搜索
第二讲证明不等式的基本方法2．2综合法与分析法[学习目标]1.理解综合法与分析法证明不等式的思考过程与特点(重点)．2．会用综合法、分析法证明不等式(重点、难点)．1．综合法一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理，论证而得出命题成立，这种证明方法叫做综合法，又叫顺推证法或由因导果法．2．分析法证明命题时，我们还常常从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法．这是一种执果索因的思考和证明方法．3．综合法与分析法的比较方法证明的起始步骤求证过程求证目标证题方向综合法基本不等式或已经证明过的不等式实施一系列的推出或等价变换要求证的结论由因导果分析法要求证的不等式寻求结论成立的充分条件所需条件全部成立执果索因1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)若a＞b，则ac2＞bc2.()(2)若ac＞bc，则a＞b.()(3)若a3＞b3，且ab＜0，则1a＞1b.()(4)若a2＞b2，且ab＞0，则1a＜1b.()解析：若c＝0，则(1)不成立；若c＜0，则(2)不成立；1a－1b＝b－aab，因为a3＞b3，且ab＜0，所以a＞0＞b，即b－a＜0，所以b－aab＞0，故1a＞1b，(3)成立；若a＜0，b＜0，则(4)不成立．答案：(1)×(2)×(3)√(4)×2．关于综合法和分析法的说法，错误的是()A．综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法B．综合法又叫顺推证法或由因导果法C．分析法又叫逆推证法或执果索因法D．综合法和分析法都是因果分别互推的两头凑法解析：根据综合法的定义可得，综合法是执因导果法，是顺推法；根据分析法的定义得，分析法是执果索因法，是逆推证法．答案：D3．设a，b∈R＋，A＝a＋b，B＝a＋b，则A，B的大小关系是()A．A≥BB．A≤BC．A＞BD．A＜B解析：A2＝(a＋b)2＝a＋2ab＋b，B2＝a＋b，所以A2＞B2.又A＞0，B＞0，所以A＞B.答案：C4．设a＝2，b＝7－3，c＝6－2，那么a，b，c的大小关系是()A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．b＞a＞cD．b＞c＞a解析：由已知，可得出a＝422，b＝47＋3，c＝46＋2，因为7＋3＞6＋2＞22，所以b＜c＜a.答案：B5．若不等式1a－b＋1b－c＋λc－a0在条件abc时恒成立，则λ的取值范围是________．解析：不等式可化为1a－b＋1b－cλa－c.因为abc，所以a－b0，b－c0，a－c0，所以λa－ca－b＋a－cb－c恒成立．因为a－ca－b＋a－cb－c＝（a－b）＋（b－c）a－b＋（a－b）＋（b－c）b－c＝2＋b－ca－b＋a－bb－c≥2＋2＝4.所以λ4.答案：(－∞，4)类型1综合法证明不等式(自主研析)[典例❶](2017·全国卷Ⅱ)已知a＞0，b＞0，a3＋b3＝2.证明：(1)(a＋b)(a5＋b5)≥4；(2)a＋b≤2.证明：(1)(a＋b)(a5＋b5)＝a6＋ab5＋a5b＋b6＝(a3＋b3)2－2a3b3＋ab(a4＋b4)＝4＋ab(a2－b2)2≥4.(2)因为(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3＝2＋3ab(a＋b)≤2＋3（a＋b）24(a＋b)＝2＋3（a＋b）34，所以(a＋b)3≤8，因此a＋b≤2.归纳升华1．综合法证明不等式，揭示出条件和结论之间的因果联系，为此要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系．合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键．2．综合法证明不等式时常用的不等式：(1)a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时，取“＝”)；(2)a＋b2≥ab(a，b∈R＋，当且仅当a＝b时，取“＝”)；(3)a2≥0，|a|≥0，(a－b)2≥0；(4)ba＋ab≥2(a，b同号)，ba＋ab≤－2(a，b异号)；(5)a，b∈R，a2＋b2≥12(a＋b)2.