2019年秋九年级数学上册 第二十二章 二次函数 22.1 二次函数的图像和性质 22.1.1 二次

第二十二章二次函数22.1二次函数的图象和性质22.1.1二次函数学习指南知识管理归类探究分层作业当堂测评学习指南教学目标通过对多个实际问题的分析，让学生感受二次函数作为刻画现实世界有效模型的意义；通过观察和分析，让学生归纳二次函数的概念并能够根据函数特征识别二次函数．课堂导入(1)圆的半径是r(cm)时，面积S(cm2)与半径r(cm)之间的函数关系是什么呢？(2)一个边长为4cm的正方形，若它的边长增加xcm，则面积随之增加ycm2，你能写出y关于x的函数解析式吗？(3)把一根40cm长的铁丝分成两段，再分别把每一段弯折成一个正方形．设其中一段铁丝的长为xcm，两个正方形的面积和为ycm2，你能写出y关于x的函数解析式吗？知识管理二次函数的定义二次函数：一般地，形如的函数，叫做二次函数．其中，x是自变量，分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项．y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)a，b，c注意：(1)在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a≠0是必要条件，不可忽视；(2)b，c可以为任何实数；(3)定义中的二次函数是关于x的二次整式，切不可把类似“y＝x2＋1x＋3”的式子也当成二次函数．归类探究类型之一二次函数的识别和应用有下列函数：①y＝x2＋8；②y＝2x(1－x)；③y＝ax2＋bx＋c;④y＝3x2＋3x2；⑤y＝(m2＋1)x2－x＋3;⑥y＝2x2－12x(4x－3)．其中一定是二次函数的有(填序号)．①②⑤【解析】判别一个函数是否为二次函数，在关系式是整式的前提下，如果关系式化简后能写成y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的形式，那么这个函数就是二次函数，否则就不是二次函数．∵②y＝2x－2x2，③中a无限制条件，可能为0，④中3x2是分式，⑤m2＋1≠0，⑥y＝32x，∴①②⑤是二次函数．【点悟】二次函数的识别必须先把函数的解析式化成一般形式，再结合二次函数的定义判断．填空：(1)若y＝(k－2)x2＋3是二次函数，则k；(2)若y＝(1＋k)xk2－k＋2是关于x的二次函数，则k＝.≠22【解析】(1)由题意，得k－2≠0，∴k≠2；(2)由题意，得k2－k＝2，1＋k≠0，∴k＝2.类型之二实际问题中的二次函数如图22­1­1，小亮家去年建了一个周长为80m的矩形养鱼池．图22­1­1(1)如果设矩形的一边长为xm，那么另一边的长为m.(2)如果设矩形的面积为ym2，那么用x表示y的表达式为y＝，写成一般形式为y＝.(40－x)x(40－x)－x2＋40x(3)根据上面得到的表达式填写下表：x5101520253035y175300375400375300175(4)请指出上表中x为何值时，矩形的面积y最大，最大值为多少？解：当x＝20时，矩形的面积y最大，y的最大值为400.当堂测评1．[2017·七里河]下列函数，是二次函数的有()①y＝1－2x2；②y＝1x2；③y＝x(1－x)；④y＝(1－2x)(1＋2x)．A．1个B．2个C．3个D．4个C2．二次函数y＝2x(x－3)的解析式中的二次项系数与一次项系数的和为()A．2B．－2C．－1D．－43．把一根长为50cm的铁丝弯成一个矩形，设这个矩形的一边长为xcm，它的面积为ycm2，则y与x之间的函数关系式为()A．y＝－x2＋50xB．y＝x2－50xC．y＝－x2＋25xD．y＝－2x2＋25DC4．二次函数y＝2(x＋2)2－3的二次项系数是，一次项系数是，常数项是.285分层作业1．[2018·成都模拟]下列函数，二次函数是()A．y＝－2x－1B．y＝2x2C．y＝1xD．y＝ax2＋bx＋cB2．如图22­1­2，在直径为20cm的圆形铁片中，挖去了四个半径都为xcm的圆，剩余部分的面积为ycm2，则y与x之间的函数关系式为()图22­1­2A．y＝400π－4πx2B．y＝100π－2πx2C．y＝100π－4πx2D．y＝200π－2πx2C3．已知函数y＝(a＋2)x2＋x－3是关于x的二次函数，则实数a的取值范围是.4．如图22­1­3，在一幅长50cm、宽30cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂画，设整个挂画总面积为ycm2，金色纸边的宽为xcm，则y与x的关系式是.图22­1­3a≠－2y＝4x2＋160x＋15005．已知正方形的面积为ycm2，周长为xcm.(1)请写出y与x之间的函数解析式．(2)判断y是否为x的二次函数．若是，请指出各项系数及常数项．解：(1)由题意，得y＝x42＝x216.(2)y是x的二次函数，二次项系数为116，一次项系数为0，常数项为0.6．已知函数y＝(k2－4)x2＋(k＋2)x＋3.(1)当k时，它是二次函数；(2)当k时，它是一次函数．≠±2＝2【解析】根据一次函数、二次函数的定义求解．(1)当k2－4≠0，即k≠±2时，它是二次函数；(2)由题意，得k2－4＝0，k＋2≠0，∴k＝±2，k≠－2，∴k＝2.7．如图22­1­4，已知等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为20cm，AC与MN在同一直线上，开始时点A与点N重合，让△ABC以2cm/s的速度向左运动，最终点A与点M重合，求重叠部分面积y与时间t之间的函数关系式．图22­1­4解：∵AM＝20－2t，∴重叠部分面积y＝12AM2＝12(20－2t)2，∴y＝12(20－2t)2(0≤t≤10)．8．[2017·内蒙古改编]某广告公司设计一幅周长为16m的矩形广告牌，广告设计费为2000元/m2.设矩形一边长为xm，面积为Sm2.(1)求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．(2)设计费能达到24000元吗？为什么？(3)估计当x是多少米时，设计费最多？最多是多少元？解：(1)∵矩形一边长为xm，周长为16m，∴另一边长为(8－x)m，∴S＝x(8－x)＝－x2＋8x，其中，0x8.(2)能，理由是：∵设计费为2000元/m2，∴当设计费为24000元时，面积为24000÷2000＝12(m2)，即－x2＋8x＝12，解得x1＝2，x2＝6，∴设计费能达到24000元．(3)x1234567S712151615127∴当x＝4时，S最大值＝16，∴16×2000＝32000，∴当x是4m时，矩形的最大面积为16m2，设计费最多，最多是32000元．9．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元．为了扩大销量、增加赢利，商场决定采取适当降价的措施．经调查发现，一件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设一件衬衫降价x元(x为整数)，每天赢利y元．(1)用含x的代数式表示y，并写出x的取值范围；(2)分别计算当x＝2,20时y的值．解：(1)根据题意，得y＝(40－x)(20＋2x)．∵x≥0，40－x≥0，∴0≤x≤40(x为整数)．故y＝(40－x)(20＋2x)，其中0≤x≤40(x为整数)．(2)令x＝2，则y＝(40－2)×(20＋2×2)＝38×24＝912.令x＝20，则y＝(40－20)×(20＋2×20)＝20×60＝1200.故当x＝2时，y＝912；当x＝20时，y＝1200.