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1.4.3正切函数的性质与图象课标要求:1.能画出y=tanx的图象.2.理解正切函数在(-π2,π2)上的性质.3.会求正切函数的定义域、值域,以及与正切函数有关的函数的周期、单调区间.1.函数y=tanx的图象和性质自主学习知识探究解析式y=tanx图象定义域{x|x∈R,x≠π2+kπ,k∈Z}值域R奇偶性奇函数单调性在内都是增函数探究1:正切函数y=tanx在定义域内是增函数吗?提示:不是.(kπ-π2,kπ+π2),k∈Z2.正切函数图象的对称性正切函数y=tanx是最小正周期为π的奇函数,点(π2k,0)(k∈Z)都是对称中心.探究2:函数y=Atan(ωx+)+B(A0,ω0)的最小正周期为多少?提示:T=π.1.函数f(x)=tan)(x+π6)的定义域是()(A){x|x∈R,x≠kπ-π2,k∈Z}(B){x|x∈R,x≠kπ,k∈Z}(C){x|x∈R,x≠kπ+π6,k∈Z}(D){x|x∈R,x≠kπ+π3,k∈Z}自我检测D2.函数f(x)=tanωx(ω0)的图象的相邻两支截直线y=π4所得线段长为π4,则f(π4)的值是()(A)0(B)1(C)-1(D)π4A解析:由题意,可知T=π4,所以ω=ππ4=4,即f(x)=tan4x,所以f(π4)=tan(4×π4)=tanπ=0,故选A.3.若tan(2x-π3)≤1,则x的取值范围是()(A)π2k-π12≤x≤π12k+724π(k∈Z)(B)kπ-π12≤x≤kπ+724π(k∈Z)(C)2kπ-π12x≤π2k+724π(k∈Z)(D)kπ+π12x≤kπ+724π(k∈Z)C解析:由题意,-π2+kπ2x-π3≤π4+kπ(k∈Z),所以π2k-π12x≤π2k+724π(k∈Z),选C.答案:(π4k-π6,0),k∈Z4.函数y=tan(2x+π3)的图象的对称中心为.5.已知函数f(x)=Atan(ωx+)(ω0,||π2)的部分图象如图,则f(π24)=.答案:3题型一正切函数的定义域及值域课堂探究【例1】求下列函数的定义域和值域:(1)y=tan(x+π4);解:(1)由x+π4≠kπ+π2,k∈Z得,x≠kπ+π4,k∈Z,所以函数y=tan(x+π4)的定义域为{x|x≠kπ+π4,k∈Z},其值域为(-∞,+∞).(2)y=3tanx.解:(2)由3-tanx≥0得,tanx≤3.结合y=tanx的图象可知,在(-π2,π2)上,满足tanx≤3的角x应满足-π2x≤π3,所以函数y=3tanx的定义域为{x|kπ-π2x≤kπ+π3,k∈Z},其值域为[0,+∞).误区警示(1)求与正切函数有关的函数定义域要列出使各部分都有意义的不等式(组),列不等式组一定要全面,否则求出x的范围就不正确.(2)求值域要用换元的思想,把tanx看作可取任意实数的自变量,先注意x的范围,再确定tanx的范围.解析:(1)若使函数f(x)有意义,需使tanx-10,即tanx1.结合正切曲线,可得kπ+π4xkπ+π2(k∈Z).所以函数f(x)的定义域是(kπ+π4,kπ+π2)(k∈Z).即时训练1-1:(1)函数f(x)=1tan1x的定义域是;答案:(1)(kπ+π4,kπ+π2)(k∈Z)解析:(2)利用函数单调性求最值,确定函数值域,本题中,y1=sinx,y2=tanx均在区间[-π4,π4]内单调递增,所以函数y=sinx+tanx也在区间[-π4,π4]内单调递增,所以此函数在[-π4,π4]内的值域为[-22-1,22+1].答案:(2)[-22-1,22+1](2)函数y=sinx+tanx,x∈[-π4,π4]的值域为;解析:(3)由题意得tan10,1tan0,xx即-1≤tanx1.在(-π2,π2)内,满足上述不等式的x的取值范围是[-π4,π4).又y=tanx的周期为π,所以所求x的范围是[kπ-π4,kπ+π4),k∈Z.即为此函数的定义域.答案:(3)[kπ-π4,kπ+π4),k∈Z(3)函数y=tan1x+lg(1-tanx)的定义域为.题型二正切函数的单调性及其应用【例2】(1)求函数y=tan(12x-π4)的单调区间;解:(1)由kπ-π212x-π4kπ+π2,k∈Z得,2kπ-π2x2kπ+32π,k∈Z,所以函数y=tan（12x-π4）的单调递增区间是(2kπ-π2,2kπ+32π),k∈Z.(2)比较tan(-13π4)与tan（-12π5）的大小.