2019年秋九年级数学上册 3.4 相似三角形的判定与性质 3.4.1 第3课时 相似三角形的判定定

第3章图形的相似3.4相似三角形的判定与性质3．4.1相似三角形的判定第3课时相似三角形的判定定理2学习指南知识管理归类探究分层作业当堂测评学习指南★本节学习主要解决下列问题★两边成比例且夹角相等的两个三角形相似此内容为本节的重点．本节【归类探究】中所有例题，【当堂测评】与【分层作业】中所有练习都是为此设计的．★课堂导入★如图，现用一个交叉卡钳(两条尺长AC和BD相等，OC＝OD)量某工件的内孔直径AB.若OCOA＝12.如果测得CD＝10，那么AB＝2×10＝20.你知道这是为什么吗？知识管理相似三角形的判定定理2定理：两边且相等的两个三角形相似．特别注意：(1)有两边对应成比例且一角相等的两个三角形不一定相似；(2)必须是相等．成比例夹角夹角归类探究类型相似三角形的判定定理2[2018秋·灌云县期末]如图3­4­30，在正方形ABCD中，E是AD的中点，点F在CD上，且CF＝3FD.图3­4­30(1)求证：△ABE∽△DEF.(2)△ABE与△BEF相似吗？为什么？(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，∴∠A＝∠D＝90°，AB＝AD＝CD.设AB＝AD＝CD＝4a.∵E为边AD的中点，CF＝3FD，∴AE＝DE＝2a，DF＝a，∴ABDE＝4a2a＝2，AEDF＝2aa＝2，∴ABDE＝AEDF.又∵∠A＝∠D＝90°，∴△ABE∽△DEF.(2)∵△ABE∽△DEF，∴EFBE＝DEAB＝12，∠AEB＝∠DFE，∠ABE＝∠DEF.∵∠AEB＋∠ABE＝90°，∴∠AEB＋∠DEF＝90°，∴∠BEF＝90°.又∵AEAB＝12，∠A＝90°，∴AEAB＝EFBE＝12，∠A＝∠BEF＝90°.∴△ABE∽△EBF.【点悟】要证两个三角形相似，当已知条件只有一组对角相等，且已知相等角的夹边的关系时，可考虑用“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”去证明．[2018秋·鄞州区期中]如图3­4­31，在△ABC中，AB＝4cm，BC＝8cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，经几秒后，点P，B，Q构成的三角形与△ABC相似？图3­4­31解：设经过ts后，两三角形相似，则AP＝t，PB＝4－t，BQ＝2t.∵∠B是公共角，∴当PBAB＝BQBC或PBBC＝BQAB时，两三角形相似．①当PBAB＝BQBC时，4－t4＝2t8，∴t＝2.②当PBBC＝BQAB时，4－t8＝2t4，∴t＝0.8.故经过0.8s或2s后，以点P，B，Q构成的三角形与△ABC相似．【点悟】以点P，B，Q为顶点的三角形与△ABC相似和△PBQ∽△ABC是不同的，前者的对应关系不唯一，要分情况讨论，后者的对应关系是唯一的．当堂测评1．如图3­4­32，已知∠C＝∠E，则不一定能使△ABC∽△ADE的条件是()A．∠BAD＝∠CAEB．∠B＝∠DC.BCDE＝ACAED．ABAD＝ACAED图3­4­322．如图3­4­33，AC与BD相交于点O，在△AOB和△DOC中，已知OAOD＝OBOC，又因为，则可证明△AOB∽△DOC.图3­4­33∠AOB＝∠DOC3．如图3­4­34，AB与CD相交于点O，OA＝3，OB＝5，OD＝6.当OC＝________时，图中的两个三角形相似．图3­4­34185或52分层作业1．[2018秋·郫都区期中]如图3­4­35，下列条件中不能判定△ACD∽△ABC的是()BA．∠ADC＝∠ACBB．ABBC＝ACCDC．∠ACD＝∠BD．AC2＝AD·AB图3­4­352．如图3­4­36，△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6.将△ABC沿下面图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是()图3­4­36C3．[2018·临安]如图3­4­37，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是()图3­4­37B4．如图3­4­38，要使△ABC与△DBA相似，则只需添加一个适当的条件是：______________________.图3­4­38ABDB＝BCBA(答案不唯一)5．[2018·相山区四模]如图3­4­39，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝2，以AC为边作△ACE，∠ACE＝90°，AC＝CE，延长BC至点D，使CD＝5，连接DE.求证：△ABC∽△CED.图3­4­39证明：∵∠B＝90°，AB＝4，BC＝2，∴AC＝22＋42＝25，∴CE＝AC＝25.∵ABCE＝425＝255，ACCD＝255，∴ABCE＝ACCD.∵∠B＝90°，∠ACE＝90°，∴∠BAC＋∠BCA＝90°，∠BCA＋∠ECD＝90°.∴∠BAC＝∠ECD，∴△ABC∽△CED.6．[2018秋·娄底月考]如图3­4­40，在平面直角坐标系中，已知点A(0,6)，B(8,0)．点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿AO运动，同时，点Q从点O出发以每秒2个单位的速度沿OB运动，当点Q到达点B时，P，Q两点同时停止运动．当经过多少秒时，Rt△POQ与Rt△AOB相似？图3­4­40解：∵A(0,6)，B(8,0)，∴OA＝6，OB＝8，PO＝6－t，OQ＝2t.若Rt△POQ∽Rt△AOB，则POAO＝OQOB，即6－t6＝2t8，解得t＝125；若Rt△QOP∽Rt△AOB，则QOAO＝OPOB，即2t6＝6－t8，解得t＝1811.∴当经过125s或1811s时，Rt△POQ与Rt△AOB相似．7．如图3­4­41，先把一矩形纸片ABCD对折，折痕为MN，再把点B叠在折痕线上，得到△ABE.过点B折纸片使点A叠在直线CD上，得折痕PQ.图3­4­41(1)求证：△PBE∽△QAB.(2)你认为△PBE和△BAE相似吗？如果相似，请给出证明；若不相似，请说明理由．(1)证明：∵∠PBE＋∠ABQ＝90°，∠PBE＋∠BEP＝90°，∴∠ABQ＝∠BEP.在△PBE与△QAB中，∵∠BEP＝∠ABQ，∠BPE＝∠AQB＝90°，∴△PBE∽△QAB.(2)解：△PBE∽△BAE.证明：∵△PBE∽△QAB，∴BEAB＝PEQB.∵QB＝BP，∴BEAB＝PEBP，∴BEPE＝ABBP.又∵∠EPB＝∠EBA＝90°，∴△PBE∽△BAE.