题(重点)．2.掌握直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的平行关系的相互转化(重点、难点)．3.结合具体问题体会化归与转化的数学思想．[知识提炼·梳理]平面与平面平行的性质定理文字语言如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行符号语言α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b图形语言温馨提示定理可简记为“面面平行，则线线平行”．若有面面平行，就有线线平行，它提供了证明线线平行的一种方法．[思考尝试·夯基]1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)如果直线l∥平面α，那么过平面α内一点和直线l平行的直线在α内．()(2)若两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行．()(3)平面α∥平面β，则α内的任意一条直线都平行于平面β内的所有直线．()解析：直线l与平面α内一点确定一个平面，该平面与平面α交于一条直线，此直线与直线l平行，故(1)正确；(2)因为两个平面平行，所以这两个平面没有公共点，所以其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面也没有公共点，所以该直线与这个平面平行，故(2)正确；由面面平行的定义，知平面α与β没有公共点，则两个平面内的直线可能平行，也可能异面，故(3)不正确．答案：(1)√(2)√(3)×2．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若经过D1B的平面分别交AA1和CC1于点E，F，则四边形D1EBF的形状是()A．矩形B．菱形C．平行四边形D．正方形解析：因为平面和左右两个平行侧面分别交于ED1，BF，所以ED1∥BF，同理D1F∥EB，所以四边形D1EBF是平行四边形．答案：C3．平面α与圆台的上、下底面分别相交于直线m，n，则m，n的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．平行或异面解析：因为圆台的上、下底面互相平行，所以由平面与平面平行的性质定理可知m∥n.答案：A4．过正方体ABCDA1B1C1D1的三顶点A1，C1，B的平面与底面ABCD所在平面的交线为l，则l与A1C1的位置关系是________．解析：因平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面ABCD∩平面A1C1B＝l，平面A1B1C1D1∩平面A1C1B＝A1C1，所以l∥A1C1(面面平行的性质定理)．答案：平行5．已知直线a∥平面α，平面α∥平面β，则a与β的位置关系为________________．解析：若a⊂β，则显然满足题目条件．若a⊄β，过直线a作平面γ，γ∩α＝b，γ∩β＝c，于是由直线a∥平面α得a∥b，由α∥β得b∥c，所以a∥c，又a⊄β，c⊂β，所以a∥β.答案：a⊂β或a∥β类型1面面平行性质定理的应用[典例1]已知AB，CD是夹在两个平行平面α，β之间的线段，M，N分别为AB，CD的中点，如图所示，求证：MN∥平面α.证明：①若AB，CD在同一平面内，则平面ABDC与α，β的交线为BD，AC.因为α∥β，所以AC∥BD，又M，N分别为AB，CD的中点，所以MN∥BD.又BD⊂平面α，所以MN∥平面α.②若AB，CD异面，如图，过点A作AE∥CD交α于点E，取AE的中点P，连接MP，PN，BE，ED.因为AE∥CD，所以AE，CD确定平面AEDC.则平面AEDC与α，β的交线为ED，AC，因为α∥β，所以AC∥ED.又P，N分别为AE，CD的中点，所以PN∥ED，所以PN∥平面α.同理可证MP∥BE.所以MP∥平面α.又MP∩PN＝P，所以平面MPN∥平面α.又MN⊂平面MPN，所以MN∥平面α.归纳升华1．利用面面平行的性质定理判定两直线平行的步骤：(1)找两个平面，使这两个平面分别经过这两条直线中的一条．(2)判定这两个平面平行．(3)找一个平面，使这两条直线都在这个平面上．(4)由性质定理得出线线平行．2．应用面面平行的性质定理，往往需要“作”或“找”辅助平面，但辅助平面不可乱作，要想办法与其他已知量联系起来．[变式训练]如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是面对角线AB1，BC1上的两点，且B1MMA＝C1NNB，求证：MN∥平面A1B1C1D1.证明：在平面A1B内，作MK∥A1B1，交BB1于点K，连接KN，如图所示．因为A1B1∥AB，所以MK∥AB.所以B1MMA＝B1KKB，而B1MMA＝C1NNB，所以B1KKB＝C1NNB，所以KN∥B1C1.因为A1B1∩B1C1＝B1，MK∩KN＝K，所以平面MKN∥平面A1B1C1D1.而MN⊂平面MKN，所以MN∥平面A1B1C1D1.类型2面面平行性质定理的综合应用[典例2]如图所示，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝2CD，E，E1分别是棱AD，AA1上的点，F是棱AB的中点，证明：直线EE1∥平面FCC1.证明：因为F为AB的中点，所以AB＝2AF.又因为AB＝2CD，所以CD＝AF，因为AB∥CD，所以CD∥AF，所以四边形AFCD为平行四边形，所以FC∥AD，又FC⊄平面ADD1A1，AD⊂平面ADD1A1，所以FC∥平面ADD1A1.因为CC1∥DD1，CC1⊄平面ADD1A1，DD1⊂平面ADD1A1，所以CC1∥平面ADD1A1，又FC∩CC1＝C，所以平面ADD1A1∥平面FCC1.又EE1⊂平面ADD1A1，所以EE1∥平面FCC1.归纳升华1．在遇到线面平行时，常需作出过已知直线与已知平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质．2．要灵活应用线线平行、线面平行和面面平行的相互联系、相互转化．在解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化．转化思想是解决这类问题的最有效的方法．[变式训练]如图所示，在底面是平行四边形的四棱锥P-ABCD中，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？并证明你的结论．解：当F是棱PC的中点时，BF∥平面AEC，证明如下：取PE的中点M，连接FM，BM，则FM∥CE，①由EM＝12PE＝ED，知E是MD的中点，设BD∩AC＝O，则O为BD的中点，连接OE，则BM∥OE，②由①②可知，平面BFM∥平面AEC，又BF⊂平面BFM，所以BF∥平面AEC.1．常用的面面平行的其他几个性质．(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．(2)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等．(3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．(5)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行．2．空间中各种平行关系相互转化关系的示意图．