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第二章点、直线、平面之间的位置关系2．2直线、平面平行的判定及其性质2．2.1直线与平面平行的判定2．2.2平面与平面平行的判定[学习目标]1.掌握直线与平面平行的判定定理(重点)．2.会用直线与平面平行的判定定理证明直线与平面平行(重点、难点)．3.理解并掌握平面与平面平行的判定定理(重点)．4.会用平面与平面平行的判定定理证明两个平面平行(重点、难点)．[知识提炼·梳理]1．直线与平面平行的判定定理文字语言平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行符号语言a⊄α，b⊂α且a∥b⇒a∥α图形语言2.平面与平面平行的判定定理文字语言一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行符号语言a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒β∥α图形语言温馨提示判定两个平面平行与判定线面平行一样，应遵循“先找后作”的原则，即先在一个平面内找到两条与另一个平面平行的相交直线，若找不到再作辅助线．[思考尝试·夯基]1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一个平面内有两条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行．()(2)若一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行．()(3)若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行．()(4)若一个平面内的两条相交直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行．()解析：如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，在平面ABCD内，在AB上任取一点E，过点E作EF∥AD，交CD于点F，则由线面平行的判定定理，知EF，BC都平行于平面ADD1A1，用同样的方法可以在平面ABCD内作出无数条直线都与平面ADD1A1平行，但是平面ABCD与平面ADD1A1不平行，因此(1)(2)都错；(3)正确，事实上，因为一个平面内任意一条直线都平行于另一个平面，所以这两个平面必无公共点(要注意“任意一条直线”与“无数条直线”的区别)；(4)是平面与平面平行的判定定理，正确．答案：(1)×(2)×(3)√(4)√2．如果两直线a∥b，且a∥α，则b与α的位置关系是()A．相交B．b∥αC．b⊂αD．b∥α或b⊂α解析：由a∥b，且a∥α，知b∥α或b⊂α.答案：D3．过直线l外两点，作与l平行的平面，则这样的平面()A．不可能作出B．只能作出一个C．能作出无数个D．上述三种情况都存在解析：设直线外两点为A，B，若直线AB∥l，则过A，B可作无数个平面与l平行；若直线AB与l异面，则只能作一个平面与l平行；若直线AB与l相交，则过A，B没有平面与l平行．答案：D4．在长方体ABCD-A′B′C′D′中，下列正确的是()A．平面ABCD∥平面ABB′A′B．平面ABCD∥平面ADD′A′C．平面ABCD∥平面CDD′C′D．平面ABCD∥平面A′B′C′D′解析：由长方体可以知道，平面ABCD∩平面ABB′A′＝AB，所以A不正确；平面ABCD∩平面ADD′A′＝AD，所以B不正确；平面ABCD∩平面CDD′C′＝CD，所以C不正确；平面ABCD与平面A′B′C′D′是相对平面，正确．答案：D5．已知l，m是两条直线，α是平面，若要得到“l∥α”，则需要在条件“m⊂α，l∥m”中另外添加一个条件是________．解析：根据直线与平面平行的判定定理，知需要添加的一个条件是“l⊄α”．答案：l⊄α类型1直线与平面平行的判定(自主研析)[典例1]正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE，BD上各有一点P，Q，且AP＝DQ.求证：PQ∥平面BCE.证明：法一如图①所示，作PM∥AB交BE于点M，作QN∥AB交BC于点N，连接MN.因为正方形ABCD和正方形ABEF有公共边AB，所以AE＝BD.又因为AP＝DQ，所以PE＝QB.又因为PM∥AB∥QN，所以PMAB＝PEAE，QNDC＝BQBD，所以PMQN，所以四边形PMNQ是平行四边形，所以PQ∥MN.又MN⊂平面BCE，PQ⊄平面BCE，所以PQ∥平面BCE.法二如图②所示，连接AQ并延长交BC于点K，连接EK.在△AQD和△BQK中，由△AQD∽△KQB，得AQQK＝QDBQ.因为正方形ABCD和正方形ABEF有公共边AB，所以其对角线AE＝BD.又AP＝DQ，所以PE＝BQ.