解:(2)tan(-13π4)=tan(-3π-π4)=tan(-π4)=-tanπ4,Tan(-12π5)=-tan（2π+2π5）=-tan2π5,又0π42π5π2,而y=tanx在(0,π2)上单调递增,所以tanπ4tan2π5,-tanπ4-tan2π5,即tan(-13π4)tan(-12π5).方法技巧(1)求函数y=Atan(ωx+)(A,ω,都是常数)的单调区间的方法①若ω0,由于y=tanx在每一个单调区间上都是增函数,故可用“整体代换”的思想,令kπ-π2ωx+kπ+π2,求得x的范围即可.②若ω0,可利用诱导公式先把y=Atan(ωx+)转化为y=Atan[-(-ωx-)]=-Atan(-ωx-),即把x的系数化为正值,再利用“整体代换”的思想,求得x的范围即可.(2)运用正切函数单调性比较大小的方法①运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内.②运用单调性比较大小关系.即时训练2-1:(1)已知函数y=tanωx在区间(-π2,π2)内是减函数,则()(A)0ω≤1(B)-1≤ω0(C)ω≥1(D)ω≤-1(1)解析:因为函数y=tanωx在区间(-π2,π2)内是减函数,所以ω0且周期T≥π,即π≥π得-1≤ω0.故选B.(2)求函数y=3tan(π6-4x)的单调区间.(2)解:y=3tan(π6-4x)=-3tan(4x-π6),由kπ-π24x-π6kπ+π2,k∈Z,得4kπ-4π3x4kπ+8π3,k∈Z.所以y=3tan(π6-4x)的单调递减区间为(4kπ-4π3,4kπ+8π3),k∈Z.题型三正切函数的周期性解:函数y=3tan(4x+π4)的最小正周期为T=π4;f(x)=tanx+|tanx|=π0,π,π,2π2tan,π,π,2xkkxxkkk∈Z,【例3】求函数y=3tan（4x+π4）与函数f(x)=tanx+|tanx|的最小正周期.作出f(x)=tanx+|tanx|的简图,如图所示,易得函数f(x)=tanx+|tanx|的最小正周期T=π.方法技巧正切函数周期的求法一般地,函数y=Atan(ωx+)+B(A≠0,ω0)的最小正周期为T=π,常常使用此公式来求周期,也可以借助函数图象求周期.即时训练3-1:(1)直线y=a(a为常数)与正切曲线y=tanx相邻两交点间的距离是()(A)π(B)π2(C)2π(D)与a值有关解析:(1)画出正切曲线y=tanx及直线y=a,如图.观察图象可看出相邻两交点间的距离应为一个周期长度π.故选A.答案:(1)A(2)若函数f(x)=2cos（4x+π7）-1与函数g(x)=5tan(ax-1)+2的最小正周期相同,则实数a=.解析:(2)函数f(x)=2cos(4x+π7)-1的最小正周期为T=2π4=π2,所以函数g(x)=5tan(ax-1)+2的最小正周期也是π2,所以πa=π2,解得a=±2.答案:(2)±2题型四正切函数的奇偶性解:f(x)=tan|x|=πtan,0π,2πtan,0π,2xxxkxxxk且且k∈Z.【例4】求函数f(x)=tan|x|的定义域、值域,判断其奇偶性,并作其图象.可知,函数的定义域为{x|x∈R,且x≠kπ+π2,k∈Z},值域为R.因为f(-x)=tan|-x|=tan|x|=f(x),所以f(x)是偶函数.图象如图.题后反思由奇偶函数的定义知,只要定义域关于原点对称,y=f(|x|)总是偶函数,而y=|f(x)|就不一定是偶函数,但是f(x)为奇函数或偶函数时,y=|f(x)|也是偶函数.解:(1)函数y=|tanx|的定义域为{x|x≠kπ+π2,k∈Z},值域是[0,+∞),图象如图所示.由图象知,对称轴方程为x=π2k(k∈Z).即时训练4-1:(1)写出函数y=|tanx|的定义域、值域,画出图象,然后写出对称轴方程.解:(2)①函数定义域为{x|x≠π4+π2k,k∈Z}关于原点对称,f(-x)=3(-x)tan(-2x)-2(-x)4=3xtan2x-2x4=f(x),所以f(x)=3xtan2x-2x4是偶函数.(2)判断下列函数的奇偶性:①f(x)=3xtan2x-2x4;解:②函数定义域为{x|x≠π2+kπ,k∈Z}关于原点对称,f(x)=cos(π2-x)+tanx=sinx+tanx,所以f(-x)=sin(-x)+tan(-x)=-sinx-tanx=-f(x).所以f(x)=cos(π2-x)+tanx是奇函数.②f(x)=cos(π2-x)+tanx.