2019年秋九年级数学上册 第二十二章 二次函数 22.1 二次函数的图像和性质 22.1.4 第1

第二十二章二次函数22.1.4第1课时二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质学习指南知识管理归类探究分层作业当堂测评学习指南教学目标1．能熟练地用描点法画二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象；2．理解并掌握二次函数y＝ax2＋bx＋c的有关性质．课堂导入桥梁的两根钢缆的实物情景如图．若桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状，其解析式为y＝0.03x2－0.9x＋10，你能求出钢缆最低点到桥面的距离吗？知识管理1．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的画法方法：描点法．步骤：(1)把y＝ax2＋bx＋c化成y＝a(x－h)2＋k的形式；(2)确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；(3)在对称轴的两侧，以顶点为中心，左右对称描点画图．注意：若抛物线与x轴有交点，最好选取交点描点，特别是画抛物线草图时，更要注意：①开口方向；②对称轴；③顶点；④与x轴的交点；⑤与y轴的交点等．2．顶点坐标公式推导：y＝ax2＋bx＋c＝ax2＋bax＋ca＝ax2＋bax＋b24a2＋ca－b24a2＝ax＋b2a2＋4ac－b24a.公式：抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标是，对称轴是直线.－b2a，4ac－b24ax＝－b2a3．二次函数y＝ax2＋bx＋c的最大(小)值规律：(1)自变量x的取值范围是全体实数，当x＝－b2a时，y最值＝4ac－b24a，当a0时，在x＝－b2a处取得最小值，当a0时，在x＝－b2a处取得最大值；(2)自变量x的取值范围是x1≤x≤x2.①x1≤－b2a≤x2，则当x＝－b2a时，y最值＝4ac－b24a；②当－b2ax2或－b2ax1时，函数的最值即为函数在x＝x1，x＝x2时的函数值，且较大的为最大值，较小的为最小值，最大值和最小值是同时存在的．归类探究类型之一求抛物线的顶点坐标求抛物线y＝－2x2－5x＋2的对称轴和顶点坐标．解：解法一(配方法)：∵y＝－2x2－5x＋2＝－2x2＋52x＋542－542＋2＝－2x＋542－2516＋2＝－2x＋542＋418，∴抛物线的对称轴是x＝－54，顶点坐标是－54，418.解法二(公式法)：∵y＝－2x2－5x＋2中的a＝－2，b＝－5，c＝2，∴－b2a＝－－52×－2＝－54，4ac－b24a＝4×－2×2－－524×－2＝418，∴抛物线的对称轴是x＝－54，顶点坐标是－54，418.类型之二运用二次函数的性质解决实际问题有一条长为7.2m的木料，做成如图22­1­17的“目”字形的窗框，窗的高和宽各取多少米时，这个窗的面积最大？(不考虑木料加工时的损耗和木框本身所占的面积)图22­1­17解：设窗的高为xm，则宽为14(7.2－2x)m，设窗的面积为Sm2.由题意得S＝x·14(7.2－2x)，即S＝－12x2＋1.8x＝－12(x－1.8)2＋1.62，∴当x＝1.8时，S的值最大，S的最大值为1.62.当x＝1.8时，14(7.2－2x)＝14×(7.2－3.6)＝0.9，即当窗的高为1.8m，宽为0.9m时，窗的面积最大．当堂测评1．[2018·攀枝花]抛物线y＝x2－2x＋2的顶点坐标为()A．(1,1)B．(－1,1)C．(1,3)D．(－1,3)A2．[2018·成都]关于二次函数y＝2x2＋4x－1，下列说法正确的是()A．图象与y轴的交点坐标为(0,1)B．图象的对称轴在y轴的右侧C．当x0时，y的值随x值的增大而减小D．y的最小值为－33．[2017·邵阳]若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则a的值可能是.(写一个即可)D－1分层作业1．[2018·上海]下列对二次函数y＝x2－x的图象的描述，正确的是()A．开口向下B．对称轴是y轴C．经过原点D．在对称轴右侧部分的图象是下降的C2．[2018·南宁]将抛物线y＝12x2－6x＋21向左平移2个单位长度后，得到新抛物线的解析式为()A．y＝12(x－8)2＋5B．y＝12(x－4)2＋5C．y＝12(x－8)2＋3D．y＝12(x－4)2＋3D【解析】方法一：先把解析式配方为顶点式，再把顶点平移．抛物线y＝12x2－6x＋21可配方成y＝12(x－6)2＋3，顶点坐标为(6,3)．∵图象向左平移2个单位长度，∴顶点向左平移2个单位长度，即新的顶点坐标变为(4,3)，而开口方向、大小不变，于是新抛物线的解析式为y＝12(x－4)2＋3.方法二：直接运用函数图象左右平移的“左加右减”法则．向左平移2个单位长度，即原来解析式中所有的“x”均要变为“x＋2”，于是新抛物线的解析式为y＝12(x＋2)2－6(x＋2)＋21，整理，得y＝12x2－4x＋11.配方，得y＝12(x－4)2＋3.3．二次函数图象上部分点的坐标对应值列表如下：x…－3－2－101…y…－3－2－3－6－11…则该函数图象的对称轴是()A．直线x＝－3B．直线x＝－2C．直线x＝－1D．直线x＝04．[2017·广州]当x＝时，二次函数y＝x2－2x＋6有最小值.5．已知点A(4，y1)，B(2，y2)，C(－2，y3)都在二次函数y＝(x－2)2－1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是.B15y2y1y36．指出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，并判断抛物线有最大值还是最小值．(1)y＝x2－4x＋5；(2)y＝－14x2－32x＋4；(3)y＝－3x2－2x＋1；(4)y＝－12x2＋2x＋1.解：(1)y＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1，∵a＝10，∴开口向上，对称轴x＝2，顶点(2,1)，y有最小值．(2)y＝－14x2－32x＋4＝－14(x＋3)2＋254，∵a＝－140，∴开口向下，对称轴x＝－3，顶点－3，254，y有最大值．7．[2017·宁波]抛物线y＝x2－2x＋m2＋2(m是常数)的顶点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限8．已知二次函数y＝x2－4x＋3.(1)用配方法求函数的顶点C的坐标，并描述该函数的函数值随自变量的增减而增减的情况；(2)求函数图象与x轴的交点A，B的坐标，及△ABC的面积．A解：(1)y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，∴函数的顶点C的坐标为(2，－1)，∴当x≤2时，y随x的增大而减小；当x2时，y随x的增大而增大．(2)令y＝0，则x2－4x＋3＝0，解得x1＝1，x2＝3，∴当点A在点B左侧时，A(1,0)，B(3,0)；当点A在点B右侧时，A(3,0)，B(1,0)．∴AB＝1－3＝2，过点C作CD⊥x轴于点D，∴△ABC的面积＝12AB·CD＝12×2×1＝1.9．[2018·黄冈]当a≤x≤a＋1时，函数y＝x2－2x＋1的最小值为1，则a的值为()A．－1B．2C．0或2D．－1或2D【解析】y＝x2－2x＋1＝(x－1)2，该函数在实数范围内的最小值为0，但当a≤x≤a＋1时，函数y＝x2－2x＋1的最小值为1，因此，当x＝a或x＝a＋1时，函数值为1.令y＝1，可得x1＝0，x2＝2，再由该函数的增减性可知a＋1＝0或a＝2，即a＝－1或2.故选D.