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第二章点、直线、平面之间的位置关系2．2.3直线与平面平行的性质[学习目标]1.掌握直线与平面平行的性质定理，并会运用它解决相关问题(重点、难点)．2.结合具体问题比较判定定理与性质定理的区别与联系，体会线线平行、线面平行之间的相互转化关系(难点)．[知识提炼·梳理]直线与平面平行的性质定理文字语言一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行符号语言a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b图形语言温馨提示该定理中有三个条件：a∥α，a⊂β，α∩β＝b，这三个条件缺一不可．[思考尝试·夯基]1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)如果直线a平行于平面α，则：(1)平面α内有且只有一条直线与a平行．()(2)平面α内有无数条直线与a平行．()(3)平面α内不存在与a垂直的直线．()(4)平面α内有且只有一条与a垂直的直线．()解析：过直线a可作无数个平面与α相交，这些交线都与a平行，所以在平面α内与直线a平行的直线有无数条，故(1)不正确，(2)正确．平面内存在与a异面垂直的直线，且有无数条，故(3)(4)不正确．答案：(1)×(2)√(3)×(4)×2．已知直线l∥平面α，l⊂平面β，α∩β＝m，则直线l，m的位置关系是()A．相交B．平行C．异面D．相交或异面解析：由直线与平面平行的性质定理知l∥m.答案：B3.如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，EH∥FG，则EH与BD的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．不确定解析：因为EH∥FG，FG⊂平面BCD，EH⊄平面BCD，所以EH∥平面BCD.因为EH⊂平面ABD，平面ABD∩平面BCD＝BD，所以EH∥BD.答案：A4．已知直线a∥平面α，直线b∥平面α，则直线a，b的位置关系是：①平行；②垂直不相交；③垂直相交；④不垂直不相交．其中可能成立的有________．解析：如图①所示直线a，b平行，①可能成立；如图②所示直线a，b垂直不相交，②可能成立；如图③所示直线a，b垂直相交，③可能成立；如图④所示直线a，b不垂直不相交，④可能成立．图①图②图③图④答案：①②③④5.如图所示，直线a∥平面α，A∉α，并且a和A位于平面α两侧，点B，C∈a，AB，AC分别交平面α于点E，F，若BC＝4，CF＝5，AF＝3，则EF＝________．解析：由于点A不在直线a上，则直线a和点A确定一个平面β，所以α∩β＝EF.因为a∥平面α，a⊂平面β，所以EF∥a.所以EFBC＝AFAC.所以EF＝AF·BCAC＝3×45＋3＝32.答案：32类型1线面平行性质定理的应用(自主研析)[典例1]如图，用平行于四面体ABCD的一组对棱AB，CD的平面截此四面体，求证：截面MNPQ是平行四边形．证明：因为AB∥平面MNPQ，平面ABC∩平面MNPQ＝MN，且AB⊂平面ABC，所以由线面平行的性质定理，知AB∥MN.同理AB∥PQ，所以MN∥PQ.同理可得MQ∥NP.所以截面MNPQ是平行四边形．归纳升华利用线面平行的性质定理解题的步骤1．确定(或寻找)一条直线平行于一个平面．2．确定(或寻找)过这条直线且与这个平面相交的平面．3．确定交线．4．由定理得出结论．[变式训练]如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：GH∥PA.证明：如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO.因为四边形ABCD是平行四边形，所以O是AC的中点．又M是PC的中点，所以PA∥MO.而PA⊄平面BDM，OM⊂平面BDM，所以PA∥平面BDM.又因为PA⊂平面PAHG，平面PAHG∩平面BDM＝GH，所以GH∥PA.类型2平行性质定理在探索性问题中的应用[典例2]已知正三棱柱ABCA′B′C′中，D是AA′上的点，E是B′C′的中点，且A′E∥平面DBC′.试判断D点在AA′上的位置，并给出证明．解：D点为AA′的中点．证明如下：如图，取BC的中点F，连接AF，EF，设EF与BC′交于点O，连接OD，易证A′E∥AF，A′E＝AF.易知A′，E，F，A共面于平面A′EFA，因为A′E∥平面DBC′，A′E⊂平面A′EFA，且平面DBC′∩平面A′EFA＝DO，所以A′E∥DO.在平行四边形A′EFA中，因为O是EF的中点(因为EC′∥BF，且EC′＝BF)，所以D点为AA′的中点．归纳升华解答与平行有关的探索性题目的方法与步骤1．有中点这一条件时，一般试探性地以中点为基础作辅助线或面，然后再证明是否满足条件．2．关于平行的性质定理是证明和计算的理论依据.3．一般步骤：取点、连线、成形→探索论证→计算(作答)．[变式训练]如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，P为平面ABC外一点，E，F分别是PA，PC的中点．记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明．解：直线l∥平面PAC，证明如下：因为E，F分别是PA，PC的中点，所以EF∥AC.又EF⊄平面ABC，且AC⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.而EF⊂平面BEF，且平面BEF∩平面ABC＝l，所以EF∥l.因为l⊄平面PAC，EF⊂平面PAC，所以l∥平面PAC.[典例3]如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，且PA＝3，点F在棱PA上，且AF＝1，点E在棱PD上，若CE∥平面BDF，求PE∶ED的值．解：过点E作EG∥FD交AP于点G，连接CG，连接AC交BD于点O，连接FO.因为EG∥FD，EG⊄平面BDF，FD⊂平面BDF，所以EG∥平面BDF.又EG∩CE＝E，CE∥平面BDF，EG⊂平面CGE，CE⊂平面CGE，所以平面CGE∥平面BDF.又CG⊂平面CGE，所以CG∥平面BDF.又平面BDF∩平面PAC＝FO，CG⊂平面PAC，所以FO∥CG，又O为AC的中点，所以F为AG的中点，所以FG＝GP＝1，所以E为PD的中点，PE∶ED＝1∶1.归纳升华利用线面平行的性质定理计算有关问题的三个关键点．1．根据已知线面平行关系推出线线平行关系．2．在三角形内利用三角形中位线性质、平行线分线段成比例定理推出有关线段的关系．3．利用所得关系计算求值．[变式训练]如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，求线段EF的长度．解：因为EF∥平面AB1C，又平面ADC∩平面AB1C＝AC，EF⊂平面ADC，所以EF∥AC.因为E是AD的中点，所以EF＝12AC＝12×22＝2.1．线面平行性质定理主要是用来证明线线平行，应用时，需要经过直线找平面或作平面，即以平面为媒介证明两线平行，具体做法是经过已知直线找一个或作一个平面和已知平面相交，则交线和已知直线平行．2．证明线线、线面平行的一般思路是“见了已知想性质，见了求证想判定”，也就是说，“发现已知，转化结论，沟通已知与未知的关系”．这是分析问题和解决问题的一般思维方法，而作辅助线和辅助面往往是沟通已知和未知的有效手段.