2019年秋九年级数学上册 第二十一章 一元二次方程 21.2 解一元二次方程 21.2.4 一元二

第二十一章一元二次方程*21.2.4一元二次方程的根与系数的关系学习指南知识管理归类探究分层作业当堂测评学习指南教学目标掌握一元二次方程的根与系数的关系，并会初步应用．课堂导入解下列方程，观察各方程两个解的和与积，它们和方程的系数有什么联系？(1)2x2－5x－12＝0；(2)x2＋2x＋1＝0；(3)x2＋2x－1＝0.知识管理一元二次方程的根与系数的关系关系：如果ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根是x1，x2，那么x1＋x2＝，x1x2＝.语言叙述：两个根的和等于一次项系数与二次项系数的，两个根的积等于常数项与二次项系数的．易忽略点：一元二次方程的根与系数的关系需满足的前提——①a≠0；②Δ≥0.－baca比的相反数比归类探究类型之一利用根与系数的关系求方程的两根的和与积若一元二次方程x2＋2x－3＝0的两根为x1，x2，则下列式子正确的是()A．x1＋x2＝2，x1x2＝－3B．x1＋x2＝－2，x1x2＝－3C．x1＋x2＝2，x1x2＝3D．x1＋x2＝－2，x1x2＝3B【点悟】根据x1＋x2＝－ba，x1x2＝ca计算并判断．类型之二利用根与系数的关系求与方程两根有关的代数式的值设x1，x2是方程2x2－9x＋6＝0的两个根，求下列各式的值：(1)1x1＋1x2；(2)x21＋x22；(3)(x1－3)(x2－3)；(4)x1－x2.解：由根与系数的关系得x1＋x2＝92，x1x2＝3.(1)1x1＋1x2＝x1＋x2x1x2＝92÷3＝32.(2)x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝922－2×3＝574.(3)(x1－3)(x2－3)＝x1x2－3(x1＋x2)＋9＝3－3×92＋9＝－32.(4)∵(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝922－4×3＝334，∴x1－x2＝±332.【点悟】利用根与系数的关系求有关代数式的值的一般方法：(1)利用根与系数的关系求出x1＋x2，x1x2的值；(2)将所求的代数式变形转化为用含x1＋x2，x1x2的代数式表示的式子；(3)将x1＋x2，x1x2的值整体代入求出待求代数式的值．类型之三利用根与系数的关系解决已知一根求另一根的问题已知关于x的方程3x2＋mx－8＝0有一个根是23，求另一个根及m的值．解：设方程的另一个根是x1，由一元二次方程根与系数的关系，得23＋x1＝－m3，①23x1＝－83.②由②得x1＝－4.将x1＝－4代入①，得23＋(－4)＝－m3，解得m＝10.∴方程的另一个根是－4，m的值是10.当堂测评1．若方程3x2－4x－4＝0的两个实数根分别为x1，x2，则x1＋x2的值为()A．－4B．3C．－43D．432．[2017·怀化]若x1，x2是一元二次方程x2－2x－3＝0的两个根，则x1x2的值是()A．2B．－2C．4D．－3DD3．[2018·湘西]若关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0有一个解为x＝－1，则另一个解为()A．1B．－3C．3D．44．[2018·贵港]已知α，β是一元二次方程x2＋x－2＝0的两个实数根，则α＋β－αβ的值是()A．3B．1C．－1D．－3CB分层作业1．[2017·凉山]一元二次方程3x2－1＝2x＋5两实根的和与积分别是()A.32，－2B．23，－2C．－23，2D．－32，2B2．若方程x2＋x－1＝0的两根为α，β，那么下列说法不正确的是()A．α＋β＝－1B．αβ＝－1C．α2＋β2＝3D．1α＋1β＝－13．已知实数x1，x2满足x1＋x2＝7，x1x2＝12，则以x1，x2为根的一元二次方程是()A．x2－7x＋12＝0B．x2＋7x＋12＝0C．x2＋7x－12＝0D．x2－7x－12＝0DA4．