搜索
第二十一章一元二次方程21.2.3因式分解法学习指南知识管理归类探究分层作业当堂测评学习指南教学目标1．了解因式分解法的概念，会用因式分解法解一元二次方程；2．学会观察方程的特征，选用适当的方法解一元二次方程．课堂导入在新城区规划建设过程中，测量土地时，发现了一块正方形土地和一块矩形土地，矩形土地的宽和正方形土地的边长相等，矩形土地的长为80m，测量人员说：“正方形土地面积是矩形土地面积的一半．”你能帮助工作人员计算这块正方形土地的面积吗？知识管理1．因式分解法定义：先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法，即若ab＝0，则a＝0或b＝0.步骤：(1)移项，将方程的右边化为0；(2)把方程的左边因式分解为两个一次式的乘积；(3)分别令每个一次式等于0，得到两个一元一次方程；(4)解这两个方程，得到一元二次方程的两个根．02．解一元二次方程的基本思路与方法基本思路：将二次方程化为方程，即降次．基本方法：(1)直接开平方法；(2)配方法；(3)公式法；(4)因式分解法．注意：解一元二次方程要根据方程的特点灵活选择方法．一次归类探究类型之一用因式分解法解一元二次方程用因式分解法解下列方程：(1)x2＋3＝3(x＋1)；(2)(x－3)2＋4x(x－3)＝0；(3)(2x＋1)2－25＝0.解：(1)整理，得x2－3x＝0，因式分解，得x(x－3)＝0，∴x＝0或x－3＝0，∴x1＝0，x2＝3.(2)因式分解，得(x－3)(x－3＋4x)＝0，即(x－3)(5x－3)＝0，∴x－3＝0或5x－3＝0，∴x1＝3，x2＝35.(3)因式分解，得(2x＋1＋5)(2x＋1－5)＝0，即(2x＋6)(2x－4)＝0，∴2x＋6＝0或2x－4＝0，∴x1＝－3，x2＝2.【点悟】(1)在用因式分解法解一元二次方程时，一定不能将方程的两边同时约去含未知数的代数式；(2)用因式分解法解方程的关键是对方程左边的因式分解，常用到的分解因式的方法有提公因式法和公式法等．类型之二用适当的方法解一元二次方程选择适当的方法解一元二次方程：(1)25(x－2)2＝49；(2)x2－2x－4＝0；(3)4x2－5x－7＝0；(4)(x－2)2＝5(2－x)．解：(1)原方程可化为(x－2)2＝4925，直接开平方，得x－2＝±75，∴x1＝175，x2＝35.(2)移项，得x2－2x＝4，配方，得x2－2x＋12＝4＋12，即(x－1)2＝5，∴x－1＝±5，∴x1＝1＋5，x2＝1－5.(3)∵a＝4，b＝－5，c＝－7，Δ＝b2－4ac＝(－5)2－4×4×(－7)＝137，∴x＝－－5±1372×4，∴x1＝5＋1378，x2＝5－1378.(4)移项，得(x－2)2－5(2－x)＝0，即(x－2)2＋5(x－2)＝0，∴(x－2)(x－2＋5)＝0，∴x－2＝0或x－2＋5＝0，∴x1＝2，x2＝2－5.【点悟】配方法、公式法适用于所有的一元二次方程．如果方程可以用直接开平方法或因式分解法，那么一般用直接开平方法或因式分解法能使过程更简便．当堂测评1．方程(x－2)(x＋3)＝0的解是()A．x＝2B．x＝－3C．x1＝－2，x2＝3D．x1＝2，x2＝－3D2．[2018·宜宾]若一元二次方程x2－2x＝0的两根分别为x1和x2，则x1x2为()A．－2B．1C．2D．0D3．我们解一元二次方程3x2－6x＝0时，可以运用因式分解法，将此方程化为3x(x－2)＝0，于是得到两个一元一次方程：3x＝0和x－2＝0，从而得到原方程的解为x1＝0，x2＝2.这种解法体现的数学思想是()A．转化思想B．函数思想C．数形结合思想D．公理化思想4．[2018·淮安]—元二次方程x2－x＝0的根是.5．[2017·德州]方程3x(x－1)＝2(x－1)的根为.Ax1＝0，x2＝1x1＝1，x2＝23分层作业1．