搜索
1.4三角函数的图象与性质1.4.1正弦函数、余弦函数的图象课标要求:1.了解正弦函数、余弦函数的图象.2.会用“五点法”画出正、余弦函数的图象.3.能利用正、余弦函数的图象解简单问题.自主学习正弦函数、余弦函数的图象知识探究函数图象五个关键点y=sinx(0,0),(π2,1),(π,0),(32π,-1),(2π,0)y=cosx(0,1),(π2,0),(π,-1),(32π,0),(2π,1)探究:用五点作图法作正弦函数、余弦函数的图象时如何确定五点?提示:y=sinx,x∈[0,2π]与y=cosx,x∈[0,2π]的图象上的5个关键点分为两类:①图象与x轴的交点;②图象上的最高点和最低点.其中,y=sinx,x∈[0,2π]与x轴有三个交点:(0,0),(π,0),(2π,0),图象上有一个最高点(π2,1),一个最低点(3π2,-1);y=cosx,x∈[0,2π]与x轴有两个交点:(π2,0),(3π2,0),图象上有两个最高点:(0,1),(2π,1),一个最低点(π,-1).2.函数y=1+cosx的图象()(A)关于x轴对称(B)关于y轴对称(C)关于原点对称(D)关于直线x=π2对称1.如图,函数y=2+sinx,x∈[0,2π]的简图是()自我检测BB3.cosx0,x∈[0,2π]的解集为()(A)(π2,32π)(B)[π2,32π](C)(π2,2π)(D)(0,π2）A4.用五点作图法作y=1-cosx,x∈[0,2π]的图象时,其中第二个关键点的坐标为.答案:(π2,1)5.函数f(x)的定义域为[0,1],则f(cosx)的定义域是.答案:{x|-π2+2kπ≤x≤π2+2kπ,k∈Z}题型一利用“五点法”作简图课堂探究解:列表x0π2π3π22πsinx010-101+2sinx131-11【例1】用“五点法”作出函数y=1+2sinx,x∈[0,2π]的图象.在直角坐标系中描出五点(0,1),(π2,3),(π,1),(3π2,-1),(2π,1),然后用光滑曲线顺次连接起来,就得到y=1+2sinx,x∈[0,2π]的图象.如图.方法技巧确定y=asinx+b(x∈[0,2π])图象上的五个点的思路①先在[0,2π]内取出y=sinx的图象与x轴的交点、y=sinx的图象的最高点、最低点,即(0,0),(π2,1),(π,0),(32π,-1),(2π,0).②进而获得y=asinx的图象相应的五个关键点,即(0,0),(π2,a),(π,0),(32π,-a),(2π,0).③各函数值加b,得到y=asinx+b的图象经过的五个关键点,即(0,b),(π2,a+b),(π,b),(32π,-a+b),(2π,b).解析:(1)列表x0π2π3π22πsinx010-101-sinx10121描点与选项比较,得选项B正确,故选B.即时训练1-1:(1)函数y=1-sinx,x∈[0,2π]的大致图象是()(2)用五点法作y=2sin2x的图象时,首先应描出的五点的横坐标可以是()(A)0,π2,π,3π2,2π(B)0,π4,π2,3π4,π(C)0,π,2π,3π,4π(D)0,π6,π3,π2,2π3解析:(2)令2x分别等于0,π2,π,3π2,2π,则x分别为0,π4,π2,3π4,π.故选B.题型二利用正、余弦函数图象解不等式【例2】利用正弦曲线,求满足12sinx≤32的x的集合.解:首先作出y=sinx在[0,2π]上的图象,如图所示,作直线y=12,根据特殊角的正弦值,可知该直线与y=sinx,x∈[0,2π]的交点横坐标为π6和5π6;作直线y=32,该直线与y=sinx,x∈[0,2π]的交点横坐标为π3和2π3.观察图象可知,在[0,2π]上,当π6x≤π3或2π3≤x5π6时,不等式12sinx≤32成立.所以12sinx≤32的解集为{x|π6+2kπx≤π3+2kπ,或2π3+2kπ≤x5π6+2kπ,k∈Z}.方法技巧用三角函数图象解三角不等式的方法(1)作出相应的正弦函数或余弦函数在[0,2π]上的图象;(2)写出适合不等式在区间[0,2π]上的解集;(3)根据公式一写出定义域内的解集.即时训练2-1:使不等式2-2sinx≥0成立的x的取值集合是()(A){x|2kπ+π4≤x≤2kπ+3π4,k∈Z}(B){x|2kπ+π4≤x≤2kπ+7π4,k∈Z}(C){x|2kπ-5π4≤x≤2kπ+π4,k∈Z}(D){x|2kπ+5π4≤x≤2kπ+7π4,k∈Z|解析:不等式可化为sinx≤22.法一作图,正弦曲线及直线y=22如图(1)所示.由图(1)知,不等式的解集为{x|2kπ-54π≤x≤2kπ+π4,k∈Z}.故选C.法二如图(2)所示不等式的解集为{x|2kπ-54π≤x≤2kπ+π4,k∈Z}.故选C.题型三正、余弦曲线与其他曲线的交点问题解:建立坐标系xOy,先用五点法画出函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象,再依次向左、右连续平移,得到y=sinx的图象.在同一坐标系内描出点(110,-1),(1,0),(10,1),并用光滑曲线连接得到y=lgx的图象.如图.由图象可知方程sinx=lgx的解有3个.【例3】判断方程sinx=lgx的解的个数.方法技巧(1)确定方程解的个数问题,常借助函数图象用数形结合的方法求解;(2)三角函数的图象是研究函数的重要工具,通过图象可较简便地解决问题,这正是数形结合思想方法的应用.即时训练3-1:(1)方程x2-cosx=0的实数解的个数是;解析:(1)在同一坐标系内画出y=x2与y=cosx的简图,易得交点个数是2个.答案:(1)2解析:(2)由题意知f(x)=sinx+2|sinx|=3sin,0,π,sin,π,2π.xxxx图象如图所示,若函数f(x)的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点,则由图可知k的取值范围是(1,3).(2)已知函数f(x)=sinx+2|sinx|,x∈[0,2π],若直线y=k与其仅有两个不同的交点,则k的取值范围为.答案:(2)(1,3)