2019年高中数学 第一章 三角函数 1.3 三角函数的诱导公式课件 新人教A版必修4

1.3三角函数的诱导公式课标要求:1.理解诱导公式二、三、四的推导方法.2.准确记忆诱导公式二、三、四,会用以上公式解决三角函数化简、求值、证明问题.3.借助单位圆推导出诱导公式五、六.4.掌握六组诱导公式并能灵活运用.自主学习1.三角函数的诱导公式(一～四)知识探究这组诱导公式可以概括成:f(2kπ+α)=f(α),k∈Z,f可以表示sin,cos,tan中任一种.(1)诱导公式二、三、四可以概括成:f(π+α)=±f(α),f(-α)=±f(α),f(π-α)=±f(α),其中等号右边的“±”号只取其一,规律口诀是“函数名不变,符号看象限”.例如sin(π+α)=-sinα,就是正弦函数名不改变,α看成锐角,则π+α为第三象限角,第三象限角的正弦为负,故符号取“-”.(2)上述诱导公式一至公式四都是为了化任意角成锐角α的,如果α为其他范围的角也都成立,这就是说,使用这些诱导公式,不必限定α为锐角,但是用口诀“函数名不变,符号看象限”时,都把α看成锐角记忆.探究:公式一～四都叫做诱导公式,它们分别反映了2kπ+α(k∈Z),π+α,-α,π-α的三角函数与α的三角函数之间的关系,你能概括一下这四组公式的共同特点和规律吗?提示:2kπ+α(k∈Z),π+α,-α,π-α的三角函数值,等于α的同名函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.简记为“函数名不变,符号看象限”.3.诱导公式六sin(π2+α)=,cos(π2+α)=.公式五和公式六概括如下:π2±α的正弦(余弦)函数值,分别等于α的余弦(正弦)函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.2.诱导公式五cos(π2-α)=,sin(π2-α)=.sinαcosαcosα-sinα1.2cos660的值为()(A)±32(B)32(C)-32(D)122.若sin(π-α)=log814,且α∈(-π2,0),则cos(π+α)的值为()(A)53(B)-53(C)±53(D)-23自我检测DB解析:因为sin(π-α)=sinα=log2232=-23,又α∈(-π2,0),所以cos(π+α)=-cosα=-21sin=-419=-53.3.已知sin(α-π4)=13,则cos(π4+α)的值为()(A)-13(B)13(C)-223(D)223A答案:151544.若α+β=π2,且sinα=15,则cosβ=;若sinα=14,且α是第二象限角,则sin(α+3π2)=.解析:由sinαcosβ=1,得sin1,cos1或sin1,cos1,所以α=2kπ+π2,β=2mπ或α=2kπ-π2,β=2mπ+π,k,m∈Z.所以2=(k+m)π+π4,k,m∈Z.所以cos2=±22.5.已知sinαcosβ=1,则cos2=.答案:±22题型一求任意角的三角函数值课堂探究【例1】(1)sin(-4π3)=;解析:(1)sin(-4π3)=-sin4π3=-sin(π+π3)=sinπ3=32.答案:(1)32(2)tan510cos210cos120tan600sin330=;解析:(2)tan510cos210cos120tan600sin330=tan360150cos18030cos120tan720600sin360330=tan150cos30cos120tan120sin30=331322132=-36.答案:(2)-36(3)下列三角函数,其中n∈Z.①sin(nπ+4π3);②cos(2nπ+π6);③sin(2nπ+π3);④cos(2nπ+π3),其中与sinπ3的值相同的是(填序号).解析:(3)①原式=sin[(n+1)π+π3]=±sinπ3,n为奇数时取“+”,n为偶数时取“-”,故不等于sinπ3.②cos(2nπ+π6)=cosπ6=sinπ3.③sin(2nπ+π3)=sinπ3.④cos(2nπ+π3)=cosπ3≠sinπ3.答案:(3)②③即时训练1-1:(1)sin4π3+tan7π6的值为()(A)36(B)-33(C)-36(D)33解析:(1)原式=-sinπ3+tanπ6=-32+33=-36.故选C.答案:(1)C解析:(2)原式=sin260°+(-1)+1-cos230°+sin30°=(32)2-(32)2+12=12.(2)sin2120°+cos180°+tan45°-cos2(-330°)+sin(-210°)=.答案:(2)12题型二已知三角函数值求相关角的三角函数值【例2】(1)若sin(π+α)=12,α∈(-π2,0),则tan(π-α)等于()(A)-12(B)-32(C)-3(D)33(1)解析:因为sin(π+α)=-sinα,根据条件得sinα=-12,又α∈（-π2,0）,所以cosα=21sin=32.所以tanα=sincos=-13=-33.所以tan(π-α)=-tanα=33.故选D.(2)解:sin（α+2π3）=sin[π2+(α+π6)]=cos(α+π6)=35.(2)已知cos(α+π6)=35,求sin（α+2π3）的值.方法技巧(1)解决条件求值问题的方法①解决条件求值问题,首先要仔细观察条件与所求式的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系.②可以将已知式进行变形向所求式转化,或将所求式进行变形向已知式转化.(2)角的转化方法①对于负角的三角函数求值,可先利用诱导公式三,化为正角的三角函数.若转化之后的正角大于360°,再利用诱导公式一,化为0°到360°间的角的三角函数.②当化成的角是90°到180°间的角时,再利用180°-α的诱导公式化为0°到90°间的角的三角函数.③当化成的角是270°到360°间的角时,则利用360°-α及-α的诱导公式化为0°到90°间的角的三角函数.即时训练2-1:(1)已知α为第二象限角,且sinα=35,则tan(π+α)的值是()(A)43(B)34(C)-43(D)-34解析:(1)因为sinα=35且α为第二象限角,所以cosα=-21sin=-45,所以tanα=sincos=-34.所以tan(π+α)=tanα=-34.故选D.答案:(1)D解析:(2)cos(α+7π12)=sin(π2-α-7π12)=-sin(α+π12)=-13.(2)已知sin(α+π12)=13,则cos(α+7π12)=.答案:(2)-13题型三三角函数式的化简与证明(1)解析:原式=sinsincossinπcossin=sinsincossincossin=-1.【例3】(1)sinπsin2πcosπsin3πcosπsinπ=.答案:-1(2)解:①因为α为第三象限角,所以f(α)=ππsincostanπ22tanπsinπ=-cossintantansin=cosα.(2)已知α为第三象限角,f(α)=ππsincostanπ22tanπsinπ.①化简f(α);解:②cos(α-π2)=sinα=-14,所以cosα=-21sin=-154,所以f(α)=cosα=-154.②若cos(α-π2)=-14,求f(α)的值.误区警示(1)利用诱导公式一～四化简应注意的问题①利用诱导公式主要是进行角的转化,从而达到统一角的目的;②化简时函数名没有改变,但一定要注意函数的符号有没有改变;③同时有切(正切)与弦(正弦、余弦)的式子化简,一般采用切化弦,有时也将弦化切;(2)应用诱导公式化简三角函数式,要特别注意两点:一是公式选取要正确,二是符号的选取要正确,否则解题时易出错.证明:sin2016πcos2015πsincos2πcos2016πsin2016π=sincossincoscossin=tanα.即时训练3-1:证明:sin2016πcos2015πsincos2πcos2016πsin2016π=tanα.