2019年高中数学 第一章 三角函数 1.2.2 同角三角函数的基本关系课件 新人教A版必修4

1.2.2同角三角函数的基本关系课标要求:1.理解同角三角函数基本关系:sin2α+cos2α=1,=tanα.2.能灵活运用同角三角函数基本关系进行化简、求值、证明.sincos自主学习1.平方关系:sin2α+cos2α=1.这个关系对于任意角都是成立的.现在用正、余弦函数的定义证明如下:知识探究设角α终边上任意一点P(x,y)(不是顶点),这点到原点的距离r=22xy.所以sinα=yr,cosα=xr.所以sin2α+cos2α=(yr)2+(xr)2=222yxr=1.2.商数关系:sincos=tanα这个关系中的角α也是任意角,但是这个角不能使cosα=0,也就是角α的终边不能在y轴上,即α≠(k∈Z).现在证明如下:用平方关系中的图形知sinα=yr,cosα=xr,所以sincos=yx=tanα.ππ2k3.对同角三角函数基本关系式的理解(1)注意“同角”,这里“同角”有两层含义,一是“角相同”,二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立,即与角的表达形式无关,如sin23α+cos23α=1成立,但是sin2α+cos2β=1就不一定成立.(2)sin2α是(sinα)2的简写,读作“sinα的平方”,不能将sin2α写成sinα2,前者是α的正弦的平方,后者是α2的正弦,两者是不同的,要弄清它们的区别,并能正确书写.(3)同角三角函数的基本关系式是针对使三角函数有意义的角而言的,sin2α+cos2α=1对一切α∈R恒成立,而tanα=sincos仅对α≠π2+kπ(k∈Z)成立.4.常用的等价变形sin2α+cos2α=1⇒222222sin1cos,cos1sin,sin1cos,cos1sin;tanα=sincos⇒sintancos,sincos.tan(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ;(sinθ-cosθ)2=1-2sinθcosθ;(sinθ+cosθ)2+(sinθ-cosθ)2=2,(sinθ-cosθ)2=(sinθ+cosθ)2-4sinθcosθ.2.α是第四象限角,tanα=-512,则sinα等于()(A)15(B)-14(C)513(D)-5131.化简的结果是()自我检测CD(A)sinπ5(B)-sinπ5(C)cosπ5(D)-cosπ52π1sin53.设A是△ABC的一个内角,且sinA+cosA=,则这个三角形是()(A)锐角三角形(B)钝角三角形(C)等边三角形(D)等腰直角三角形B4.化简:=.sincostan123答案:cosθ5.212sin10cos10sin101sin10=.答案:-1题型一已知角的一个三角函数值,求其他三角函数值课堂探究【例1】已知cosα=-35,求sinα,tanα的值.解:因为cosα0且cosα≠-1,所以α是第二或第三象限角.当α为第二象限角时,sinα=21cos=2315=45,tanα=sincos=-43.当α为第三象限角时,sinα=-21cos=-2315=-45,tanα=sincos=43方法技巧已知三角函数值求其他三角函数值的方法(1)若已知sinα=m,可以先应用公式cosα=±21sin,求得cosα的值,再由公式tanα=sincos求得tanα的值.(2)若已知cosα=m,可以先应用公式sinα=±21cos,求得sinα的值,再由公式tanα=sincos求得tanα的值.(3)若已知tanα=m,可以应用公式tanα=sincos=m⇒sinα=mcosα,再由sin2α+cos2α=1,求得cosα,sinα的值.即时训练1-1:已知α∈(π,3π2),tanα=2,则cosα=.解析:由tanα=sincos=2,得sinα=2cosα,又sin2α+cos2α=1,所以4cos2α+cos2α=1,即cos2α=15,又α∈(π,32π),所以cosα=-55.答案:-55题型二已知角的正切值,求同角三角函数式的值【例2】设tanα=2,求下列各式的值:(1)2212sincossincos;解:法一(1)因为tanα=2≠0,所以2212sincossincos=2222sincos2sincossincos=22tan12tantan1=22212221=93=3.法二因为tanα=2,所以sinα=2cosα.(1)2212sincossincos=222sincos2coscos=2222coscos4coscos=229cos3cos=3.