第2章一元二次方程2.2一元二次方程的解法2.2.2公式法学习指南知识管理归类探究分层作业当堂测评学习指南★本节学习主要解决下列问题★1.求根公式此内容为本节的重点.为此设计了【归类探究】中的例1;【当堂测评】中的第2题;【分层作业】中的第1,9题.2.用公式法解一元二次方程此内容为本节的重点.为此设计了【归类探究】中的例2;【当堂测评】中的第1,3题;【分层作业】中的第2,3,4,5,6,7,8题.★课堂导入★如果一个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0(a≠0),你能否用配方法求出它的两根?请同学们独立完成下面这个问题.问题:已知ax2+bx+c=0(a≠0)且b2-4ac≥0,试推导它的两个根x1=-b+b2-4ac2a,x2=-b-b2-4ac2a.知识管理求根公式与公式法定义:对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),当b2-4ac≥时,它的根是x=,这个式子称为一元二次方程的求根公式,这种运用一元二次方程的求根公式直接求一元二次方程的解的方法,叫作.0-b±b2-4ac2a公式法步骤:(1)把方程化成一般形式,确定a,b,c的值;(2)求出b2-4ac的值;(3)若b2-4ac≥0,则把a,b及b2-4ac的值代入求根公式中,求出x1,x2;若b2-4ac0,则此方程无实数根.归类探究类型之一求根公式用公式法解方程3x2+4=12x,下列求根公式正确的是()A.x=12±122-3×42B.x=-12±122-4×3×42×3C.x=12±122+3×42D.x=--12±-122-4×3×42×3D【点悟】应用求根公式时,先应将方程化为一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a≠0).类型之二用公式法解一元二次方程用公式法解下列方程:(1)x2-43x+10=0;(2)[2018·兰州]3x2-2x-2=0;(3)x2+3=22x.解:(1)∵a=1,b=-43,c=10,b2-4ac=(-43)2-4×1×10=80,∴x=--43±82×1=43±222=23±2,∴x1=23+2,x2=23-2.(2)∵a=3,b=-2,c=-2,b2-4ac=(-2)2-4×3×(-2)=280,∴x=--2±282×3=1±73,∴x1=1+73,x2=1-73.(3)将方程化成一般形式为x2-22x+3=0.∵a=1,b=-22,c=3,b2-4ac=(-22)2-4×1×3=8-12=-40,∴原方程没有实数根.【点悟】用公式法解一元二次方程,应先确定a,b,c的值,注意系数前的符号,然后计算b2-4ac的值来判断方程是否有实数根.若有实数根,再代入求根公式求解.当堂测评1.[2018秋·江油市月考]方程x2+x-1=0的其中一个根是()A.1-5B.1-52C.-1+5D.-1+52D2.方程2x2-x-3=0中,a=,b=,c=,b2-4ac=,两根是x1=-1,x2=32.2-1-3253.解方程x2=3x+2时,有一位同学的解答过程如下:∵a=1,b=3,c=2,b2-4ac=32-4×1×2=1,∴x=-b±b2-4ac2a=-3±12,∴x1=-1,x2=-2.请你分析以上解答过程有无错误,如有错误,请指出错误的地方,并写出正确的解答过程.解:错误之处在于他没有先把方程化成一般形式.正确解法为:将方程化为一般形式x2-3x-2=0.∵a=1,b=-3,c=-2,b2-4ac=(-3)2-4×1×(-2)=17,∴x=-b±b2-4ac2a=--3±172×1=3±172,∴x1=3+172,x2=3-172.分层作业1.[2018秋·富川县校级月考]用公式法解一元二次方程3x2+3=-2x时,首先要确定a,b,c的值,下列叙述正确的是()A.a=3,b=2,c=3B.a=-3,b=2,c=3C.a=3,b=2,c=-3D.a=3,b=-2,c=32.一元二次方程x2+22x-6=0的根是()A.x1=x2=2B.x1=0,x2=-22C.x1=2,x2=-32D.x1=-2,x2=32AC3.已知一元二次方程x2-x-3=0的较小根为x1,则下面对x1的值估计正确的是()A.-2x1-1B.-3x1-2C.2x13D.-1x10A【解析】x2-x-3=0,b2-4ac=(-1)2-4×1×(-3)=13,∴x=1±132,方程的较小根是1-132.∵3134,∴-3-13-4,∴-11-132-32,比较选项,只有A符合,故选A.4.一元二次方程x2-2x-3=0的解为.5.用公式法解方程2x2-7x+1=0,其中b2-4ac=,x1=,x2=.x1=3,x2=-1417+4147-4146.用公式法解下列方程:(1)[2018·梧州]2x2-4x-30=0;(2)x2-6x+1=0.解:(1)∵a=2,b=-4,c=-30,∴b2-4ac=(-4)2-4×2×(-30)=256.∴x=--4±2562×2=4±164.∴x1=5,x2=-3.(2)∵a=1,b=-6,c=1,∴b2-4ac=(-6)2-4×1×1=2,∴x=6±22×1,∴x1=6+22,x2=6-22.7.先化简,再计算:x2-1x2+x÷x-2x-1x,其中x是一元二次方程x2-x-2=0的正数根.解:原式=x+1x-1xx+1÷x2-2x+1x=x-1x·xx-12=1x-1.解方程x2-x-2=0,得x1=20,x2=-10,∴x=2,∴原式=12-1=11=1.8.已知关于x的一元二次方程(m-1)x2-2mx+m+1=0.(1)求出方程的根.(2)m为何整数时,此方程的两个根都为正整数?解:(1)根据题意,得m≠1,b2-4ac=(-2m)2-4(m-1)(m+1)=4,∴x=-b±b2-4ac2a=2m±22m-1=m±1m-1.∴x1=m+1m-1,x2=1.(2)由(1)知,x1=m+1m-1=1+2m-1.∵方程的两个根都为正整数,∴m-1=1或m-1=2,解得m=2或m=3.即m为2或3时,此方程的两个根都为正整数.9.先阅读,再解题:(1)方程x2-x-6=0的根是x1=3,x2=-2,则x1+x2=1,x1x2=-6;(2)方程2x2-7x+3=0的根是x1=12,x2=3,则x1+x2=72,x1x2=32.根据(1)(2)你能否猜出:如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,且a,b,c为常数,b2-4ac≥0)有两根x1,x2,那么x1+x2,x1x2与系数a,b,c有什么关系?请写出你的猜想并说明理由.解:猜想方程ax2+bx+c=0(a≠0,且a,b,c为常数,b2-4ac≥0)的两根x1,x2满足x1+x2=-ba,x1x2=ca.理由:∵a≠0,b2-4ac≥0,∴x1=-b+b2-4ac2a,x2=-b-b2-4ac2a.∴x1+x2=-2b2a=-ba,x1x2=b2-b2-4ac4a2=4ac4a2=ca.