[2018·莱芜]已知x1，x2是方程2x2－3x－1＝0的两根，则x21＋x22＝.【解析】由根与系数的关系，得x1＋x2＝32，x1x2＝－12，∴x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝322－2×－12＝134.1345．已知关于x的一元二次方程x2＋x＋m2－2m＝0有一个实根为－1，求m的值及方程的另一个实根．解：把x＝－1代入方程，得1－1＋m2－2m＝0，解得m1＝0，m2＝2.设方程的另一个根为x2，则由一元二次方程根与系数的关系可得－1＋x2＝－1，∴x2＝0.∴m＝0或2，方程的另一个实根为0.6．已知实数a，b是方程x2－x－1＝0的两根，求ba＋ab的值．解：由题意知，a＋b＝1，ab＝－1，∴ba＋ab＝a2＋b2ab＝a＋b2－2abab＝－3.7．已知x1，x2是方程x2＋6x＋3＝0的两个实数根，试求下列代数式的值：(1)x21＋x22；(2)x2x1＋x1x2；(3)(x1＋1)(x2＋1)．解：由根与系数的关系，得x1＋x2＝－6，x1x2＝3.(1)x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(－6)2－2×3＝36－6＝30.(2)x2x1＋x1x2＝x22＋x21x1x2＝303＝10.(3)(x1＋1)(x2＋1)＝x1x2＋(x1＋x2)＋1＝3－6＋1＝－2.8．[2017·绵阳]若关于x的方程2x2＋mx＋n＝0的两根为－2和1，则nm的值为()A．－8B．8C．16D．－16C【解析】∵关于x的方程2x2＋mx＋n＝0的两根为－2和1，∴－m2＝－1，n2＝－2，∴m＝2，n＝－4，∴nm＝(－4)2＝16.9．[2017·淄博]已知α，β是方程x2－3x－4＝0的两个实数根，则α2＋αβ－3α的值为.0【解析】∵α，β是方程x2－3x－4＝0的两个实数根，∴α2－3α－4＝0，αβ＝－4.∴α2－3α＝4.∴α2＋αβ－3α＝(α2－3α)＋αβ＝4－4＝0.10．[2018·烟台]已知关于x的一元二次方程x2－4x＋m－1＝0的实数根x1，x2满足3x1x2－x1－x22，则m的取值范围是.3m≤5【解析】∵x1，x2是x2－4x＋m－1＝0的两根，∴x1＋x2＝4，x1x2＝m－1.又∵3x1x2－x1－x22，∴3(m－1)－42，∴m3.又∵Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4(m－1)≥0，∴m≤5，∴3m≤5.11．[2017·十堰]已知关于x的方程x2＋(2k－1)x＋k2－1＝0有两个实数根x1，x2.(1)求实数k的取值范围；(2)若x1，x2满足x21＋x22＝16＋x1x2，求实数k的值．解：(1)∵关于x的方程x2＋(2k－1)x＋k2－1＝0有两个实数根x1，x2，∴Δ＝(2k－1)2－4(k2－1)≥0，解得k≤54.(2)∵关于x的方程x2＋(2k－1)x＋k2－1＝0有两个实数根x1，x2，∴x1＋x2＝－(2k－1)，x1x2＝k2－1，∴x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝16＋x1x2，∴(x1＋x2)2＝16＋3x1x2，∴[－(2k－1)]2＝16＋3(k2－1)，整理得k2－4k－12＝0，解得k1＝－2，k2＝6(不合题意，舍去)，∴实数k的值为－2.12．[2018·南充]已知关于x的一元二次方程x2－(2m－2)x＋(m2－2m)＝0.(1)求证：方程有两个不相等的实数根．(2)如果方程的两实数根为x1，x2，且x21＋x22＝10，求m的值．(1)证明：∵Δ＝(2m－2)2－4(m2－2m)＝40，∴方程有两个不相等的实数根．(2)解：∵x1＋x2＝2m－2，x1x2＝m2－2m，∴x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝10，∴(2m－2)2－2(m2－2m)＝10，∴m2－2m－3＝0，∴m＝－1或m＝3.