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第二章点、直线、平面之间的位置关系2．1.3空间中直线与平面之间的位置关系2．1.4平面与平面之间的位置关系[学习目标]1.掌握空间中直线与平面的三种位置关系，会判断空间中直线与平面的位置关系(重点)．2.掌握空间中平面与平面的两种位置关系，会判断平面与平面的位置关系．3.学会用图形语言、符号语言来表示直线与平面、平面与平面的位置关系(难点、易错点)．[知识提炼·梳理]1．直线与平面的位置关系位置关系公共点符号表示图形表示直线a在平面α内无数个公共点a⊂α直线a与平面α相交一个公共点a∩α＝A直线a与平面α平行无公共点a∥α温馨提示一般地，直线a在平面α内时，应把直线a画在表示平面α的平行四边形内；直线a与平面α相交时，应画成直线a与平面α只有一个公共点，被平面α遮住的部分画成虚线或不画；直线a与平面α平行时，应画成直线a与表示平面α的平行四边形的一条边平行，并画在表示平面α的平行四边形外．2．两个平面的位置关系位置关系图形表示符号表示公共点个数两平面平行α∥β无公共点两平面相交α∩β＝l有无数个公共点，这些点在一条直线上温馨提示画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行．[思考尝试·夯基]1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α.()(2)直线与平面不相交就是直线与平面没有公共点．()(3)若一个平面内的任意一条直线都与另一个平面平行，那么这两个平面平行．()解析：(1)错误．若直线l与平面α相交，直线上也有无数个点不在平面α内．(2)错误．直线与平面不相交包括直线与平面平行或直线在平面内这两种情况，而直线与平面没有公共点是指直线与平面平行，所以该命题错误．(3)正确．因为一个平面内的任意一条直线都与另一个平面平行，所以该平面与另一个平面没有公共点，根据两平面平行的定义知，这两个平面平行，所以该命题正确．答案：(1)×(2)×(3)√2．已知直线a∥平面α，直线b⊂α，则a与b的关系为()A．相交B．平行C．异面D．平行或异面解析：因为a∥α，所以a与α无公共点，所以a与α内的直线无公共点．答案：D3．如果在两个平面内分别有一条直线，且这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系是()A．平行B．相交C．平行或相交D．以上都不正确解析：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB⊂平面ABCD，C1D1⊂平面A1B1C1D1，C1D1⊂平面CDD1C1，AB∥C1D1，但平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面ABCD与平面CDD1C1相交．答案：C4．正方体ABCD-A1B1C1D1的各个面中与直线A1B1平行的平面有________个．解析：由正方体图形特点，知直线A1B1与平面CC1D1D和平面ABCD平行．答案：25．已知平面α∥平面β，直线a⊂α，则直线a与平面β的位置关系为________．解析：因为α∥β，所以α与β无公共点，因为a⊂α，所以a与β无公共点，所以a∥β.答案：平行类型1直线与平面的位置关系(自主研析)[典例1]有下列命题：(1)若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α；(2)若直线a在平面α外，则a∥α；(3)若直线a∥b，直线b⊂α，则a∥α；(4)若直线a∥b，直线b⊂α，则直线a平行于平面α内的无数条直线．其中真命题的个数为()A．1B．2C．3D．4解析：对于(1)，因为当直线l与平面α内的无数条直线平行时，l也有可能在平面α内，所以l不一定平行于α，所以(1)是假命题．对于(2)，因为直线a在平面α外包括两种情况：a∥α和a与α相交，所以a和α不一定平行，所以(2)是假命题．对于(3)，直线a∥b，直线b⊂α，只能说明a和b无公共点，a可能在平面α内，所以a不一定平行于α，所以(3)是假命题．对于(4)，因为a∥b，b⊂α，所以a⊂α或a∥α，所以a可与平面α内的无数条直线平行，所以(4)是真命题．综上，真命题的个数为1.答案：A归纳升华直线与平面的位置关系的判定空间中直线与平面只有三种位置关系：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行．可借助几何模型判断直线与平面的位置关系，要注意多种可能情形．[变式训练]一条直线l上有相异的三个点A，B，C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是()A．l∥αB．l⊥αC．l∥α或l⊂αD．l与α相交但不垂直解析：当l∥α时，直线l上任意点到α的距离都相等；当l⊂α时，直线l上所有的点到α的距离都是0；当l⊥α时，直线l上到α的距离相等且不为0的点有两个；当l与α斜交时，直线l上到α的距离相等且不为0的点有两个．答案：C类型2平面与平面的位置关系(互动探究)[典例2]已知在两个平面内分别有一条直线，这两条直线是异面直线，则这两个平面的位置关系如何？解：如图，a⊂α，b⊂β，a，b异面，则两平面平行或相交．[迁移探究1]在本例中，若将条件改为平面α内有无数条直线与平面β平行，那么α与β的关系是什么？解：如图，α内都有无数条直线与平面β平行．由图知，平面α与平面β可能平行或相交．[迁移探究2]在本例中，若将条件改为平面α内的任意一条直线与平面β平行，那么α与β的关系是什么？解：平面α内的任意一条直线与平面β平行，这只有这两个平面平行才能做到，所以平面α与平面β平行．归纳升华1．平面与平面的位置关系的判断方法．(1)平面与平面相交的判断主要是以公理3为依据，找出两个平面的一个交点．(2)平面与平面平行的判断方法：主要是说明两个平面没有公共点．2．常见的平面和平面平行的模型．(1)棱柱、棱台、圆柱、圆台的上下底面平行．(2)长方体的六个面中，三组相对面平行．1．空间中直线与平面的位置关系有两种分类方式：(1)按公共点的个数分类直线与平面平行（直线与平面没有公共点）直线与平面不平行直线与平面相交（直线与平面有唯一公共点）直线在平面内（直线与平面有无数公共点）(2)按是否在平面内分类直线在平面内直线在平面外直线与平面相交直线与平面平行2．判断直线与平面及平面与平面的位置关系常用定义和反证法.