方程(x＋1)2＝x＋1的解是()A．x＝－1B．x1＝0，x2＝－1C．x1＝0，x2＝－2D．x1＝1，x2＝－1B2．下面是小刚在作业本中做的一道题，老师说小刚的方法有问题，可是小刚不明白，你能帮帮他吗？解一元二次方程：(2x－1)2＝2x－4x2.解：原方程变形为(2x－1)2＝2x(1－2x)，①即(2x－1)2＝－2x(2x－1)，②化简，得2x－1＝－2x，③移项、合并同类项，得4x＝1，④解得x＝14.⑤在上述解法中，第步有问题，问题在于，请将正确的解法写在下面．③2x－1可能等于0解：原方程变形为(2x－1)2＝2x(1－2x)，即(2x－1)2＝－2x(2x－1)，(2x－1)2＋2x(2x－1)＝0，(2x－1)(2x－1＋2x)＝0，2x－1＝0或2x－1＋2x＝0，∴x1＝12，x2＝14.3．用因式分解法解下列方程：(1)[2018·齐齐哈尔]2(x－3)＝3x(x－3)；(2)9x2－4＝0；(3)(3x－1)2－4＝0；(4)5x(x－3)＝(x－3)(x＋1)．解：(1)x1＝3，x2＝23.(2)x1＝－23，x2＝23.(3)x1＝－13，x2＝1.(4)x1＝3，x2＝14.4．按要求或选择适当的方法解下列方程：(1)x2－5x＋1＝0(用配方法)；(2)3(x－2)2＝x(x－2)；(3)2x2－22x－5＝0(用公式法)；(4)2(x－3)2＝x2－9.解：(1)x2－5x＝－1，x2－5x＋522＝－1＋522，x－522＝214，x－52＝±212，∴x1＝5＋212，x2＝5－212.(2)3(x－2)2－x(x－2)＝0，(x－2)(3x－6－x)＝0，∴x1＝2，x2＝3.(3)Δ＝(－22)2－4×2×(－5)＝48，x＝22±482×2＝22±434＝2±232，∴x1＝2＋232，x2＝2－232.(4)原方程可化为2(x－3)2＝(x＋3)(x－3)，2(x－3)2－(x＋3)(x－3)＝0，(x－3)[2(x－3)－(x＋3)]＝0，(x－3)(x－9)＝0，∴x－3＝0或x－9＝0，∴x1＝3，x2＝9.5．[2018·天水]若关于x的一元二次方程(k－1)x2＋6x＋k2－k＝0的一个根是0，则k的值是.6．[2017·湘潭]将多项式乘法(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab从右到左使用，即可得到用“十字相乘法”进行因式分解的公式：x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)．示例：x2＋5x＋6＝x2＋(2＋3)x＋2×3＝(x＋2)(x＋3)．0(1)尝试：x2＋6x＋8＝(x＋)(x＋)．(2)应用：请用上述方法解方程x2－3x－4＝0.24解：∵x2－3x－4＝0，x2＋(－4＋1)x＋(－4)×1＝0，∴(x－4)(x＋1)＝0，∴x＋1＝0或x－4＝0，∴x1＝－1，x2＝4.7．已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a，b，c分别为△ABC的三边长．(1)如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；(3)如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．解：(1)△ABC是等腰三角形．理由如下：把x＝－1代入方程，得2a－2b＝0.∴a＝b，∴△ABC是等腰三角形．(2)△ABC是直角三角形．理由如下：∵方程有两个相等的实数根，∴Δ＝(2b)2－4(a＋c)(a－c)＝0，∴b2＋c2＝a2，∴△ABC是直角三角形．(3)∵△ABC是等边三角形，∴a＝b＝c，∴原方程变为2ax2＋2ax＝0.∵a≠0，∴x1＝0，x2＝－1.