(2)2sin2α-3sinαcosα+5cos2α.解:法一(2)2sin2α-3sinαcosα+5cos2α=22222sin3sincos5cossincos=222tan3tan5tan1=2432541=75.(2)2sin2α-3sinαcosα+5cos2α=2(2cosα)2-6cosα·cosα+5cos2α=7cos2α=2227cossincos=2227cos2coscos=227cos5cos=75.方法技巧化切求值的方法(1)已知tanα=m,可以求sincossincosabcd或2222sinsincoscossinsincoscosabcaef的值,将分子分母同除以cosα或cos2α,化成关于tanα的式子,从而达到求值的目的.(2)对于asin2α+bsinαcosα+ccos2α的求值,可看成分母是1,利用1=sin2α+cos2α进行代替后分子分母同时除以cos2α,得到关于tanα的式子,从而可以求值.即时训练2-1:已知tanx=12,求下列各式的值.(1)sin3cossincosxxxx;解:(1)因为tanx=12,所以原式=tan3tan1xx=132112=-53.解:(2)因为tanx=12,所以原式=222cossincoscossinxxxxx=21tan1tanxx=112114=25.(2)cos2x-sinxcosx.题型三sinθ±cosθ与sinθcosθ之间的联系解:(1)由sinα+cosα=-13⇒(sinα+cosα)2=19,sin2α+2sinαcosα+cos2α=19,sinαcosα=-49.【例3】已知sinα+cosα=-13,0απ.(1)求sinαcosα的值;解:(2)因为0απ,所以sinα0,cosα0,所以sinα-cosα0.sinα-cosα=2sincos=12sincos=173.(2)求sinα-cosα的值.误区警示在利用sinα±cosα与sinαcosα的关系求值时,一定注意判断它们的符号,否则就会出现漏解或错解.解析:由已知得(sinθ-cosθ)2=2,所以sinθcosθ=-12.所以tanθ+1tan=sincos+cossin=1sincos=-2.即时训练3-1:若sinθ-cosθ=2,则tanθ+1tan=.答案:-2题型四三角函数式的化简与证明解:(1)sin1sin-sin1sin=sin1sinsin1sin1sin1sin=222sin1sin=222sincos=-2tan2α.【例4】化简:(1)sin1sin-sin1sin;解:(2)212sin10cos10cos101cos10=2cos10sin10cos10sin10=cos10sin10cos10sin10=1.(2)212sin10cos10cos101cos10;(3)sin2αtanα+2costan+2sinαcosα.(3)原式=sin2α·sincos+cos2α·cossin+2sinαcosα=4422sincos2sincoscossin=222sincossincos=1sincos.题后反思利用同角三角函数关系式化简的方法①化切为弦,减少函数名称,便于约分化简;②对含根号的,应先把被开方式化为完全平方,去掉根号,为防止出错,去掉根号后首先用绝对值号表示,然后考虑正负,以保证万无一失;③对含有高次的三角函数式,可借助于因式分解,或构造平方关系,以便于降幂化简.解:(1)1cos1cos+1cos1cos=221cos1cos1cos1cos=21cos1cos1cos=22sin=2sin.因为32πα2π,所以sinα0,所以原式=-2sin.即时训练4-1:化简下列各式:(1)1cos1cos+1cos1cos(32πα2π);解:(2)tanα·211sin=tanα·221sinsin=tanα·22cossin=sincos·|cossin|.因为α为第二象限角,所以sinα0,cosα0,所以原式=sincos·cossin=-1.(2)tanα·211sin(α是第二象限角);(3)44661cossin1cossin.解:(3)法一原式=2224432266cossincossincossincossin=2222222cossin3cossincossin=23.法二原式=22422461cos1cossin1cos1coscossin=2222244sin1cossinsin1coscossin=22222cos1coscossin=222cos3cos=23.