2019年秋九年级数学上册 2.5 一元二次方程的应用 第2课时 几何图形问题课件 （新版）湘教版

第2章一元二次方程2.5一元二次方程的应用第2课时几何图形问题学习指南知识管理归类探究分层作业当堂测评学习指南★本节学习主要解决下列问题★1．面积问题此内容为本节的重点．为此设计了【归类探究】中的例1；【当堂测评】中的第1,3题；【分层作业】中的第1,2,3题．2．动态几何问题此内容为本节的难点．为此设计了【归类探究】中的例2；【当堂测评】中的第2题；【分层作业】中的第4题．★课堂导入★下面是我国南宋数学家杨辉1275年提出的一个问题：“直田积(矩形面积)八百六十四步(平方步)，只云阔(宽)不及长一十二步(宽比长少一十二步)，问阔及长各几步？”答：“阔二十四步，长三十六步．”这里，我们不谈杨辉的解法，你能用已学过的知识解决上面的问题吗？知识管理几何图形问题常用公式：(1)S矩形＝长×宽；(2)S梯形＝上底＋下底2×高；(3)勾股定理：a2＋b2＝c2；(4)S正方形＝边长×边长；(5)V长方体＝长×宽×高．转化策略：(1)几何图形问题中，常将不规则图形进行平移、分割或组合成规则图形，找出各部分的面积关系，再运用规则图形的面积公式求解；(2)对于动态几何问题，常将动态的过程进行静态处理，在“静”的状态下分析图中的数量关系，然后根据相关公式列方程求解即可．归类探究类型之一面积问题[2018秋·宁都县期中]如图2­5­2，某小区有一块长21m，宽8m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为60m2.两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．求人行通道的宽度．图2­5­2解：设人行通道的宽度为xm，则两块绿地可合成长为(21－3x)m、宽为(8－2x)m的矩形．根据题意，得(21－3x)(8－2x)＝60，整理，得x2－11x＋18＝0，解得x1＝2，x2＝9.∵当x＝9时，21－3x＝－6,8－2x＝－10，不合题意，舍去，∴x＝2.答：人行通道的宽度为2m.【点悟】正确表示出两块绿地部分的长和宽是解本题的关键．列方程解决实际生活问题时要注意判断所求的解是否符合题意，要舍去不合题意的解．类型之二动态几何问题[2018秋·邗江区期中]如图2­5­3，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝6cm，点P从点A开始沿AB边向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿BC边向终点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为ts.图2­5­3(1)填空：BQ＝cm，PB＝cm(用含t的代数式表示)．(2)当t为何值时，PQ的长度等于5cm?(3)是否存在P，Q两点的运动时间为ts时，△PBQ的面积等于4cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．2t(5－t)解：(2)在Rt△PBQ中，由勾股定理，得(2t)2＋(5－t)2＝52，解得t1＝0，t2＝2.答：当t等于0或2时，PQ的长度等于5cm.(3)存在．由题意，得2t5－t2＝4.解得t1＝1，t2＝4(不符合题意，舍去)．∴当t＝1时，△PBQ的面积等于4cm2.【点悟】本题是一个与一元二次方程有关的动态几何问题，动态问题的常用解题策略是“化动为静”，即将动态问题静态化处理．当堂测评1．[2018秋·高邮市校级月考]某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为30m的篱笆围成，已知墙长为18m(如图2­5­4所示)，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为xm．若苗圃园的面积为72m2，则x为()A．12B．10C.15D．8A图2­5­42．如图2­5­5，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm.动点P，Q分别从点A，B同时开始移动，点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动．下列P，Q移动的时间中，能使△PBQ的面积为15cm2的是()图2­5­5A．2sB．3sC.4sD．5sB3．[2018秋·郓城县期中]一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如图2­5­6所示，它的长为8m，宽为5m．如果地毯中央矩形图案的面积为18m2，则花边的宽是m.图2­5­61分层作业1．[2018秋·胶州市期末]如图2­5­7，一块长和宽分别为30cm和20cm的矩形铁皮，要在它的四角截去四个边长相等的小正方形，折成一个无盖的长方体盒子，使这个长方体盒子的侧面积为272cm2，则截去的正方形的边长是()CA．4cmB．8.5cmC．4cm或8.5cmD．5cm或7.5cm图2­5­72．如图2­5­8，在长15m、宽10m的矩形场地ABCD上，建有三条同样宽的人行道，其中一条与AD平行，另两条与AB平行，其余的部分为草坪．已知草坪的总面积为126m2，求人行道的宽度．图2­5­8解：设人行道的宽度为xm，根据题意得(15－x)(10－x)＝126，解得x1＝24(不合题意，舍去)，x2＝1.答：人行道的宽度为1m.3．[2018秋·鼓楼区校级月考]如图2­5­9，现打算用60m的篱笆围成一个“日”字形菜园ABCD(含隔离栏EF)，花园的一面靠墙MN，墙MN可利用的长度为25m．(篱笆的宽度忽略不计)图2­5­9(1)花园面积可能是252m2吗？若可能，求边AB的长；若不可能，说明理由．(2)花园面积可能是330m2吗？若可能，求边AB的长；若不可能，说明理由．解：设AB的长为xm，则BC的长为(60－3x)m.(1)由题意，得x(60－3x)＝252，解得x＝6或x＝14.当x＝6时，BC＝60－18＝4225，不合题意，舍去；当x＝14时，BC＝60－42＝1825，满足题意．∴花园面积可能是252m2，此时边AB的长为14m.(2)由题意，得x(60－3x)＝330，整理，得(x－10)2＝－10，即方程没有实数根，∴花园的面积不可能是330m2.4．[2018秋·玄武区期中]如图2­5­10，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，点P从点A开始沿射线AC向点C以2cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点C开始沿边CB向点B以1cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，C同时出发，运动的时间为ts，当点Q运动到点B时，两点停止运动．图2­5­10(1)当点P在线段AC上运动时，P，C两点之间的距离为cm(用含t的代数式表示)．(2)在运动的过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积是△ABC面积的16？若存在，求t的值；若不存在，说明理由．(6－2t)解：(1)∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，∴由勾股定理，得AC＝6cm.又∵点P从点A开始沿射线AC向点C以2cm/s的速度移动，∴AP＝2tcm，∴当点P在线段AC上运动时，P，C两点之间的距离为(6－2t)cm.(2)△ABC的面积为S△ABC＝12×6×8＝24(cm2)，①当0t3时，PC＝6－2t，QC＝t，∴S△PCQ＝12PC·QC＝12t(6－2t)，∴12t(6－2t)＝4，即t2－3t＋4＝0.∵Δ＝b2－4ac＝－70，∴该一元二次方程无实数根，∴当0t3时，不存在满足条件的时刻．②当3t≤8时，PC＝2t－6，QC＝t，∴S△PCQ＝12PC·QC＝12t(2t－6)，∴12t(2t－6)＝4，即t2－3t－4＝0，解得t＝4或t＝－1(舍去)．综上所述，当t＝4时，△PCQ的面积是△ABC面积的16.