[变式训练]已知a＞0，b＞0，c＞0，且abc＝2.求证：(1＋a)(1＋b)(1＋c)＞82.证明：因为a＞0，b＞0，c＞0，所以1＋a≥2a，当且仅当a＝1时，取等号，1＋b≥2b，当且仅当b＝1时，取等号，1＋c≥2c，当且仅当c＝1时，取等号．因为abc＝2，所以a，b，c不能同时取1，所以“＝”不同时成立．所以(1＋a)(1＋b)(1＋c)＞8abc＝82.故(1＋a)(1＋b)(1＋c)＞82.类型2分析法证明不等式[典例2]已知x＞0，y＞0，求证：(x2＋y2)12＞(x3＋y3)13.证明：因为x＞0，y＞0，所以要证明(x2＋y2)12＞(x3＋y3)13，只需证(x2＋y2)3＞(x3＋y3)2，即证x6＋3x4y2＋3x2y4＋y6＞x6＋2x3y3＋y6，即证3x4y2＋3x2y4＞2x3y3.因为x＞0，y＞0，所以x2y2＞0，即证3x2＋3y2＞2xy.因为3x2＋3y2＞x2＋y2≥2xy，所以3x2＋3y2＞2xy成立．归纳升华用分析法证明不等式的思路(1)分析法的思索路线是“执果索因”，即从要证的不等式出发，不断地用充分条件来代替前面的不等式，直至找到已知不等式为止．(2)用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好“要证明”“只需证明”“即证明”等词语．[变式训练]已知a，b，c为不全相等的正实数，且b2＝ac.求证：a4＋b4＋c4(a2－b2＋c2)2.证明：欲证原不等式成立，只需证a4＋b4＋c4a4＋b4＋c4－2a2b2＋2a2c2－2b2c2，即证a2b2＋b2c2－a2c20，因为b2＝ac，故只需证(a2＋c2)ac－a2c20.因为a0，c0，故只需证a2＋c2－ac0，又因为a2＋c22ac，所以a2＋c2－ac0显然成立．所以原不等式成立．类型3分析法与综合法的灵活运用[典例3]设实数x，y满足y＋x2＝0，且0＜a＜1，求证：loga(ax＋by)＜18＋loga2.证明：由于0＜a＜1，则t＝logax(x＞0)为减函数．欲证loga(ax＋ay)＜18＋loga2，只需证ax＋ay＞2a18.因为y＋x2＝0，0＜a＜1，所以x＋y＝x－x2＝－x－122＋14≤14.当且仅当x＝12时，(x＋y)max＝14，所以ax＋y≥a14，ax＋y≥a18当x＝12，y＝－14时取等号.①又ax＋ay≥2ax＋y(当且仅当x＝y取等号)，②所以ax＋ay≥2a18.③由于①，②等号不能同时成立，所以③式等号不成立，即ax＋ay＞2a18成立．故原不等式loga(ax＋ay)＜18＋loga2成立．归纳升华1．综合法和分析法的比较．(1)相同点：都是直接证明．(2)不同点：综合法，由因导果，形式简洁，易于表达；分析法，执果索因，利于思考，易于探索．2．证明不等式的通常做法．常用分析法找证题切入点，用综合法写证题过程．[变式训练]已知实数a，b，c满足cba，a＋b＋c＝1，a2＋b2＋c2＝1.求证：1a＋b43.证明：因为a＋b＋c＝1，所以欲证结论等价于11－c43，即－13c0.又a2＋b2＋c2＝1，则有ab＝（a＋b）2－（a2＋b2）2＝（1－c）2－（1－c2）2＝c2－c.①又a＋b＝1－c.②由①②得a，b是方程x2－(1－c)x＋c2－c＝0的两个不等实根，从而Δ＝(1－c)2－4(c2－c)0，解得－13c1.因为cba，所以(c－a)(c－b)＝c2－c(a＋b)＋ab＝c2－c(1－c)＋c2－c0，解得c0或c23(舍)．所以－13c0，即1a＋b43.1．综合法是从已知条件或基本不等式出发，运用不等式的有关性质推导出所要证明的不等式，证明思路是“由因导果”．综合法证明不等式，要揭示出条件与结论间的因果联系，为此要着力分析已知与求证间，不等式左、右两端的差异与联系，合理变换、恰当选择已知不等式是证明的关键．2．分析法就是从求证的不等式出发，执果索因，不等式成立的充分条件，直至能肯定所需条件已经具备．证明的关键是推理的每一步都必须可逆．用分析法证明“若A则B”的模式为：欲证命题B成立，只需证命题B1成立……只需证命题B2成立…………只需证明A为真．今已知A为真，故B必真．可以简单写成：B⇐B1⇐B2⇐……⇐Bn⇐A.3．分析法和综合法是对立统一的两种方法，分析法的特点是利于思考，因为其方向明确，综合法的优点是条理清楚、形式简洁．证明时常用分析法探路，综合法书写．