所以QDBQ＝APPE，因此AQQK＝APPE.所以PQ∥EK.又PQ⊄平面BEC，EK⊂平面BEC，所以PQ∥平面BEC.归纳升华1．判断或证明线面平行的常用方法：(1)定义法：证明直线与平面无公共点(不易操作)．(2)判定定理：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α.(3)排除法：证明直线与平面不相交，直线也不在平面内．2．证明线线平行的常用方法：(1)利用三角形、梯形中位线的性质．(2)利用平行四边形的性质．(3)利用平行线分线段成比例定理．[变式训练]如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，S，E，G分别是B1D1，BC，SC的中点．求证：直线EG∥平面BDD1B1.证明：如图所示，连接SB.因为E，G分别是BC，SC的中点，所以EG∥SB.又因为SB⊂平面BDD1B1，EG⊄平面BDD1B1，所以直线EG∥平面BDD1B1.类型2平面与平面平行的判定[典例2]如图所示，四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是平行四边形．证明：平面A1BD∥平面CD1B1.证明：因为多面体ABCDA1B1C1D1是棱柱，所以BB1∥DD1，且BB1＝DD1，所以四边形BB1D1D是平行四边形，所以BD∥B1D1.又BD⊄平面CD1B1，B1D1⊂平面CD1B1，所以BD∥平面CD1B1.因为四边形A1B1C1D1是平行四边形，所以A1D1∥B1C1，且A1D1＝B1C1.因为四边形BB1C1C是平行四边形，所以B1C∥BC，且B1C1＝BC，所以A1D1∥BC且A1D1＝BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1B∥D1C.又A1B⊄平面CD1B1，D1C⊂平面CD1B1，所以A1B∥平面CD1B1.又BD∩A1B＝B，所以平面A1BD∥平面CD1B1.归纳升华1．要证明面面平行，关键是要在其中一个平面中找到两条相交直线和另一个平面平行，而要证明线面平行，还要通过证明线线平行，注意这三种平行之间的转化．2．解决此类问题有时还需添加适当的辅助线(或辅助面)，使问题能够顺利转化．[变式训练]如图，在四棱锥P-ABCD中，E，F，G分别是PC，PD，BC的中点，DC∥AB，求证：平面PAB∥平面EFG.证明：因为E，F，G分别是PC，PD，BC的中点，所以EG∥PB，又因为EG⊄平面PAB，PB⊂平面PAB，所以EG∥平面PAB.同理可证：EF∥平面PAB.因为EG∩EF＝E，所以平面PAB∥平面EFG.类型3线面平行、面面平行的应用(误区警示)[典例3]如图所示，平面α∥平面β，AC与BD为异面直线，且AC⊂α，BD⊂β，M，N分别为AB，CD的中点，求证：MN∥平面β.易错提示：本题证明过程中易出现以下两方面的错误：①由α∥β，AC⊂α，BD⊂β⇒AC∥BD；②线段AB，CD分别过平面α、平面β，则AB∥CD.防范措施：运用定理或推论来推理时，一定要保护相关的条件满足要求．另外，也不能把自己认为正确的命题不加证明就应用于解题过程中．[正确解答]因为AB∩AC＝A，所以AB，AC确定一个平面γ，则γ∩α＝AC.因为B∈AB，AB⊂γ，B∈β，所以B是γ与β的公共点，于是可设β∩γ＝BE，如图所示．连接CE，DE，取CE的中点P，连接MP，PN.因为α∥β，AC⊂α，BE⊂β，所以AC与BE无交点．又AC与BE共面，所以AC∥BE.又M，P分别为AB，CE的中点，所以MP∥BE.因为BE⊂β，MP⊄β，所以MP∥β.在△CED中，P，N分别为CE，CD的中点，所以PN∥DE.又PN⊄β，DE⊂β，所以PN∥β.又因为MP∩PN＝P，所以平面MNP∥平面β.因为MN⊂平面MNP，所以MN与平面β无公共点，所以MN∥平面β.[类题尝试]在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点．问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO？请说明理由．解：当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.理由如下：如图，连接PQ.因为Q为CC1的中点，P为DD1的中点，所以PQ∥DC∥AB，PQ＝DC＝AB.所以四边形ABQP是平行四边形．所以QB∥PA.又因为O为DB的中点，所以D1B∥PO.又因为PO∩PA＝P，D1B∩QB＝B，所以平面D1BQ∥平面PAO.1．证明直线与平面平行的关键是在已知平面内找一条直线和已知直线平行，即要证直线和平面平行，先证直线和直线平行，由立体向平面转化，由高维向低维转化．2．证明面面平行的一般思路：线线平行⇒线面平行⇒面面平行．3．准确把握线面平行及面面平行的两个判定定理，是对线面关系及面面关系做出正确推断的关键.