2019年秋九年级数学上册 第二十一章 一元二次方程 21.3 实际问题与一元二次方程 第2课时 几

第二十一章一元二次方程21.3实际问题与一元二次方程第2课时几何图形与一元二次方程学习指南知识管理归类探究分层作业当堂测评学习指南教学目标1．能根据面积问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型．2．能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理．课堂导入下面是我国南宋数学家杨辉1275年提出的一个问题：“直田积(矩形面积)八百六十四步(平方步)，只云阔(宽)不及长一十二步(宽比长少一十二步)，问阔及长各几步？”答：阔二十四步，长三十六步．这里，我们不谈杨辉的解法，你能用已学过的知识解决上面的问题吗？知识管理用一元二次方程作为数学模型分析解决几何图形问题步骤：(1)整体地、系统地审题；(2)依据几何图形的性质，寻找问题中的等量关系；(3)设未知数，列出方程；(4)正确地求解方程，并检验解的合理性；(5)写出答案．归类探究类型之一利用一元二次方程解几何图形问题图21­3­2是一块矩形铁皮，将四个角各剪去一个边长为2m的正方形后，剩下的部分做成一个容积为90m3的无盖长方体箱子，已知长方体箱子的底面的长比宽多4m，求矩形铁皮的面积．图21­3­2解：设箱子底面的宽为xm，则长为(x＋4)m.由题意，得x(x＋4)×2＝90，解得x1＝5，x2＝－9(舍去)，∴矩形铁皮的长为5＋4＋4＝13(m)，宽为5＋4＝9(m)，∴矩形铁皮的面积是13×9＝117(m2)．类型之二利用一元二次方程进行方案设计要在一块长16m、宽12m的矩形荒地上建造一个花园，要求花园的占地面积为荒地面积的一半，图21­3­3中展示了小明和小颖的设计方案．图21­3­3(1)你认为小明的结果对吗？为什么？(2)你能帮小颖求出图中x的值吗？(结果保留一位小数)解：(1)小明的结果不对．设小路的宽为xm.依题意，得(16－2x)(12－2x)＝12×16×12，整理，得x2－14x＋24＝0，解得x1＝2，x2＝12.因为荒地的宽为12m，若小路的宽为12m，则不符合实际情况，故x2＝12不合题意，舍去，所以小明的结果不对．(2)由题意知4个相同扇形的面积之和恰为一个圆的面积，其半径为xm.根据题意，得πx2＝12×12×16，即x2＝96π，解得x≈5.5或x＝－5.5(舍去)．故图中x的值约为5.5.【点悟】要注意按题意检验方程的根是不是实际问题的解．当堂测评1．小明要在一幅长90cm、宽40cm的风景画的四周镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图，使风景画的面积是整个挂图面积的54%.设金色纸边的宽度为xcm，根据题意可列方程为()A．(90＋x)(40＋x)×54%＝90×40B．(90＋2x)(40＋2x)×54%＝90×40C．(90＋x)(40＋2x)×54%＝90×40D．(90＋2x)(40＋x)×54%＝90×40B2．已知两个连续奇数的积为143，则这两个数为()A．－13和－11B．11和13C．11,13或－13，－11D．以上都不对C3．如图21­3­4，某小区有一块长为30m、宽为24m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为480m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为m.图21­3­42分层作业1．公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花(如图21­3­5)，原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形空地的边长．设原正方形空地的边长为xm，则可列方程为()C图21­3­5A．(x＋1)(x＋2)＝18B．x2－3x＋16＝0C．(x－1)(x－2)＝18D．x2＋3x＋16＝02．如图21­3­6，要利用一面墙(长为25m)建羊圈，用100m的围栏围成总面积为400m2的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米．图21­3­6解：设AB的长度为xm，则BC的长度为(100－4x)m.根据题意，得(100－4x)x＝400，解得x1＝20，x2＝5.∴100－4x1＝20,100－4x2＝80.∵8025，∴x2＝5舍去．∴AB＝20m，BC＝20m.答：羊圈的边长AB，BC都是20m.3．[2017·酒泉]如图21­3­7，某小区计划在一块长为32m、宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，在剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2.若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是()图21­3­7AA．(32－2x)(20－x)＝570B．32x＋2×20x＝32×20－570C．(32－x)(20－x)＝32×20－570D．32x＋2×20x－2x2＝5704．[2018春·丰台区期末]教育部联合共青团中央、全国少工委印发《关于加强中小学劳动教育的意见》．为了更好地落实文件精神，丰台区某校八年级学生到北京农机试验站学农教育基地进行了为期一周的学农活动．在基地，学生们进行了翻地整地、菜苗移植、认识蔬菜、制作香皂等活动．在参观牛舍的过程中，同学们发现工作人员为了保护小牛，给每头小牛盖了专门的牛舍．如图21­3­8，整个小牛舍区域是长20m、宽6m的矩形，其中每一个小牛舍是一面靠墙，其余三面用围栏围成的矩形．为了方便照顾小牛，工作人员在每个小牛舍周围留着等宽的小路．如果每个小牛舍的面积是12.5m2，请求出小路的宽．(设小路的宽为xm)图21­3­8解：设小路的宽为xm(x4)，则6间小牛舍可合成长(20－5x)m、宽(6－x)m的矩形，根据题意，得(20－5x)(6－x)＝12.5×6，解得x1＝1，x2＝9(不合题意，舍去)．答：小路的宽为1m.5．[2017·湖州期中]如图21­3­9，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．图21­3­9(1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2?(2)在(1)中，△PBQ的面积能否等于7cm2？说明理由．(3)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于210cm?解：(1)设xs后，△PBQ的面积等于4cm2.根据题意，得12(5－x)×2x＝4，解得x＝1或x＝4(舍去)．故1s后，△PBQ的面积等于4cm2.(2)令S△PBQ＝7，得12(5－x)×2x＝7，整理得x2－5x＋7＝0.由于Δ＝b2－4ac＝25－28＝－30，故原方程没有实数根，∴在(1)中，△PBQ的面积不能等于7cm2.(3)设ts后，PQ的长度等于210cm.在Rt△PBQ中，PQ2＝BP2＋BQ2，即(210)2＝(5－t)2＋(2t)2，解得t＝－1(舍去)或t＝3，故3s后，PQ的长度为210cm.