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13.3等腰三角形第13章全等三角形导入新课讲授新课当堂练习课堂小结1.等腰三角形的性质学习目标1.理解并掌握等腰三角形的性质.(重点)2.经历等腰三角形的探究过程，能初步运用等腰三角形的性质解决有关问题.(难点)有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.等腰三角形中，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角.ACB腰腰底边顶角底角底角导入新课复习引入剪一张等腰三角形的半透明纸片，每人所剪的等腰三角形的大小和形状可以不一样，如图，把纸片对折，让两腰AB、AC重叠在一起，折痕为AD.你能发现什么现象吗？讲授新课做一做DABCABCD等腰三角形的性质一1.等腰三角形是轴对称图形.我们可以得出结论：ACBD折痕AD所在直线是等腰三角形的对称轴.你还有新的发现吗？∠B，∠C是等腰三角形的.底角∠B＝∠C所以我们可以描述为:等腰三角形的两个底角相等.2.探究归纳等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）.已知：如图，△ABC中，AB=AC,求证：∠B=∠C.证明：作顶角∠BAC的平分线AD.在△ABD与△ACD中，AB＝AC（已知），∠1＝∠2（已证），AD＝AD（公共边），∴△ABD≌△ACD（S.A.S.），∴∠B＝∠C.ABCD12分析：由上述操作可以得到启发，即添加等腰三角形的顶角平分线AD，然后证明△ABD≌△ACD.从这里你还可以得到什么结论?例1已知：在△ABC中，AB=AC，∠B=80°，求∠C和∠A的大小.ABC(=80(ABACCB已知）,等边对等角）.=180(180=180(=1808080=20.ABCABC又三角形的内角和等于）,等式的性质）解：典例精析想一想：刚才的证明除了能得到∠B＝∠C，你还能发现什么?重合的线段重合的角ABDCAB＝ACBD＝CDAD＝AD∠B＝∠C∠BAD＝∠CAD∠ADB＝∠ADC=90°性质等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线，互相重合（简称“三线合一”）.ABCD12填一填:根据等腰三角形性质完成下列填空.在△ABC中，AB=AC时，（1）∵AD是底边上的高，∴∠_____=∠_____，____=____.(2)∵AD是中线，∴____⊥____，∠_____=∠_____.(3)∵AD是角平分线，∴____⊥____，_____=_____.122BDCDADBCBD1BCADCD例2在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，∠B=30°.求：（1）∠ADC的大小；（2）∠1的大小.ADC12(2)∵∠1+∠B+∠ADB=180°（三角形内角和等于180°），∠B=30°（已知），∴∠1=180°-∠B-∠ADB=180°-30°-90°=60°.∴AD⊥BC(等腰三角形“三线合一”).∴∠ADC=∠ADB=90°(垂直的定义).解：(1)∵AB=AC，BD=DC（已知），B因为等边三角形是特殊的等腰三角形，由等腰三角形等边对等角的性质得到，∠B＝∠C，同理可得∠A＝∠B所以∠A＝∠B＝∠C，又由∠A＋∠B＋∠C＝180°，从而推出∠A＝∠B＝∠C＝60°.也就是说：等边三角形的各个角都相等，并且每一个角都等于60°.三条边都相等的三角形是等边三角形，它也是轴对称图形，那么等边三角形的每个角的度数是多少呢？它有几条对称轴？ACB等边三角形的三条边都相等，三个角都相等，也称为正三角形.三条对称轴等边三角形的性质二ABCD例3如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数.（1）找出图中所有相等的角；（2）指出图中有几个等腰三角形？∠A=∠ABD,∠C=∠BDC=∠ABC；△ABC,△ABD,△BCD；ABCDx⌒2x2x（3）观察∠BDC与∠A，∠ABD的关系，∠ABC、∠C呢？∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A=2∠ABD,∠ABC=∠BDC=2∠A,∠C=∠BDC=2∠A；（4）设∠A=x,请把△ABC的内角和用含x的式子表示出来.∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∴x+2x+2x=180°.ABCD解：∵AB=AC，BD=BC=AD，∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD.设∠A=x,则∠BDC=∠A+∠ABD=2x,从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x,于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，解得x=36°.在△ABC中，∠A=36°，∠ABC=∠C=72°.x⌒2x2x当堂练习1.如图，在下列等腰三角形中，分别求出它们的底角的度数.ABC120°ABC36°∠B=∠C=72°∠B=∠C=30°2.(1)等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个角为；(2)等腰三角形一个角为36°,它的另外两个角为____________________；(3)等腰三角形一个角为120°,它的另外两个角为.75°,30°72°,72°或36°,108°30°，30°结论:在等腰三角形中,注意对角的分类讨论.①顶角+2×底角=180°②顶角=180°－2×底角③底角=（180°－顶角）÷2④0°＜顶角＜180°⑤0°＜底角＜90°ACBD3.如图，是西安半坡博物馆屋顶的截面图，已经知道它的两边AB和AC是相等的.建筑工人师傅对这个建筑物做出了两个判断:①工人师傅在测量了∠B为37°以后，并没有测量∠C，就说∠C的度数也是37°;②工人师傅要加固屋顶，他们通过测量找到了横梁BC的中点D，然后在AD两点之间钉上一根木桩，他们认为木桩是垂直横梁的.请同学们想想,工人师傅的说法对吗？请说明理由.工人师傅的说法是对的，△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形的性质可以得出这样的结论.课堂小结等腰三角形的性质等边对等角等边三角形注意是指同一个三角形中注意是指顶角的平分线、底边上的高和中线才有这一性质.而腰上高、中线和底角的平分线不具有这一性质.三线合一有三条对称轴，每个内角等于60°.等边三角形