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1.6三角函数模型的简单应用课标要求:1.会用三角函数解决一些简单实际问题.2.体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.自主学习1.数学模型数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括,再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时,所得出的关于实际问题的数学描述.2.解决三角函数应用问题的一般步骤(1)审题阅读、理解用文字语言表述的实际问题的类型、思想内涵、问题的实质,初步预测所属数学模型.(2)建模将题中的非数学语言转化为数学语言,然后根据题意,设出变量,画出散点图,列出数量关系——建立三角函数模型.知识探究(3)解模运用三角函数的有关公式进行推理、运算,使问题得到解决.(4)还原评价对解出的结果要代入原问题中进行检验、评价.探究:怎样处理搜集到的数据?提示:画出图,分析数据的变化趋势,确定合适的函数模型.1.电流I(A)随时间t(s)变化的关系是I=3sin100πt,t∈[0,+∞),则电流I变化的周期是()自我检测A2.函数y=x+sin|x|,x∈[-π,π]的大致图象是()C(A)150(B)50(C)1100(D)100C(A)5(B)6(C)8(D)103.如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin（π6x+）+k,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为()4.有一小球从某点开始来回摆动,离开平衡位置的距离s(单位:cm)关于时间t(单位:s)的函数解析式是s=Asin(ωt+),函数图象如图所示.则函数的解析式为s=.答案:6sin（2πt+π6）(t≥0)5.函数f(x)=2cos(ωx+)(ω≠0)对任意x都有f（π4+x）=f（π4-x）,则f（π4）=.答案:±2题型一根据函数图象研究实际问题课堂探究【例1】如图表示电流强度I与时间t的关系I=Asin(ωt+)在一个周期内的图象.试根据图象写出I=Asin(ωt+)的解析式.解:由题图知,A=300.设t0=-1300,t1=1150,t2=160,因为T=t2-t0=160-（-1300）=150,所以ω=2πT100π.因为ω·（-1300）+=2kπ,k∈Z,所以=π3+2kπ,k∈Z,所以I=300sin（100πt+π3）(t≥0).误区警示利用待定系数法求出函数解析式,然后解决实际问题,求解时注意各变量的取值范围,为此,要在解析式后边注明函数的定义域.题型二根据收集的数据研究函数问题【例2】表中给出了在24小时期间某人的体温的变化(从夜间零点开始计时).时间x(时)024681012141618202224体温y(℃)36.836.736.636.736.837.037.237.337.437.337.237.036.8(1)选用一个三角函数来近似描述体温与时间之间的关系;解:(1)设y=Asin(ωx+)+B(A0,ω0),则37.4,36.6,ABAB解得0.4,37.AB因为T=24,所以2π=24,所以ω=π12.当x=4时,ymin=36.6,所以4×π12+=2kπ-π2,k∈Z.所以=2kπ-π2-π3=2kπ-56π,k∈Z.所以可以取-56π.所以y=0.4sin(π12x-5π6)0+37,(0≤x24).(2)画出(1)中所选函数的图象.解:(2)函数图象如图所示.方法技巧建立三角函数模型解决实际问题的步骤:(1)根据已知数据画散点图.(2)由散点图确定函数模型.(3)待定系数法求各参数,确定函数模型的表达式.(4)注明定义域.即时训练2-1:某港口水深y(m)是时间t(0≤t≤24,单位:h)的函数,记作y=f(t),下面是某日水深的数据.t/h03691215182124y/m10.013.09.97.010.013.09.97.010.0经长期观察,y=f(t)的曲线可近似地看成是函数y=Asinωt+b的图象.解:(1)由已知数据,描出曲线如图.(1)试根据以上数据,求出函数y=f(t)的近似解析式;易知函数y=f(t)的周期T=12,振幅A=3,b=10,所以ω=2πT=π6,所以y=3sinπ6t+10.(2)一般情况下,船舶航行时,船底高出海底的距离为5m或5m以上时认为是安全的(船舶停靠时,船底只需不碰海底即可),某船吃水深度(船底离水面的距离)为6.5m,如果该船希望在同一天内安全进出港,那么它至多能在港内停留多长时间?(忽略进出港所需的时间)解:(2)由题意,该船进出港时,水深应不小于5+6.5=11.5(m),由y≥11.5,得3sinπ6t+10≥11.5,所以sinπ6t≥12.①因为0≤t≤24,所以0≤π6t≤4π,②由①②得π6≤π6t≤5π6或13π6≤π6t≤17π6.化简得1≤t≤5或13≤t≤17.所以该船可以在凌晨1点进港,5点出港或在13点进港,17点出港,每次至多可以在港内停留4小时.